Ergodic Theory - Kozlov - Lectures - MAIN (Лекции Козлова)

×àñòü IËåêöèÿ 1Ðàññìîòðèì ãëàäêóþn-ìåðíóþïîâåðõíîñòüM.Ïóñòü{x1 , x2 , . . . , xn }ëîêàëüíûå êîîðäèíàòû íà íåé.  ýòèõ ëîêàëüíûõ êîîðäèíàòàõ íåêîòîðàÿàâòîíîìíàÿ ñèñòåìà èìååò âèä: ẋ1 = v1 (x1 , . . . , xn )...,ẋn = vn (x1 , . . . , xn )vi , i = 1, . . .

n - ãëàäêèå (áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìûå) ïî x1 , . . . , xnôóíêöèè. Åñëè x = {x1 , . . . , xn } - íàáîð ëîêàëüíûõ êîîðäèíàò, àv = {v1 (x), . . . , vn (x)}, òî ñèñòåìà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé êðàòêîãäåçàïèñûâàåòñÿ êàê:ẋ = v(x).ẋ - ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ íàáîðà êîîðäèíàò âî âðåìåíè,x : Rt → M n - ãëàäêîå îòîáðàæåíèå, ẋ ïî îïðåäåëåíèþ êàñàòåëüíûénâåêòîð ê ìíîãîîáðàçèþ M .Íà ìíîãîîáðàçèè M èìååì íàáîð êàðò {x1 , . . .

, xn }, {y1 , . . . , yn }, . . . ,Çäåñüêîòîðûå ïåðåõîäÿò îäíà â äðóãóþ ñ ïîìîùüþ çàìåíû êîîðäèíàò.  ýòîìñëó÷àå îäíà ñèñòåìà ïîñëå çàìåíû òîæå äîëæíà ïåðåõîäèòü â äðóãóþ.Ïðèìåð.ÏóñòüM n = Tn = {α1 , . . . , αn } mod 2π n-ìåðíûé òîð. Äèô-ôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ íà ïîâåðõíîñòè èìåþò âèä: ẋ1 = ω1..., ωi = const, i = 1 . . . n.ẋn = ωnÒîãäà èç ñèñòåìûxj = xj0 +ωj t, j = 1, . .

. , n. Ýòî òàê íàçûâàåìîå óñëîâíî-ïåðèîäè÷åñêîå äâèæåíèå íà òîðå.(Îáäóìàòü ïî÷åìó â ñëó÷àån = 2, ω1 = 1, ω2 =√2äâèæåíèå íåïåðèîäè÷åñêîå.)1Ôàçîâûé ïîòîê ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèéÏóñòüM ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî. Òàê êàê ôàçîâûé ïîòîê ñèñòåìû äèô-ôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé îáëàäàåò ñâîéñòâàìèg 0 ≡ id,1g −t = (g)−1â òîì ñìûñëå, ÷òî(g −t )g t = g −t (g t )g t1 (g t2 ) = g t1 +t2 ,òî ìû èìååì îäíîïàðàìåòðè÷åñêóþ ãðóïïó ïðåîáðàçîâàíèé:gv tèëègt ãðóïïà ñäâèãîâ ïî òðàåêòîðèÿì ñèñòåìû âäîëü ñêîðîñòè. Äèñêðåòíîétnτïîäãðóïïîé ãðóïïû g ÿâëÿåòñÿ ãðóïïà g , τ > 0, n ∈ Z.2Èíâàðèàíòíàÿ ìåðàÍàøåé öåëüþ ÿâëÿåòñÿ ââåäåíèå íà ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâåMìåðû, èí-âàðèàíòíîé îòíîñèòåëüíî ôàçîâîãî ïîòîêà íàøåé ñèñòåìû.

Ñ ýòîé öåëüþ ðàññìîòðèì âñåâîçìîæíûå êàðòû íà íàøåì ìíîãîîáðàçèè. Ïóñòüρ(x1 , . . . , xn ) - ãëàäêàÿ (â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ïðîñòî íåïðåðûâíàÿ) ôóíêöèÿ íà M , ïîëîæèòåëüíàÿ íà M èëè â D , ãäå D ⊂ M . Òîãäà îïðåäåëèììåðó îáëàñòè D òàêèì îáðàçîì:Zρ(x1 , . . . , xn )dx1 . . . dxn =mes D =DZZnDDÇäåñüµ ìåðà íàM,dµ.ρ(x)d x ==îïðåäåëÿåìàÿ òàê:dµ = ρ(x)dn x.Ôóíêöèÿρíà-çûâàåòñÿ ïëîòíîñòüþ ìåðû.Ââåä¼ííàÿ òàêèì îáðàçîì ìåðà îáëàäàåò ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: åñëèD íåâûðîæäåííàÿ îáëàñòü, òîmes D > 0.Êîíå÷íî, ââåä¼ííûå îáîçíà÷åíèÿ îñòàâëÿþò íåêîòîðóþ íåóäîâëåòâîð¼ííîñòü: ïîñêîëüêó êîîðäèíàòû íà ìíîãîîáðàçèè îïðåäåëåíû íåîäíîçíà÷íî, ñìîæåì ëè ìû óêàçàòü çàêîí ïðåîáðàçîâàíèÿ ôóíêöèèρ(x)ïðèçàìåíàõ êîîðäèíàò, ïðè êîòîðîì å¼ ñóùíîñòü êàê ïëîòíîñòè ìåðû ñîõðàíèòñÿ? Ñ öåëüþ èññëåäîâàíèÿ ýòîãî âîïðîñà ðàññìîòðèì çàìåíó êîîðäèíàòx → y.Òîãäàdµ = ρ(x(y))∂x∂ydn y,îòêóäà âèäíî, ÷òî ïðè ïåðåõîäå îò îäíîé êîîðäèíàòíîé êàðòû ê äðóãîé ïëîòíîñòü óìíîæàåòñÿ íà ÿêîáèàí, ò.å., ñòðîãî ãîâîðÿ, íåîáõîäèìî2ρ êàê òàêîâóþ, à äèôôåðåíöèàëüíóþ ôîðìóρ(x)dx1 ∧ dx2 ∧ · · · ∧ dxn .

Îäíàêî âïðåäü ìû áóäåì ïîçâîëÿòü ñåáåíåêîòîðóþ âîëüíîñòü, ãîâîðÿ î ρ êàê î ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòíîé ìåðûðàññìàòðèâàòü íå ôóíêöèþîáú¼ìà(ïîäðàçóìåâàÿ ïðè ýòîì ðàññìîòðåíèå â êàêîé-òî îäíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò).Îïðåäåëåíèå 1.âîãî ïîòîêàgtÌåðàµíàçûâàåòñÿ èíâàðèàíòíîé îòíîñèòåëüíî ôàçî-åñëèmes g t (D) = mes Däëÿ ëþáîé èçìåðèìîé îáëàñòè2.1Dè äëÿ âñåõt.Êðèòåðèé èíâàðèàíòíîñòè ìåðûÓòâåðæäåíèå 1.Zmes D =ρ(x)dn x.DÌåðà èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî ôàçîâîãî ïîòîêà gv t òîãäà è òîëüêîòîãäà, êîãäànX∂∀x ∈ M div(ρv) =(ρvj ) = 0.∂xjj=1Ýòî ðàâåíñòâî ïðèíÿòî íàçûâàòü óðàâíåíèåì Ëèóâèëëÿ.Ïðèìåð.Ïðè ẋ1 = ω1..., ωi = const, i = 1, .

. . , n.ẋn = ωnρ=1îáëàñòüDñìåùàåòñÿ êàê òâåðäîå òåëî îòíîñèòåëüíî íà-ïðàâëåíèé âåêòîðà ñêîðîñòèv.Ïîýòîìó íà òîðå ëþáàÿ îáëàñòü íå äå-ôîðìèðóåòñÿ è åå îáúåì íå ìåíÿåòñÿ.Äîêàçàòåëüñòâî. 2Ïóñòü x(t, x0 ) ðåøåíèåñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèéẋ = v(x), x|t=0 = x0 , x(t, x0 ) = g t (x0 ).Äåëàåì çàìåíóZx → x0 .nρ(x)d x =g t (D)Zρ(x(t, x0 ))D3∂x∂x0nZd x0 =D(·)dn x0 .Óñëîâèå èíâàðèàíòíîñòè:∂∂tZ(·)dn x0 = 0DÍàì íóæíî, ÷òîáû îíî âûïîëíÿëîñü∀t, ∀D.Ñëåäîâàòåëüíî, òàê êàêìîæåò áûòü ñêîëü óãîäíî ìàëîé îáëàñòüþ, òîD∀t, ∀D∂(·) = 0.∂tÄëÿ ïðîñòîòû çàïèñè âîçüìåìt = 0,êðîìå òîãî ïðèt = 0 x = x0 .Òîãäà nX∂∂ρ ∂xj ∂x ∂ ∂x |t=0 (·) =+ ρ(x) = (òàê∂t∂xj ∂t t=0 ∂x0 t=0∂t ∂x0 j=1êàê∂x= E) =∂x0nnnXXX∂ρ∂vj∂=vj (x) +ρ(x)=(ρv)|t=0 = 0.∂xj∂x0j∂xjj=1j=1j=1Çàïèøåì ðåøåíèåx = x(t, x0 ) = x0 + v(x0 )t + o(t),òîãäàxj = xj (t, x0 ) = x0j + vj (x0 )t + o(t),è, ñëåäîâàòåëüíî, ∂xj   ∂x0 = 1+∂v1t∂x01+ o(t) .

. .v2t+o(t)...∂x01...∂vnt∂x0 1...... 1+ o(t)∂v1t + o(t)∂x01∂v2t + o(t)∂x0n...∂vn+ ∂x0n t + o(t)ßêîáèàí â íàøåì ñëó÷àå ðàâåí:nX ∂xj ∂vj=1+t + o(t) ⇒ ∂x0 ∂x0jj=1nX∂ ∂xj ∂vj⇒=.∂t ∂x0 t=0 j=1 ∂x0j4.Ïðèìåð.Ðàññìîòðèì ãàìèëüòîíîâó ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâM (n=2k) .íåíèé íà ìíîãîîáðàçèèîáîáù. êîîðäèíàòûx=(z }| {q1 , . . .

, q np1 , . . . , p n ,| {z })îáîáù. èìïóëüñûÑèñòåìà ãàìèëüòîíîâà, åñëè ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿH(p, q),íàçûâàåìàÿãàìèëüòîíèàíîì, äëÿ êîòîðîé âûïîëíÿþòñÿ ðàâåíñòâà∂H ṗj = −∂qj∂H q̇j =∂pjj = 1, . . . , n.×àñòî çà ãàìèëüòîíèàí ïðèíèìàþò ïîëíóþ ýíåðãèþ ñèñòåìû (â ñëó÷àÿõ, êîãäà îíà ñîõðàíÿåòñÿ):H = T + V,ìàòðèöàkaij kãäåT =Xaij (q)pi pj , V = V (q),ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà.Óïðàæíåíèå 1.Ïðîâåðèòü, ÷òîòî åñòüH(p, q) ïåðâûé èíòåãðàë ñèñòåìû,dH= 0,dtãäå ïðîèçâîäíàÿ áåðåòñÿ â ñèëó ñèñòåìû. ýòîì ñëó÷àå èíâàðèàíòíàÿ ìåðàZmes D =dn p dn q,Dòî åñòü2.2ρ ≡ 1.Òåîðåìà ËèóâèëëÿÒåîðåìà 1.

Ôàçîâûé ïîòîê ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû ñîõðàíÿåò ôàçîâûé îáú¼ì.Äîêàçàòåëüñòâî.Ïðîâåðèì âûïîëíåíèå óñëîâèÿ Ëèóâèëëÿ.n X∂∂H∂∂H−ρ+ρ=0∂pj∂qj∂qj∂pjj=1Ïðèρ≡1ñîîòíîøåíèå óäîâëåòâîðÿåòñÿ.5Óïðàæíåíèå 2.Äàíà ñèñòåìàẋ = Ax,A ∈ M n×n ,A = const,det A 6= 0.Ñèñòåìà èìååò íåâûðîæäåííûé êâàäðàòè÷íûé èíòåãðàëF =ïðè÷åìrank B = n,1(Bx, x) ,2det B 6= 0.ẋ = Ax ÿâëÿåòñÿòî åñòüÄîêàçàòü, ÷òî ñèñòåìàãàìèëüòîíîâîé.×àñòü IIËåêöèÿ 2Ðàññìîòðèì ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèéẋ = v(x),x ∈ Mn∞g t = g tv ôàçîâûé ïîòîê ñèñòåìû, ρ ∈ CD ïëîòíîñòüàíòíîé ìåðû µ, èZZn∀D, ∀tρ(x)d x =dµ = const .Ïóñòüg tD3èíâàðè-g tDÒåîðåìà ËèóâèëëÿÒåîðåìà 2.nnXX∂v∂ρ+vidiv(ρ, v) = 0 =ρ∂xi i=1 ∂xii=1Ïóñòü f (x) : M n → R è f (x) ïåðâûé èíòåãðàë.

ÒîãäànX∂fvi = 0∂xii=1Åñëè åñòü èíâàðèàíòíàÿ ìåðà è ïåðâûé èíòåãðàë, òî ìåðà ñ ïëîòíîñòüþ ρ1 = f ρ òàêæå èíâàðèàíòíà.Ïðîâåðèì âûïîëíåíèå óñëîâèÿ Ëèóâèëëÿ.nnnXXX∂∂ρ1∂vi(ρ1 vi ) =vi +ρ=∂xi∂xi∂xii=1i=1i=16nnnXXX∂ρ∂f∂vi=fvi +ρ+fρ= 0.∂xi∂xi∂xii=1i=1i=1Cëàãàåìûåòàê êàêρnnXX∂vi∂ρvi +ρ= 0,∂x∂xiii=1i=1 ïëîòíîñòü èíâàðèàíòíîé ìåðû. Ñðåäíåå ñëàãàåìîå ðàâíîíóëþ èç-çà òîãî, ÷òîÔóíêöèÿf (x)f (x) ïåðâûé èíòåãðàë.äîëæíà áûòü çíàêîïîñòîÿííîé, èíà÷åρ1íå ÿâëÿåòñÿïëîòíîñòüþ ìåðû.Äëÿ ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìûρ ≡ 1,òîãäàHρ òîæå ïëîòíîñòü èí-âàðèàíòíîé ìåðû.4Çàìåíà âðåìåíèÑäåëàåì çàìåíó âðåìåíèt → τ : dτ =1dt.

Òîãäàρ(x)dxdx dt== v(x)ρ(x) = v1 (x).dτdt dτÓñëîâèå Ëèóâèëëÿ âûïîëíÿåòñÿdiv v1 = div (ρv) = 0,òàê êàê ìåðà èí-âàðèàíòíà.Òåîðåìà 3 (aaa). rrrr5Òåîðåìà ÌîçåðàÒåîðåìà 4. Ïóñòüdµ1 = ρ1 dn x,dµ2 = ρ2 dn x,ãäå ρ1 , ρ2 ∈ C ∞ (M ). Åñëè âåðíî ðàâåíñòâîZZdµ1 =dµ2 ,MMòî ñóùåñòâóåò äèôôåîìîðôèçì M → M , êîòîðûé ïåðåâîäèò µ1 → µ2 .Ïðèìåð.ÏóñòüM = [0, 1],x, y êîîðäèíàòûdµ1 = ρ(x)dx70 ≤ x, y ≤ 1.dµ2 = dyÓñëîâèå Ìîçåðà çàïèñûâàåòñÿ òàê:Z1Z1ρ(x)dx =0dy = 1.0Óêàæåì äèôôåîìîðôèçì.dydx = ρ(x)dx = dµ1 , ⇒dxdy= ρ(x) > 0, ⇒⇒,dxZ1⇒, y(x) : y = ρ(x)dx.dµ2 = dy =0Òàêèì îáðàçîì, ëþáóþ ìåðó ìîæíî ïðèâåñòè ê æîðäàíîâîé, à çàòåìê ëþáîé äðóãîé.Óïðàæíåíèå 3.Óñòàíîâèòü, ýêâèâàëåíòíû ëè ñëåäóþùèå ðàñïðåäåëå-íèÿ âåðîÿòíîñòåé:21)dµ1 =x√1 e− 22πdxèdµ2 =dx;2π(1+x2 )22)dµ1 =5.1x√1 e− 22πdxèdµ2 = ρ(x)dx,ãäå0, x < 0,ρ(x) = 1, 0 6 x 6 1,0, x > 1.Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Ìîçåðà (íàìåòêè)2Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäàM = Tn = {x1 , .

. . , xn mod 2π}.µ1 è µ2 òàêèå, ÷òîRdµ1 = dy1 . . . dyn ñòàíäàðòíàÿRìåðà (òàê êàê Tn dµ1 = (2π)n ).dµ2 = ρ(x1 , . . . , xn ) dx1 . . . dxn è Tn dµ2 = (2π)n (óñëîâèå Ìîçåðà).Èùåì çàìåíó ïåðåìåííûõ x → y . Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ çàìåíó ïåðåìåííûõ: y1 = x1 + ω1 R(x1 , .

. . , xn )...yn = xn + ωn R(x1 , . . . , xn )ω1 , . . . , ωn êîíñòàíòû, êîòîðûå ìû óçíàåì â ïðîöåññå äîêàçàòåëüñòâà,R(x1 , . . . , xn ) 2π -ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ îò x1 , . . . , xn , êîòîðóþ ìûÏóñòü ìåðûòàêæå äîëæíû íàéòè â ïðîöåññå äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû.8Åñëè{xi } óãëîâûå ïåðåìåííûå, òî{yi } òàêæå óãëîâûå ïåðå-ìåííûå, òàê ÷òî íàøà çàìåíà ïåðåìåííûõ äåéñòâèòåëüíî îòîáðàæàåònnT →T .Ðàññìîòðèì ÿêîáèàí∂R 1 + ω1 ∂R ω1 ∂R . . .ω1 ∂x∂x1∂x2n ∂y =............ ∂x ∂R∂R∂Rω...1+ωωn ∂xn ∂x2n ∂xn1Óïðàæíåíèå 4.Ïðîâåðèòü, ÷òî ∂y ∂R∂Rdet ∂x = 1 + ω1 ∂x1 + .

. . + ωn ∂xn = ρ. ∂y = ρ.Ïîëîæèì det ∂x ðàâåíñòâåZρ(x)dn x = (2π)nTnðàçëîæèìρ(x)â ñõîäÿùèéñÿ ðÿä Ôóðüå:ρ(x) =+∞Xρm eimx ,−∞ρm êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ, m = (m1 , . . . , mn ) ènPm2 x2 + . . . + mn xn =mi xi .i=1Ïåðåïèøåì âûðàæåíèå äëÿ ïëîòíîñòè â âèäå:ρ(x) = ρ0 ++∞Xρm eimx .−∞, m6=0Óïðàæíåíèå 5.Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ∂y det ∂x > 0,òî îòîáðàæåíèåx → y,çàäàâàåìîå ôîðìóëàìèyi = xi + ωi R(x1 , . . . , xn ),îáðàòèìî â öåëîì.9mx = m1 x1 +Ïóñòüρ1 = ρ − 1.Âîñïîëüçóåìñÿ ìåòîäîì Ôóðüå:+∞Xρ1 =ρm eimx−∞, m6=0+∞XR=Rm eimx−∞, m6=0+∞Ximxiωi mi Rm e−∞, m6=0=+∞Xρm eimx .−∞, m6=0Èç ýòèõ ðàâåíñòâ ñëåäóåò, ÷òîρm = i(m, ω)Rm ,ρm.  ñëó÷àå, êîãäài(m,ω)ìàëûõ çíàìåíàòåëåé.òî åñòüRm =(m, ω)ìàëû, âîçìîæíà ïðîáëåìà×àñòü IIIËåêöèÿ îò 10.10.2005Ëåììà 1 (Ðèìàíà-Ëåáåãà, Ðèìàíà-Êàíòîðà). Åñëè ôóíêöèÿ f (x) ∈C[0, 2π], òîãäà êîýôôèöèåíòû åå ðàçëîæåíèÿ â ðÿä Ôóðüå fn → 0 ïðèn → ∞.Óïðàæíåíèå 6.Äîêàçàòü ëåììó.Äîêàæåì ëåììó â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òîf (x) ∈ C 1 [0, 2π].Òîãäà, èíòå-ãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì, ïîëó÷èì:1fn =2πZ2π−inxf (x)edx =12πCf (x)e−inx 0 +2πin0Z2π0f (x)e01|fn | <2π|n|Z2πfn :a|e−inx | dx =0101dx =2πinZ2πf 0 (x)e−inx dx,0òàê êàê ïåðâîå ñëàãàåìîå îáðàùàåòñÿ â íóëü.0Ïî íàøåìó ïðåäïîëîæåíèþ f (x) ∈ C[0, 2π], ïîýòîìóîòñþäà ïîëó÷àåì îöåíêó äëÿ êîýôôèöèåíòîâ−inxa|n||f 0 (x)| < a = const,Ïîñëåäîâàòåëüíîñòüa→|n|ïðèn → ∞,÷òî è äîêàçûâàåò ëåììó.6Òåîðåìû Ïóàíêàðå î âîçâðàùåíèèÏóñòüM ïðîñòðàíñòâî ñ ìåðîéµ:0 < µ(M ) < ∞,îòîáðàæåíèåT :M →Mñîõðàíÿåò ýòó ìåðó, òî åñòüµ(N ) = µ(T (N )), ∀N ⊂ M,ãäåN èçìåðèìàÿ îáëàñòü.

Òîãäà, î÷åâèäíî, îòîáðàæåíèÿòàêæå ñîõðàíÿþò ìåðóT 2 = T (T ), . . . , T nµ.Ââåäåì êîîðäèíàòû â ïðîñòðàíñòâåMè ðàññìîòðèì ñèñòåìó äèôôå-ðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèéẋ = v(x), x ∈ M.(1)Ïóñòü äèôôåðåíöèàë ìåðû â êîîðäèíàòàõ èìååò âèä∞dµ = ρ(x) dn x, ρ ∈ CM.{g t } " ôàçîâûé ïîòîê, ñîîòâåòñòâóþùèé ñèñòåìå (1). Ðàññìîònτðèì {g }, ãäå n ∈ Z, τ = const > 0.  äàëüíåéøåì áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òîτT =g .ÏóñòüÒåîðåìà 5 (Î âîçâðàùåíèè îáëàñòåé). Ïóñòü A èçìåðèìîå ïîä-ìíîæåñòâî M , µ(A) > 0. Òîãäà ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íî ìíîãî n ∈ Zòàêèõ, ÷òîµ(T n A ∩ A) > 0Äîêàçàòåëüñòâî.Äîêàæåì, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêîåT N (A) ∩ A 6= ∅Ïðåäïîëîæèì, ÷òîµ (T ni (A) ∩ T nj (A)) = 0äëÿ ëþáûõni 6= nj .ÒîãäàA ∪ T A ∪ T 2 A .