Ergodic Theory - Kozlov - Lectures - Lecture 10 (Лекции Козлова)

1 Ëåêöèÿ 101.1 Äèñêðåòíûé àíàëîã òåîðåìû ÁîëÿÏóñòü f (x) - ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ñ ïåðèîäîì 1. Ïóñòü α ∈/ Q , îáîçíà÷èì ÷åðåç Sn =Pnj=1 f (jα + x) .RÒåîðåìà: Ïóñòü f ∈ C 2 , òîãäà ∀N, ∀ε > 0∃n ≥ N : |Sn (x)| < ε . È 01 f (x)dx =< fS>= 0 .4 Ìíîæåñòâîèððàöèîíàëüíûõ ÷èñåë ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå îáúåäèíåíèÿ K1 K2 ,Tïðè÷åì K1 K2 - ïóñòî. K1 îïðåäåëèì ñëåäóþùèì îáðàçîì: ×èñëî α ∈ K1 òîãäà è òîëüêîòîãäà ⇔ , êîãäà íåðàâåíñòâî |nα − m| < n−3\2 èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé â öåëûõ÷èñëàõ. Îñòàëüíûå èððàöèîíàëüíûå ÷èñëà îòíåñåì ê K2 . Çàìåòèì, ÷òî â îïðåäåëåíèè K1m è n ìîæíî ñ÷èòàòü âçàèìíî ïðîñòûìè.

Çàìåòèì, ÷òî K2 èìååò ïîëíóþ ìåðó íà R , K1âñþäó ïëîòíî è èìååò ìîùíîñòüPêîíòèíóóìà.∞1Ëåììà 1: Åñëè α ∈ K2 , òîn=1 n2 |nα−mn | < ∞ , ãäå mn - ïîñëåäîâàòåëüíîñòü öåëûõ÷èñåë.P1Äîêàæåì ëåììó. Ïóñòü S = ∞n=1 n2 |nα−mn | , íàñ èíòåðåñóåò ñëó÷àé |nα − mn | < 1 (èíà÷åíàñ íå óñòðàèâàåò).njk+1njk , k12j+1≤ |njk α − mnj | <k1,j2j= 0, 1, 2, .

. . . Ïðè ýòîì ìîæíî óïîðÿäî÷èòü:1>= 1, 2, . . . . Çàïèøåì íåðàâåíñòâî: |(njk+1 − njk )α − m| < 2j−1, è åùå îäíî:1|nα − m| < 2j−1 , Nj = minn ≥ 1 , (÷òî òàêîå n ?)3\21⇒ nj1 ≥ Nj ⇒ njk ≥ kNj , Nj ≥ 2j−1 ⇒(njk+1 − njk ) ≥ Nj |nj1 α − mnj | < 21j < 2j−11Nj ≥ [2j−1 ]2\3 Îáîçíà÷èì ÷åðåç Sj - ÷àñòü S , îòâå÷àþùóþ j - îìó íåðàâåíñòâó:√P∞ 1P∞ 2j+1P2π 2 √2j+1π 2 2j−1 41 j−1 31Sj = ∞3 >k=1 n2 < 6[2j−1 ]4/3 = 3 ( 3 2 )k=1 (kNj )2 = Nj2k=1 (nj )2 |nj α−m j | ≤kknkP2 P( 3 √1 2 )j−1 < ∞ îòñþäà ïîëó÷àåì òðåáóåìîå.1⇒Sj < 2π3Ëåììà 2: Èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî |e2πinα − 1| ≥ 4|nα − m| äëÿ íåêîòîðîãî öåëîãî m .Äîêàæåì ëåììó: |eπinα − e−πinα | = 2| sin(πnα)| = 2|sinπ(nα − m)| ≥ 4|nα − m| .

PËåììà 3: Åñëè f ∈ C 2 , òî ∃g ∈ C òàêàÿ, ÷òî: g(x + 1) = g(x) , Sn (x) = nj=1 f (jα +P+∞2πinxx) = g((n + 1)α + x) − g(x) . Äîêàæåì ëåììó: f (x) =, xmod1 , òàê êàêne−∞ fPP+∞nc22πm(jα+x)f ∈ C , òî |fn | ≤ n2 , n ≥ 1 (ãðóáàÿ îöåíêà). Sn (x) ==j=1−∞ fm ePn 2πimjα 2πimx P+∞ fm e2πimx (e2πimα(n+1) −1)P+∞P+∞2πimxmee= m=−∞Áåðåì g(x) = m=−∞ ef2πimα.j=1 em=−∞ fme2πimα −1−1c2πimαÈç ëåììû 2 ñëåäóåò, ÷òî: |e− 1| ≥ 4|mα − l|, α ∈ K2 . Ïðèìåíÿåì ëåììó 1: |fm | ≤ m2 ,òàê êàê f ∈ C 2 . Ðÿä äëÿ ôóíêöèè g(x) ñõîäèòñÿ è ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé 1-ïåðèîäè÷åñêîéôóíêöèåé.P+∞cÌàæîðàíòà:m=−∞ em2 |mα−lm| < ∞ ⇒ Sn (x) = g((n + 1)α + x) − g(x) ¤Çàìå÷àíèå: Âìåñòå ñ ýòèìè ëåììàìè äîêàçàíà òåîðåìà äëÿ α ∈ K2 .

Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü{x + (n + 1)α} âñþäó ïëîòíî ðàñïðåäåëåíà íà [0; 1] , à òàê êàê g - íåïðåðûâíà, òî Sn (x)ñêîëü óãîäíî ìàëà ðàâíîìåðíîx . Äàëåå áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñëó÷àé, êîãäà α ∈ K1 .P∞ ïî1π2Âû÷èñëåíèå Ýéëåðà :n=1 n2 = 6 . Ïîÿñíèì ýòî âû÷èñëåíèå. Ðàññìîòðèì èçâåñòíîåèç àíàëèçà ïðåäñòàâëåíèå ôóíêöèè sin x â âèäå áåñêîíå÷íîãî ïðîèçâåäíèÿ: sin x = x(1 −x2x2)(1 − 4π2 ) . . . .

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ðàññìîòðèì ðàçëîæåíèå ôóíêöèè sin x â ðÿä Òåéëîðà èπ222x2111ïðèðàâíÿåì ýòè ïðåäñòàâëåíèÿ: 1 − x6 + . . . = (1 − πx2 )(1 − 4π2 ) . . . ⇒ 6 = π 2 + 4π 2 + . . . .Ëåììà: Ïóñòü f (x) - 1 - ïåðèîäè÷íà è < f >= 0 , f ∈ C 2 , α ∈ K1 .P000√ 1 + M2 , ãäå M1 = max |f (x)| , M2 = max |f (x)| .Òîãäà | j=1 nf (jα + x| ≤ M24nn14 Ôèêñèðóåì m: |α − m| < n5/2nnPPP| nj=1 f (jα + x) − j = 1nf ( jm+ x)| ≤ nj=1 |f (jα + x) − f ( jm+ x)| =nnPn0Mm1√j=1 |f (ζj )|j|α − n | ≤ nPnmm1Òåïåðü ðàññìîòðèì îöåíêó:j=1 f (j n + x) , îáîçíà÷èì xj = j n + x xk+1 − xk = n ;00R1PÌåòîä ïðÿìîóãîëüíèêîâ: n1 nk=1 f (xk ) ≤ 0 f (x)dx + f24n(ζ)2 .Pn00M2Òàê êàê < f >= 0 , |f (ζ)| ≤ M2 , | k=1 f (xk )| ≤ 24n .

Îòñþäà ïîëó÷àåì òðåáóåìîå.RhRhR0Îñòàëîñü îáîñíîâàòü ìåòîä ïðÿìîóãîëüíèêîâ. −h f (x)dx = 0 f (x)dx+ −h f (x)dx = F (h)−F (−h) .000000F (h) = F (0) + F (0)h + F (0)h2 /2 + F (ζ)h3 /6 , ζ ∈ [0; h]000F (−h) = F (0) − F (0)h + F (0)h2 /2 − F 000 (η)h3 /6 , η ∈ [−h; 0]000000Rh00F (ζ)+F 000 (η)F (ζ)+F 000 (η)3f(x)dx=F(0)2h+(2h)/24òàêêàêF(h)=f(h),=22−h00f (ζ)+f 00 (η)200= f (ξ)RhÒàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷èëè îöåíêó: −h f (x)dx − f (0)2h =00R1Pf (x)dx − n1 nk=1 f (xk ) ≤ f24n(ξ)2 Îòñþäà ïîëó÷àåì òðåáóåìîå.0¤00f (ξ)(2h)3242h = 1/n ⇒1.2 Òåîðåìà î âîçâðàùàåìîñòè èíòåãðàëîâ îò äâóõ÷àñòîòíûõóñëîâíî-ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé. Ïðèìåð ÏóàíêàðåR1R1Ðàññìîòðèì f (x1 , x2 ), x1 , x2 mod1 . Ïóñòü 0 0 f (x1 , x2 )dx1 dx2 = 0 =< f > , ñ÷èòàåì, ÷òî/ Q . f (ω1 t + x01 , ω2 t + x02 ) - óñëîâíî - ïåðèîäè÷åñêàÿx1 = ω1 t + x01 ; x2 = ω2 t + x02 , ãäå ωω21 ∈RTôóíêöèÿ âðåìåíè.

I(T, x0 ) = 0 f (ωt + x)dt . S 1 = {x1 mod1}, x2 = x02 - ñå÷åíèå (Ïóàíêàðå),R ω1îáîçíà÷èì x01 = x , ∆t = ω12 - âðåìÿ âîçâðàòà íà îêðóæíîñòü. F (x) = 0 2 f (ω1 t+x, ω2 t+x02 )dtR nR1⇒ 0ω2 f (ω1 t + x, ω2 t + x02 )dt = F (x) + . .

. + F (x + α(n − 1)) , F ∈ C 2 , 0 F (x)dx = 0 .(Óïðàæíåíèå: ïðîâåðèòü).Ïðèìåð Ïóàíêàðå.PA níè îäíîé ïðîèçâîäíîé íè â îäíîéf (x1 , x2 ) = ∞n=1 ( Λ ) cos 2π(un x1 + vn x2 ) - íå èìååò√√nòî÷êå,<f>=0u,vöåëûå÷èñëàòàêèå,÷òî:(2−1)=u+v2 , x1 , x2 mod1 .nnnn√ΛΛ = 2 + 1 , 1 < 2 < A < Λ , f - íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ(åñòü ìàæîðàíòà). Áóäåì ñ÷èòàòü,√√√÷òî: x2 = 2t, x1 = t, ω2 = 2, ω1 = 1 ωω12 ∈/ Q , x01 = x02 = 0 , un x1 + vn x2 = (un + 2vn )t =√R τ P∞ A nPA n2πt2πt( 2 − 1)n t = (Λ)t n , ðÿä ∞n=1 ( Λ ) cos( Λn ) ñõîäèòñÿ, ïîýòîìó I(τ ) = 0n=1 ( Λ ) cos( Λn )dtÏðåäîëæåíèå: I(τ ) −→ +∞(−∞), τ → +∞(−∞)4 Âîçüìåì èíòåðâàë: π2 Λn−1 ≤ t ≤ π2 Λn , n = 1, 2, . .

. , ðàçäåëèì åãî íà Λn+k :PPn−1 jtttj0 < π2 Λ−k−1 ≤ Λn+k≤ 2Λπ k < π2 , k = 0, 1, 2, . . . I(t) = ∞j=1 A sin( Λj ) =j=1 (A sin( Λj ) +PP∞n−1 jAn −Att1n−k. (I) ≤(II) : sin( Λn+k) ≥ πΛ2tn+k > Λk+1j=1 A = A−1k=0 A Psin( Λn+k ) = (I) + (II)Pn∞∞A kAnn+k/Λk+1 = AΛ= Λ−A íàøåì èíòåðâàëå ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî(II) ≥k=0 ( Λ )k=0 AAnAn −AAn 2A−Λ−1I(t) ≥ Λ−A − A−1 = A (Λ−A)(A−1) + A−1 → ∞, n → ∞, t → ∞ .¤P∞ A nf (x1 , x2 ) =2π(un x1 + vn x2 ) , ïîëîæèì x2 = 0, x1 = x ⇒ g(x) =n=1 ( Λ ) cos√√√√P∞ A n12+1 = √2−1⇒ un +vn 2 = Λ1n ⇒ (− 2−1)n = un −vn 2 =n=1 ( Λ ) cos(2πun x) ⇒ Λ =(−1)n Λn . Èç ýòèõ ñîîòíîøåíèé Pìû ìîæåì íàéòè un , vn : un = (−1)n /2[Λn + (−1)n /Λn ] .∞A nnÂâåäåì ôóíêöèþ G(x) =n=1 ( Λ ) cos(2πΛ x) - ôóíêöèÿ Âåéåðøòðàññà, íå èìååòïðîèçâîäíîé íè â îäíîé òî÷êå(Õàðäè).Óïðàæíåíèå: Äîêàçàòü, ÷òî g(x) − G(x) ∈ C 1 .Ðàññìîòðèì f (x1 , x2 ) ∈ CR2 ; x1 , x2 mod1; < f >= 0 , áåðåì x01 , x02 : f (x01 , x02 ) 6= 0 .τÇàïèøåì èíòåãðàë: I(τ, x0 ) = 0 f (ω1 t + x01 , ω2 t + x02 )dt , ãäå ωω12 - èððàöèîíàëüíî.

Èíòåãðàëâîçâðàùàåòñÿ ê íóëþ (áûëî äîêàçàíî ðàíåå).Òåîðåìà:  ýòèõ ïðåäïîëîæåíèÿõ I(τ, x0 ) èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî íóëåé ïðè τ → ∞.(íóëè âñòðå÷àþòñÿ ñêîëü óãîäíî äàëåêî)1.3 Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ íà òîðå ñ èíâàðèàíòíûìèìåðàìèÝéëåð:ẋ = f (x, y)ẏ = g(x, y)ρ(x, y) - ïëîòíîñòü èíâàðèàíòíîé ìåðû, èíòåãðèðóþùèé ìíîæèòåëü. Óðàâíåíèå)Ëèóâèëëÿ: ∂(ρf+ ∂(ρg)= 0 . Ðàññìîòðèì äèôôåðåíöèàëüíóþ ôîðìó: −ρgdx + ρf dy =∂x∂ydH(x, y) (îíà òî÷íà â ñèëó óñëîâèÿ Ëèóâèëëÿ).

∂H= −ρg , ∂H= ρf . Êàê âèäèì, H ∂x∂yïåðâûé èíòåãðàë ñèñòåìû.Òåîðåìà ßêîáè: Ïóñòü åñòü ñèñòåìà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé: ẋ = f (x) . Ïóñòü:1) èìååòñÿ (n − 2) íåçàâèñèìûõ ïåðâûõ èíòåãðàëà G1 (x), . . .P, Gn−2 (x) ,n∂ρfi2)èìååòñÿ èíòåãðàëüíûé èíâàðèàíò ñ ïëîòíîñòüþ ρ(x) > 0 ,i=1 ∂xi = 0 .Òîãäà óðàâíåíèÿ èíòåãðèðóþòñÿ â êâàäðàòóðàõ.Çàìå÷àíèå: Ïî÷åìó ðàññìàòðèâàåìûé êëàññ ñèñòåì ïîëåçíî èçó÷àòü? Ðàññìîòðèìñîâìåñòíûé óðîâåíü ïåðâûõ èíòåãðàëîâ: Mc = {G1 = c1 , . . . , Gn−2 = cn−2 } - âîîáùå ãîâîðÿ,ýòî äâóìåðíàÿ ïîâåðõíîñòü. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà Mc - çàìêíóòî(ïðåäñòàâëÿåòñÿ êàêïåðåñå÷åíèå çàìêíóòûõ ìíîæåñòâ) è îãðàíè÷åíî.

Ïðåäïîëîæèì òàêæå, ÷òî f (x) 6= 0∀x ∈Mc , è ðàññìîòðèì ñâÿçíóþ êîìïîíåíòó Mc , òîãäà Mc äèôôåîìîðôíî T2 . ßñíî, ÷òî Mc îðèåíòèðóåìàÿ ïîâåðõíîñòü. Ïî÷åìó íà òîðå áóäåò èíòåãðàëüíûé èíâàðèàíò? Ââåäåì íàòîðå óãëîâûå ïåðåìåííûå u, v , T2 ∼= Mc , òî åñòü â îêðåñòíîñòè òîðà ìîæíî ââåñòè nïåðåìåííûõ: z1 = G1 , . . . , zn−2 = Gn−2 , zn−1 = u, zn = v , u, v, mod2π . Íàïèøåì â ýòèõïåðåìåííûõ äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå: z˙1 = 0, . .

. , żn−2 = 0żn−1 = fz˙n = gÓòâåðæäåíèå: Ýòà ñèñòåìà èìååò èíòåãðàëüíûé èíâàðèàíò ñ ïëîòíîñòüþ ρ(z) =1 ,...,xn )ρ(x(z)) ∂(x.∂(z1 ,...,zn )Ìîæåì çàïèñàòü óðàâíåíèå Ëèóâèëëÿ äëÿ íîâîé ñèñòåìû:∂(ρf )+ ∂(ρg)= 0.∂x∂yÔèêñèðóåì z1 = c1 , . . . , zn−2 = cn−2 , îòñþäà âñå ïîëó÷àåì..