lect01-07 (Лекции по квантовой механике), страница 3

Ñëåä ìàòðèöû ïëîòíîñòè ðàâåí åäèíèöå:T rρ̂=1.Ñðåäíåå çíà÷åíèå ëþáîé âåëè÷èíû F â ñîñòîÿíèè ρ ðàâíîhF iρ=T r(F̂ ρ̂).Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî âû÷èñëåííûå ïî ýòîé ôîðìóëå ñðåäíèå çíà÷åíèÿ êîìïëåêñíîñîïðÿæåííûõ âåëè÷èí êîìïëåêñíî ñîïðÿæåíû è ñðåäíèå äåéñòâèòåëüíûõ âåëè÷èí äåéñòâèòåëüíû:XhF ∗ i = T r(F̂ + ρ̂) =F + mn ρnm =m,nX∗Fnmρ∗ mn=T r(F̂ ρ̂)∗=∗hF i .m,nÏÐÈÌÅÐ ÌÀÒÐÈÖÛ ÏËÎÒÍÎÑÒÈ.Ðàññìîòðèì ïðîñòåéøóþ ôèçè÷åñêóþ ñèñòåìó, ïåðåìåííûì êîòîðîé ñîîòâåòñòâóþò äâóõðÿäíûåìàòðèöûf11 f12F ⇒ F̂ =f21 f2212ñ êîìïëåêñíûìè ìàòðè÷íûìè ýëåìåíòàìè. Åñëè F̂ ýðìèòîâà ìàòðèöà, ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿF̂ +=f11 ∗ = f11 ,⇒F̂f22 ∗ = f22 ,f12 ∗ = f21 ,îçíà÷àþùèå, ÷òî äâóõðÿäíûå ýðìèòîâû ìàòðèöû îïðåäåëÿþò ÷åòûðå äåéñòâèòåëüíûå ïàðàìåòðà.×òîáû ÿâíî âûäåëèòü ýòè âåëè÷èíû, ïðåäñòàâèì ïðîèçâîëüíóþ ýðìèòîâó ìàòðèöó â òåðìèíàõåäèíè÷íîé ìàòðèöû è ìàòðèö Ïàóëè0 10 −i1 0σ̂1 =,σ̂2 =,σ̂3 =.1 0i 00 −1Ïåðå÷èñëèì âàæíåéíèå ñâîéñòâà ýòèõ ìàòðèö:σ̂α+ ,=σ̂α ,σ̂α σ̂α=δαβ Ê+iαβγ σ̂γ .Èç ýòèõ ñîîòíîøåíèé ñëåäóåò, â ÷àñòíîñòè, ïîëåçíàÿ ôîðìóëà(~a~σ̂)(~a~σ̂)(~a~b)=i~σ̂(~a × ~b).+Ïðîèçâîëüíóþ ýðìèòîâó ìàòðèöó ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ôîðìåF̂ +=⇒F̂F̂1(bÊ + ~a~σ̂),2=ãäå ïàðàìåòð b ðàâåí ñëåäó ìàòðèöû F̂ :b=T rF̂ .Ïîñêîëüêó ñëåä ìàòðèöû ïëîòíîñòè ðàâåí åäèíèöå, òî ee ïðåäñòàâèòü òàê:ρ̂1(Ê + ~a~σ̂).2=Âûÿñíèì, ê ÷åìó ïðèâîäèò óñëîâèå ïîëîæèòåëüíîé îïðåäåëåííîñòè ìàòðèöû ïëîòíîñòè.Çàìåòèì, ÷òî åñëè ~n åäèíè÷íûé âåêòîð: ~n2 = 1, òî ìàòðèöûîáëàäàþò ñâîéñòâàìè:P̂±+P̂±==P̂± ,1(Ê ± ~n~σ̂)2P̂±2=P̂± ,ò.å.

îíè ñîîòâåòñâóþò ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííûì âåëè÷èíàì. Ïîýòîìó äîëæíû âûïîëíÿòüñÿíåðàâåíñòâàhP̂± i = T r(P̂± ρ̂) ≥ 0.Âû÷èñëÿÿ ñðåäíèå çíà÷åíèÿ ÿâíî, ïîëó÷èì íåðàâåíñòâàhP̂± i=1(1 ± ~a~n)2≥0,îçíà÷àþùèå, ÷òî äëèíà âåêòîðà ~a íå äîëæíà ïðåâîñõîäèòü åäèíèöû. Óäîáíî âûäåëèòüÿâíî äëèíó âåêòîðà è åãî íàïðàâëåíèå. Ìàòðèöà ïëîòíîñòè ïîñëå ýòîãî ïðèìåò âèäρ̂=1(Ê + rm~ ~σ̂),20≤r1,m~2=1.Ïîêà íàøè ðàññóæäåíèÿ áûëè ïðèìåíèìû ê ëþáîé ñèñòåìå, ïåðåìåííûå êîòîðîé ïðåäñòàâëÿþòñÿäâóõðÿäíûìè ìàòðèöàìè. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà ýòè âåëè÷èíû ìîæíî ñâÿçàòü ñî ñïèíîì÷àñòèöû.Ñïèí ÷àñòèöû ýòî åå ñîáñòâåííûé ìîìåíò êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ â ñîñòîÿíèè, ïðèêîòîðîì èìïóëüñ ÷àñòèöû ðàâåí íóëþ.

 êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå ýòà âåëè÷èíà òîæäåñòâåííî13ðàâíà íóëþ. Òàêèì îáðàçîì ñïèí èìååò ÷èñòî êàíòîâóþ ïðèðîäó.  êâàíòîâîé òåîðèè ýòî ÷àñòíûé ñëó÷àé îáùåãî ïîíÿòèÿ ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ.×òîáû îñîçíàòü ñìûñë ýòèõ âûðàæåíèé, âûÿñíèì êàê ìîæíî îïðåäåëèòü â êâàíòîâîéìåõàíèêå ìîìåíò èìïóëüñà. êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå ìîìåíò èìïóëüñà ÷àñòèöû ýòî âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå ååèìïóëüñà è ðàäèóñ-âåêòîðà:~M= ~r × p~. ïîêîìïîíåíòíîé çàïèñè ýòî ðàâåíñòâî âûãëÿäèò òàê:M1 = x2 p3 − x3 p2 ,M2 = x3 p2 − x2 p3 ,M3 = x1 p2 − x2 p3 ,èëèMα=αβγ xβ pγ .×òîáû ïîëó÷èòü ñîîòâåñòâóþùèå ôîðìóëû êâàíòîâîé òåîðèè, íóæíî îïðåäåëèòü âåëè÷èíûx̂α , p̂α .

Ýòè îïðåäåëåíèÿ äàþòñÿ â òåðìèíàõ êîììóòàòîðîâ.x̂α = x̂+α,p̂α = p̂+α,[x̂α , x̂β ] = 0,[p̂α , p̂β ] = 0,[x̂α , p̂β ] = ih̄Ê.Ïðèâåäåííûå ôîðìóëû îïðåäåëÿþò ñîñòàâëÿþùèå èìïóëüñà è ðàäèóñ-âåêòîðà ÷àñòèöûêàê äåéñòâèòåëüíûå âåëè÷èíû. Êðîìå òîãî, âñå òðè ñîñòàâëÿþùèå ðàäèóñ-âåêòîðà (à òàêæåè ñîñòàâëÿþùèå åå èìïóëüñà) ìîæíî îäíîâðåìåííî èçìåðèòü ñ ïðîèçâîëüíîé òî÷íîñòüþ.Äëÿ ñîîòâåñòâóþùèõ äðóã äðóãó ñîñòàâëÿþùèõ èìïóëüñà è ðàäèóñ-âåêòîðà ñïðàâåäëèâûñîîòíîøåíèÿ íåîïðåäåëåííîñòåé Ãàéçåíáåðãà.Ñîñòàâëÿþùèå ìîìåíòà èìïóëüñà îïðåäåëÿþòñÿ ðàâåíñòâàìèM̂1 = x̂2 p̂3 − x̂3 p̂2 ,M̂2 = x̂3 p̂1 − x̂1 p̂3 ,M̂3 = x̂1 p̂2 − x̂2 p̂1 ,èëèM̂α=αβγ x̂β p̂γ .Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ñîñòàâëÿþùèå ìîìåíòà èìïóëüñà ýðìèòîâû:M̂α+=M̂α .Åñëè èçìåðÿòü ìîìåíò ìîìåíò èìïóëüñà â åäèíèöàõ h̄:~M̂=~h̄ˆl,òî îñíîâíîé íàøåé âåëè÷èíîé ñòàíåò áåçðàçìåðíûé ìîìåíò èìïóëüñàˆlα=1αβγ x̂β p̂γ .h̄Íàéäåì ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ñîñòàâëÿþùèìè ìîìåíòà èìïóëüñà.Óäîáíî íà÷àòü ñ êîììóòàòîðîâ ìåæäó êîîðäèíàòàìè è ìîìåíòîì:[ˆl1 , x̂1 ]=1[x̂2 p̂3 − x̂3 p̂2 , x̂1 ].h̄Ïîñêîëüêó x̂1 êîììóòèðóåò ñî âñåìè îñòàëüíûìè âåëè÷èíàìè, âõîäÿùèìè â êîììóòàòîð,òî â ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåòñÿ íóëü.

Èíà÷å îáñòîèò äåëî ñ äðóãèì âûðàæåíèåì:[ˆl1 , x̂2 ]=1[x̂2 p̂3 − x̂3 p̂2 , x̂2 ]h̄=1− [x̂3 p̂2 , x̂2 ]h̄Àíàëîãè÷íî âû÷èñëÿåòñÿ êîììóòàòîð[ˆl1 , x̂3 ]=14−ix̂2 .=1− x̂3 [p̂2 , x̂2 ]h̄=ix̂3 .Êîììóòàòîðû ìåæäó îñòàëüíûìè ñîñòàâëÿþùèìè ìîìåíòà è êîîðäèíàòû ïîëó÷àþòñÿ èçïðèâåäåííûõ ïîñëå öèêëè÷åñêîé ïåðåñòàíîâêè èíäåêñîâ. Ðåçóëüòàò âñåõ âû÷èñëåíèé ïîäâîäèòôîðìóëà:[ˆlα , x̂β ] = iαβγ x̂γ .Àíàëîãè÷íî âûãëÿäÿò êîììóòàòîðû ìåæäó ñîñòàâëþùèìè èìïóëüñà è ìîìåíòà:[ˆlα , p̂β ]=iαβγ p̂γ .Òåïåðü íåñëîæíî âû÷èñëèòü êîììóòàòîð ìåæäó ñîñòàâëÿþùèìè ìîìåíòà èìïóëüñà:[ˆl1 , ˆl1 ]Âû÷èñëåíèå êîììóòàòîðà[ˆl1 , ˆl2 ]=ñâîäèòñÿ ê âû÷èñëåíèþ ïàðûè=01 ˆ[l1 , x̂3 p̂1 − x̂1 p̂3 ]h̄[ˆl1 , x̂3 p̂1 ]=[ˆl1 , x̂3 ]p̂1+x̂3 [ˆl1 , p̂1 ]=−ih̄x̂2 p̂1 ,[ˆl1 , x̂1 p̂3 ]=[ˆl1 , x̂1 ]p̂3+x̂1 [ˆl1 , p̂3 ]=−ih̄x̂1 p̂2 .Ýòî äàåò[ˆl1 , ˆl2 ]=iˆl3 .Àíàëîãè÷íî âû÷èñëÿåòñÿ è êîììóòàòîð[ˆl1 , ˆl3 ]=−iˆl2 .Ïðîäîëæåíèå âû÷èñëåíèé ïðèâîäèò ê ôîðìóëå[ˆlα , ˆlβ ]=iαβγ ˆlγ .Òåïåðü ìîæíî çàáûòü î òîì, êàê áûëè ïîëó÷åíû ýòè êîììóòàòîðû è îïðåäåëèòü ñîñòàâëÿþùèåìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿM̂αJˆα+=Jˆα ,=h̄Jˆα ,[Jˆα , Jˆβ ]=iαβγ Jˆγ .Ïîñòóëèðîâàííûì ñîîòíîøåíèÿì óäîâëåòâîðÿåò ïîäñòàíîâêàJˆα=ˆlα+F̂α ,ãäå F̂α îáëàäàþò ñâîéñòâàìè:F̂α+=F̂α ,[F̂α , F̂β ]=iαβγ F̂γ .Åñëè F̂α íå ðàâíû òîæäåñòâåííî íóëþ, òî ýòè ïåðåìåííûå ìîæíî ñâÿçàòü ñ âíóòðåííèììîìåíòîì êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ ÷àñòèöû. êà÷åñòâå F̂α ìîæíî âçÿòü ìàòðèöû ŝα , ïðîïîðöèîíàëüíûå ìàòðèöàì Ïàóëè:ŝα=1σα .2Îíè óäîâëåòâîðÿþò òðåáóåìûì ïåðåñòàíîâî÷íûì ñîîòíîøåíèÿì è, êðîìå òîãî, âûïîëíÿåòñÿòîæäåñòâîX31 1~ŝ2 = 1σ̂ 2 =Ê =( + 1)Ê.4 α42 215Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ñâÿçûâàåòñÿ ñ òåì, ÷òî ìàòðèöû ŝα îïèñûâàþò ÷àñòèöû ñî ñïèíîìôèêñèðîâàííîé âåëè÷èíû, ðàâíîé 21 .Ñèñòåìó, êîòîðàÿ îïèñûâàåòñÿ ïåðåìåííûìè, ñâîäÿùèìñÿ ê äâóõðÿäíûì ìàòðèöàì,ìîæíî îïðåäåëèòü êàê ñèñòåìó ñ äâóìÿ íåçàâèñèìûìè ñîñòîÿíèÿìè.

×òîáû ïîÿñíèòü ýòîóòâåðæäåíèå, ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýòà ñèñòåìà îïèñûâàåòñÿ ñïèíîâûìè ïåðåìåííûìè. ýòîì ñëó÷àå âåëè÷èíàQ(~n)~n~ŝ,=~n2=1,èìååò ñìûñë ïðîåêöèè ñïèíà íà îñü ~n.Åñëè ñèñòåìà íàõîäèòñÿ ñ íåêîòîðîì ñîñòîÿíèè ρ, òî òî ñðåäíåå çíà÷åíèå Q(~n) ðàâíîhQ(~n)i = T r(Q̂ρ̂) =1ˆ (Ê + rmˆ )) = r nα mβ T r(σ̂α σ̂β ) = r (~nm).T r(~n~σ~ ~σ~442ÏîñêîëüêóQ̂21Ê,4=òî äèñïåðñèÿ Q̂ â ñîñòîÿíèè ρ ðàâíàDρ (Q)=hQ̂2 −r2(m~~ n)2 Êi41(1 − r2 (m~~ n)2 ).4=Òàêèì îáðàçîìåñëè r < 1, òî äèñïåðñèÿ Q âñåãäà ïîëîæèòåëüíà, ò.å. ïðîåêöèÿ ñïèíà âýòîì ñëó÷àå íà ìîæåò èìåòü òî÷íîãî çíà÷åíèÿ.Åñëè r = 1, òî äèñïåðñèÿ Q ìîæåò áûòü ðàâíà íóëþ â òîì ñëó÷àå, åñëè m~ = ±~n.Ïðîåêöèÿ ñïèíà íà îñü ~n èìååò òî÷íîå çíà÷åíèå 211ˆ ).â ñîñòîÿíèè ρ̂=n~σ2 (Ê + ~Ïðîåêöèÿ ñïèíà íà îñü ~n èìååò òî÷íîå çíà÷åíèå − 121ˆ ).â ñîñòîÿíèè ρ̂=n~σ2 (Ê − ~Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òàê:Ïðîåêöèÿ ñïèíà íà ïðîèçâîëüíóþ îñü ìîæåò èìåòü òî÷íîå çíà÷åíèå òîëüêî âîäíîì èç äâóõ ñîñòîÿíèé ñèñòåìû, ïðè÷åì ýòè ñîñòîÿíèÿ îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿâûáðàííîé îñüþ.Ýòè ôàêòû ìîæíî áûëî ïðåäñêàçàòü äî ÿâíîãî âû÷èñëåíèÿ ñðåäíèõ çíà÷åíèé, àíàëèçèðóÿñòðóêòóðó ìàòðèöû Q̂(~n).

Åå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ôîðìåQ̂(~n)1 ˆ1P+ (~n) + (− )Pˆ− (~n),22=ãäåP̂± (~n)1ˆ ).(Ê ± ~n~σ2=Ìàòðèöû Pˆ± (~n) óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèÿìP̂±+=P̂± ,P̂±2=P̂+P̂± ,+P̂−P̂+ P̂−==P̂− P̂+=0,Ê.Ïðåäñòàâëåíèå ìàòðèöû Q̂ â âèäå ñóììû ïðîåêöèîííûõ ìàòðèö ÿâëÿåòñÿ ïðèìåðîìîáùåé ôîðìóëû ñïåêòðàëüíîãî ðàçëîæåíèÿ ýðìèòîâîé ìàòðèöû.Äâóõðÿäíóþ ýðìèòîâó ìàòðèöó1(bÊ2âñåãäà ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñóììóF̂=F̂=+f+ Fˆ+16ˆ ),a~a~σ+~a2 = 1f− Fˆ− ,Fˆ±1ˆ ),(Ê ± ~a~σ2=f± =1(b ± a),2â êîòîðîé ìàòðèöû F̂± óäîâëåòâîðÿþò òåì æå ñîîòíîøåíèÿì, ÷òî è ìàòðèöû P̂± .Ïîëåçíî çàìåòèòü, ÷òî â òåðìèíàõ ñïåêòðàëüíîãî ðàçëîæåíèÿ ìàòðèöû ëåãêî ïðåäñòàâèòüëþáóþ åå ôóíêöèþ:g(F̂ ) = g(f− )F̂+ + g(f− )F̂− .Ñðåäíåå çíà÷åíèå hF i â ñîñòîÿíèè ρ ðàâíîhF i=f+ p++f− p− ,ãäå ÷èñëà p± ðàâíû ñðåäíèì çíà÷åíèÿì âåëè÷èí Fˆ± :p±hF̂± i.=Îíè óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿìp± ≥ 0,p+ + p− = 1,ïîýòîìó ñ íèìè ìîæíî ñâÿçàòü íåêîòîðîå ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé, èìåííî:p± = hF̂± i âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî çíà÷åíèå âåëè÷èíû F â ñîñòîÿíèè ρ ðàâíîf± .Äèñïåðñèÿ âåëè÷èíû F â ñîñòîÿíèè ρ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó äâóõ íåîòðèöàòåëüíûõâåëè÷èíDρ (F ) = f+ 2 p+ + f− 2 p− − (f+ p+ + f− p− )2 =(f+ − hF i)2 p++(f− − hF i)2 p− .Òàêèì îáðàçîì F ìîæåò ïðèíèìàòü òî÷íîå çíà÷åíèå òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè(f+ − hF i)2 p+ = 0(f− − hF i)2 p− = 0.Ýòî âîçìîæíî ëèøü â òàêèõ ñëó÷àÿõ(f+ = hF i(f− = hF ip+ = 0)p− = 0).Åñëè ÷èñëà f+ è f− ðàçëè÷íû, òî èç äâóõ ðàâåíñòâ f+ = hF i è f+ = hF i ñïðàâåäëèâûììîæåò áûòü òîëüêî îäíî.

Òàêèì îáðàçîì, åñëè â ðåçóëüòàòå èçìåðåíèÿ íàáëþäàåìîé ñíåâûðîæäåííûì ñïåêòðîì âûÿñíèëîñü, ÷òî îíà ïðèíèìàåò òî÷íîå çíà÷åíèå, òî âîçìîæíûäâà ñëó÷àÿhF i = f+ , p− = 0hF i = f− , p+ = 0.Ýòî óòâåðæäåíèå ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîìDρ (F )⇒ hF i = f+ ,ρ=èëè1ˆ ),(Ê + ~a~σ2ρ̂2 = ρ̂,1ˆ ), ρ̂2 = ρ̂.(Ê − ~a~σ2Òàêèì îáðàçîì, èçìåðÿÿ íàáëþäàåìóþ ñ íåâûðîæäåííûì ñïåêòðîì, ìîæíî âûÿñíèòü, âêàêîì ñîñòîÿíèè íàõîäèòñÿ ñèñòåìà.Åñëè íàáëþäàåìàÿ F̂ ñ íåâûðîæäåííûì ñïåêòðîì ïðèíèìàåò òî÷íîå çíà÷åíèå, òîîíî ðàâíî f± îäíîìó èç çíà÷åíèé ñïåêòðà ýòîé âåëè÷èíû.

Ìàòðèöà ïëîòíîñòèñèñòåìû ñîâïàäàåò â ýòîì ñëó÷àå ñ ìàòðèöåé F̂± , âõîäÿùåé â ñïåêòðàëüíîå ðàçëîæåíèåF̂ .Ñîñòîÿíèå, â êîòîðîì íåêîòîðàÿ íàáëþäàåìàÿ ñ íåâûðîæäåííûì ñïåêòðîì ïðèíèìàåòòî÷íîå çíà÷åíèå, íàçûâàþò ÷èñòûì.Dρ (F )⇒ hF i = f− ,ρ=17Ìàòðèöû ïëîòíîñòè ÷èñòûõ ñîñòîÿíèéF̂± îáëàäàþò îñîáîé ñòðóêòóðîé, âûäåëÿþùåéèõ ñðåäè ïðîèçâîëüíûõ ìàòðèö ïëîòíîñòè. Åñëè ïðåäñòàâèòü âåêòîð ~a â ôîðìå~a=(sinθcosφ, sinθsinφ, cosθ),òî ÿâíîå âû÷èñëåíèå ìàòðèöû F̂+ ïðèâîäèò ê âûðàæåíèþcos2 ( θ2 )cos( θ2 )sin( θ2 )e−iφF̂+ =.sin2 ( θ2 )cos( θ2 )sin( θ2 )eiφÅñëè îïðåäåëèòü ÷èñëàa1φθcos e−i 2 ,2=a2=θ φsin ei 2 ,2|a1 |2 + |a2 |2 = 1,òî F̂+ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ôîðìåF̂+=a1 a1 ∗a2 a1 ∗a1 a∗ 2a1 a∗ 2.Ýòî ÷àñòíûé ñëó÷àé ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö:ïðÿìûì ïðîèçâåäåíèåì ìàòðèö  è B̂ íàçûâàþò ìàòðèöó Â⊗B̂ , ýëåìåíòû êîòîðîéïîëó÷àþòñÿ ïîïàðíûì ïåðåìíîæåíèåì ýëåìåíòîâ ñîîòâåòñòâóþùèõ ìàòðèö:a11 B̂ ... a1n B̂ ⊗ B̂ =  ...........  .am1 B̂ ...

amn B̂Çàìåòèì, ÷òî ìàòðèöû  è B̂ íå îáÿçàòåëüíî êâàäðàòíûå, è ðàçìåðíîñòè ýòèõ ìàòðèöíå îáÿçàíû ñîâïàäàòü.Ïóñòü  ýòî ñòîëáåö a1 =,a2à B̂ ìàòðèöà, ýðìèòîâî ñîïðÿæåííàÿ Â, ò.å. ñòðîêàÂ+( a1 ∗=a2 ∗ ) . ýòîì ñëó÷àåa1 a1 ∗a2 a1 ∗a1 a2 ∗a2 a2 ∗Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî ïðåäñòàâèòü è ìàòðèöó F̂− :b1 B̂ +b1 b1 ∗F̂− = B̂ ⊗ B̂ + ==+b2 B̂b2 b1 ∗b1 b2 ∗b2 b2 ∗F̂+=+ ⊗ Â=a1 Â+a2 Â+ãäå B̂ ýòî ñòîëáåöB̂==b1b2.,,à ÷èñëà bt ðàâíûφθb1 = −sin( )e−i 2 ,2φθb21 = cos( )e−i 2 ,2|b1 |2+|b2 |2 = 1.×èñòîå ñîñòîÿíèå (ò.å. ñîîòâåòñòâóþùàÿ ìàòðèöà ïëîòíîñòè) îïðåäåëÿåòñÿ ñòîëáöîìêîìïëåêñíûõ ÷èñåë.18ÃÈËÜÁÅÐÒÎÂÛ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀÍà ïðîøëîé ëåêöèè ìû âûÿñíèëè íà ïðîñòîì ïðèìåðå, ÷òî âîçìîæíûå ñîñòîÿíèÿêâàíòîâîé ñèñòåìû ìîæíî ðàçäåëèòü íà äâà êëàññà ÷èñòûå è ñìåøàííûå.

×èñòûåñîñòîÿíèÿ ýòî ñîñòîÿíèÿ, â êîòîðûõ èìååò òî÷íîå çíà÷åíèå âåëè÷èíà âïîëíå îïðåäåëåííîãîòèïà íàáëþäàåìàÿ ñ ÷èñòî äèñêðåòíûì íåâûðîæäåííûì ñïåêòðîì. Âñå îñòàëüíûåñîñòîÿíèÿ ñìåøàííûå.Ñ ôîðìàëüíîé òî÷êè çðåíèÿ ÷èñòûå ñîñòîÿíèÿ ìîæíî îïðåäåëèòü êàê ñîñòîÿíèÿ, ìàòðèöàïëîòíîñòè êîòîðûõ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþρ̂2=ρ̂.Ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû òàêèõ ìàòðèö èìåþò âèäXρ̂st = φs φt ∗ ,|φs |2=1.sÑðåäíåå çíà÷åíèå ëþáîé âåëè÷èíû F â ÷èñòîì ñîñòîÿíèè ðàâíîXX0hF i = T r(F̂ ρ̂) =Fst ρts =φs ∗ φ s ,stãäå0φssX=Fst φt .tÒàêèì îáðàçîì ïðè ðàáîòå ñ ÷èñòûìè ñîñòîÿíèÿìè åñòåñòâåííûì îáðàçîì âîçíèêàþò ïîñëåäîâàòåëüíîñòèφ = {φs } è ÷èñëîâûå ôóíêöèè òàêèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåéXhφ|φi =φs ∗ ψs .sÂîçíèêàåò ñîáëàçí ïðèíÿòü òàêîãî ðîäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êàê îñíîâó ìàòåìàòè÷åñêîãîàïïàðàòà êâàíòîâîé ìåõàíèêè.Ïðåæäå âñåãî íóæíî îïðåäåëèòü êëàññ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, ñ êîòîðûìè ìû ñîáèðàåìñÿðàáîòàòü.