А.В. Булинский - Программа экзамена по теории вероятностей

Программа экзамена по теории вероятностейЛектор — А. В. БулинскийIV семестр, 2004 г.1. Вероятностные модели случайных экспериментов. Алгебра и σ-алгебра подмножеств. Аксиоматика Колмогорова. Дискретные вероятностные пространства. Классическое определение вероятности.2.

Свойства вероятности. Связь счетной аддитивности, конечной аддитивности и непрерывности. ТеоремаКаратеодори (без доказательства).3. Схема Бернулли. Геометрическое, гипергеометрическое и пуассоновское распределения.4. Функция распределения вероятностной меры на борелевской σ-алгебре B(R), свойства. Построение мерына B(R) по неубывающей функции, непрерывной справа и имеющей должные пределы на ∞ и −∞.5.

Формула полной вероятности. Формулы Байеса. Примеры.6. Первая лемма Бореля – Кантелли. Независимость событий (попарная и в совокупности). Вторая леммаБореля – Кантелли.7. Равномерное на отрезке, экспоненциальное и гауссовское (нормальное) распределения.8. Случайные элементы, их распределения вероятностей. Теорема об F |B-измеримости отображения X : Ω →S для случая, когда B = σ {M} и X −1 (M) ⊂ F (рассматриваются измеримые пространства (Ω, F ) и (S, B),M — система подмножеств S).

Действия над действительными случайными величинами. Борелевскиефункции от случайных величин.9. Пополнение вероятностного пространства. Сходимость случайных величин почти наверное. Измеримостьпредельной случайной величины. Построение случайного элемента с заданным распределением. Независимость (попарная и в совокупности) случайных элементов.10. Предельная теорема об асимптотически пуассоновском распределении числа частиц в данных областях Rn .11. π- и λ-системы множеств. Теорема о монотонных классах. Совпадение (вероятностных) мер на σ {K},если они совпадают на π-системе K. Следствие о независимости случайных элементов.

Независимостьслучайных величин в терминах функций распределения.12. Математическое ожидание (интеграл Лебега по вероятностной мере). Конструкция EX. Построение простых случайных величин 0 6 Xn ր X, n → ∞. Лемма о сходимости EXn к EX для 0 6 Xn ր X, n → ∞,где Xn – необязательно простые величины.13. Свойства математического ожидания (линейность, положительность; если X = Y почти наверное, тоEX = EY . Пространства Lp . Гильбертово пространство L2 , неравенство Коши – Буняковского – Шварца.Независимость борелевских функций от непересекающихся наборов, взятых из семейства независимыхслучайных величин. Формула EXY = EX · EY для независимых X, Y ∈ L1 .14.

Построение (с помощью бернуллиевских величин) последовательности независимых случайных величинX1 , X2 , . . . с заданными функциями распределения F1 , F2 , . . . .15. Дисперсия и ковариация, их свойства. Неравенство Чебышева.16. Закон больших чисел в форме Чебышева. Вероятностное доказательство теоремы Вейерштрасса.17. Теоремы о предельном переходе под знаком математического ожидания (теорема о монотонной сходимости,лемма Фату, теорема Лебега о мажорируемой сходимости).18.

Доказательство формулEh(X) =ZΩh X(ω) P (dω) =Zh(x)PX (dx),REh(x) =Zh(z)pX (z) dz,Rгде h — борелевская функция, pX (z) — плотность случайной величины X.19. Схема Пуассона. Оценка точности (по вариации) пуассоновской аппроксимации распределений сумм индикаторных случайных величин.120. Усиленный закон больших чисел для некоррелированных величин.21. Виды сходимости последовательности случайных величин и соотношения между ними.22.

Теорема Этемади.23. Закон нуля или единицы Колмогорова. Усиленный закон больших чисел Колмогорова.24. Критерий слабой сходимости вероятностных мер (теорема А. Д. Александрова без доказательства). Слабаясходимость в терминах функций распределения.25. Слабая относительная компактность и плотность семейства мер. Теорема Хелли. Доказательство теоремыЮ. В. Прохорова для вероятностных мер на B(R).26. Характеристические функции. Формула обращения.27.

Свойства характеристических условий. Теорема Бохнера – Хинчина (необходимость).28. Теорема П. Леви (теорема непрерывности).29. Свертка распределений. Центральная предельная теорема в условиях Линдеберга. Теорема Ляпунова.30. Теорема Феллера. Интегрирование по частям в интеграле Лебега – Стилтьеса. Неклассические условияцентральной предельной теоремы (без доказательства).31. Случайные векторы со значениями в Rn . Характеристические функции векторов. Многомерное нормальное(гауссовское) распределение, его свойства.32. Многомерная центральная предельная теорема.Последняя компиляция: 28 октября 2005 г.Обновления документа — на сайте http://dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.2.