Вопросы к экзамену по ТФКП, 211 группа, весна 2003

Вопросы к экзамену по ТФКП, 211 группа, весна 20031. Производная и дифференциал функции комплексного переменного. Условие КошиРимана.2. Геометрический смысл модуля и аргумента производной аналитической функции.3. Интеграл от функции комплексного переменного и его вычисление.4. Интегральная теорема Коши для односвязной области (доказательство при дополнительных предположениях).5. Интегральная теорема Коши для многосвязных областей.6. Интегральная формула Коши в односвязной области.7. Интегральная формула Коши в двусвязной области.8.

Интегральная формула Коши для производных аналитической функции.9. Теорема Лиувилля и основная теорема алгебры.10. Свойства степенных рядов комплексного переменного. Экспоненциальная и логарифмическая функции.11. Теорема о разложении аналитической функции в ряд Лорана и её следствия: разложение в ряд Тейлора.12. Единственность разложений в ряды Лорана и Тейлора.13.

Изолированные особые точки. Теорема об устранимой особой точке.14. Полюс. Поведение аналитической функции вблизи полюса.15. Существенно особые точки. Формулировка теоремы Сохоцкого-Вейерштрасса.Пример.16. Вычет и его вычисление. Теорема Коши о вычетах.17. Вычет в бесконечно удалённой точке. Вторая теорема о вычетах.18. Лемма Жордана и вычисление интегралов с её помощью.Вопросы к экзамену по методам математической физики, 211 группа, весна 20031. Классификация уравнений второго порядка.2. Характеристическое уравнение и характеристики.3. Приведение к каноническому виду уравнений гиперболического типа.4.

Приведение к каноническому виду уравнения параболического типа.5. Задача Коши для уравнения колебаний струны. Формула Д’Аламбера.6. Корректность задачи Коши для волнового уравнения.7. Полуограниченная струна с закреплённым концом. Метод нечётных продолжений.8. Полуограниченная струна со свободным концом. Метод чётных продолжений.9. Ограниченная струна с двумя закреплёнными концами.

Сведение к задаче Коши длянеограниченной струны.10. Ограниченная струна. Закон сохранения энергии. Теорема единственности.11. Применение метода Фурье к задачам о колебаниях струны.12. Теорема о максимуме и минимуме для параболического уравнения в криволинейном четырёхугольнике. Теорема единственности и непрерывной зависимости от начальныхусловий.13. Решение первой краевой задачи в прямоугольнике для уравнения теплопроводностиметодом Фурье.14. Теорема о максимуме и минимуме для уравнения теплопроводности в полосе. Следствия из этой теоремы. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности. ИнтегралПуассона для уравнения теплопроводности (везде только формулировки).15. Принцип максимума и минимума для гармонической функции и его следствия.16.

Решение задачи Дирихле в круге методом Фурье (случай гладкой граничной функции).17. Решение задачи Дирихле в круге методом Фурье (случай непрерывной граничнойфункции).18. Решение задачи Дирихле в круге. Интеграл Пуассона.19. Две теоремы о среднем для гармонических функций. Аналитичность гармоническихфункций.20. Формула Грина.21. Решение задачи Дирихле с помощью функции Грина..