Список задач к коллоквиуму
Описание файла
PDF-файл из архива "Список задач к коллоквиуму", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
1. åøèòü ñèñòåìó äèåðåíöèàëüíûõóðàâíåíèé2. åøèòü óðàâíåíèå ż = (α + iω)z, z ∈ C, α, ω ∈ R.3. Âû÷èñëèòü eA äëÿñëåäóþùèõìàòðèö: 0 1Ẋ = 003A= 000 12 0 ,0 3−1000100100 sin t1 X + cos t−1 003 5 0A = 0 3 4 ,0 0 3µ¶a −bA=.b a1A= 00(0.1)5 02 4 ,0 3(0.2)(0.3)4. à) Âåðíî ëè, ÷òî eA+B = eA eB ? á) Äîêàçàòü, ÷òî ýòî ðàâåíñòâî ñïðàâåäëèâî, åñëè AB = BA.5.
Ñóùåñòâóåò ëè ìàòðèöà A 6= 0 òàêàÿ, ÷òî: à) eA = E ? á) eA = 0?6. Âû÷èñëèòå det eA . Ïðè êàêîì óñëîâèè íà ìàòðèöó A àçîâûé ïîòîê ñèñòåìû Ẋ = AX ñîõðàíÿåò îáúåì?7. Äîêàæèòå, ÷òî ðåøåíèå ñèñòåìû ëèíåéíûõ ä.ó. Ẋ = AX ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå X(t) = etA X0 ,X(0) = X0 .8. NN 131, 133 Ôèëèïïîâà (Äîïîëíåíèå).9. Äîêàæèòå, ÷òî â îïðåäåëåíèè àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè òðåáîâàíèå óñòîé÷èâîñòè ïî Ëÿïóíîâó ñóùåñòâåííî.10.
Èññëåäóéòå íà óñòîé÷èâîñòü ñèñòåìó ẋ = ax + by, ẏ = cx + dy, a, b, c, d ∈ R, (x, y) ∈ R2 . Ïðèêàêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ îñîáàÿ òî÷êà ÿâëÿåòñÿ: à) ñåäëîì, á) óçëîì, â) îêóñîì?11. Èññëåäóéòå íà óñòîé÷èâîñòü íóëåâîå½ ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ ñèñòåìûẋ = −y − 2x3ẏ = x + y 3 .(0.4)12.
Èññëåäóéòå íà óñòîé÷èâîñòü ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ óðàâíåíèÿ ẋ = v(x) íà ïðÿìîé.13. Íàðèñîâàòü àçîâûé ïîðòðåò ñèñòåìû äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé: à) Ẋ = AX , X ∈ R2 ,á) ṙ = r(1 − r2 ), ϕ̇ = 1, r, ϕ ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû, â) ẋ = 2xy, ẏ = y2 − x2 .14. Íàðèñîâàòü àçîâûé ïîðòðåò óðàâíåíèÿ 2-ãî ïîðÿäêà: ẍ = −U ′ (x), x ∈ R. Íàéäèòå ïåðâûéèíòåãðàë ýòîãî óðàâíåíèÿ.15. Íàðèñóéòå àçîâûé ïîðòðåò ñèñòåìû ẋ = cos x sin y, ẏ = sin x cos y.16. Íàéäèòå àçîâûé ïîòîê óðàâíåíèÿ ẋ = f (x)/f ′ (x) íà ïðÿìîé.17. Ïîñòðîéòå âûïðÿìëåíèå âåêòîðíîãî ïîëÿ v(x) = x2 â îêðåñòíîñòè òî÷êè a > 0.18. Ïîñòðîéòå âûïðÿìëåíèå âåêòîðíîãî ïîëÿ: v = (−y, x), (x0 , y0 ) = (0, 1); á) ẋ = xy, ẏ = 0,(x0 , y0 ) = (1, 1).1.
