А.Т. Фоменко - Программа экзамена по классической дифференциальной геометрии

Программа экзамена по классической дифференциальной геометрииЛектор — А. Т. ФоменкоIV семестр, 2004 г.1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.Скалярные произведения. Псевдоевклидово скалярное произведение. Его свойства.Сферы и псевдосферы. Стереографические проекции в евклидовом и псевдоевклидовом случаях.Геометрия, индуцированная на псевдосферах. Модель Пуанкаре и геометрия Лобачевского.Области в Rn .

Декартовы координаты. Гладкие кривые, вектор скорости. Длина кривой в декартовыхкоординатах.Криволинейные координаты. Независимость длины кривой от параметра.Полярные, сферические, цилиндрические координаты. Их особые точки и якобианы замены координат.Якобиан замены координат. Регулярные замены. Матрица Якоби. Координатные линии, примеры.Гладкие k-мерные поверхности в евклидовом пространстве.

Длина кривой в криволинейной системе координат.Риманова метрика в области евклидова пространства En . Закон преобразования компонент метрики. Углымежду пересекающимися кривыми.Индуцированная риманова метрика на поверхностях в евклидовом пространстве. Примеры.Метрики на плоскости, цилиндре, сфере. Различные формы их записи (в том числе комплексная).Метрика на плоскости Лобачевского.

Различные формы ее записи (в том числе комплексная).Линейные преобразования En и движения римановой метрики, заданной в области в En .Группа изометрий римановой метрики. Ортогональные преобразования сохраняют евклидову метрику.Унитарные преобразования комплексного пространства.Группы движений евклидовой метрики на прямой, на плоскости, метрики на сфере.Связь группы вращений двумерной сферы с трехмерным проективным пространством. Различные определения проективного пространства.Группа движений метрики плоскости Лобачевского. Дробно-линейные преобразования.Связь группы движений метрики Лобачевского с группой SL(2, R).Топологические и метрические пространства, хаусдорфовость. Непрерывные отображения, гомеоморфизм.Связность, компактность.Общее определение многообразия.

Атлас, карты, координатные отображения. Функции перехода (склейки). Топологические и гладкие многообразия.Формулы Френе и кривизна на плоскости. Натуральный параметр. Подсчёт кривизны в произвольномпараметре.Формулы Френе в трехмерном пространстве. Кососимметричность матрицы Френе. Кривизна и кручение.Теорема о восстановлении плоской кривой по ее кривизне.Диффеоморфизм многообразий. Подмногообразия.

Многообразия с краем и без края.Область в Rn , график гладкой функции, неособая поверхность уровня гладкой функции, как гладкиемногообразия. Связь теоремы о неявной функции с гладкими подмногообразиями.Касательный вектор. Три его определения. Касательное пространство к гладкому многообразию.Гладкие отображения многообразий. Дифференциал гладкого отображения. Погружения и вложения. Ориентируемость и неориентируемость.Слабая теорема Уитни о вложении многообразий в конечномерное евклидово пространство.Римановы многообразия.

Индуцированная риманова метрика на подмногообразии. Примеры.Примеры двумерных многообразий (склейки из плоских многоугольников). Теорема классификации двумерных компактных замкнутых многообразий.Первая и вторая квадратичные формы. Явный вид второй квадратичной формы для графика функции.Инварианты пары форм. Средняя и гауссовы кривизны. Главные направления и главные кривизны. Теорема об ортогональности главных направлений гиперповерхности.133.

Кривые на поверхности. Нормальные сечения. Теорема об отношении квадратичных форм. Формула Менье.34. Теорема о совпадении собственных чисел пары форм с главными кривизнами. Формула Эйлера.35. Средняя и гауссовы кривизны для двумерных поверхностей. Примеры поверхностей постоянной гауссовойкривизны (положительной, нулевой, отрицательной).36. Минимальные поверхности. Мыльные пленки, теорема Пуассона – Лапласа о границе раздела двух сред(без доказательства).

Уравнение минимальной поверхности. Примеры.37. Гармонические и минимальные поверхности. Гармоничность минимальной поверхности в конформных координатах.38. Комплексное пространство. Длина кривой. Связь переменных z и z с вещественными координатами. Опеddи dz. Формулировка комплексного варианта теоремы о неявных функциях.раторы dz39. Алгебраические функции и их римановы поверхности.

Алгебраическая функция w2 = P (z), где полином Pне имеет кратных корней.40. Многозначность алгебраических функций. Римановы поверхности как области однозначности алгебраических функций. Ветви, точки ветвления. Примеры.41. Склейка римановой поверхности из нескольких листов. Риманова поверхность для w2 = P (z).Последняя компиляция: 22 июня 2005 г.Обновления документа — на сайте http://www.dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.2.