Задачи к первой контрольной

Контрольная №11. Среди вершин выпуклого n-угольника случайно выбираются три. Найдите вероятность того, что эти вершины образуют треугольник со сторонами, не совпадающимисо сторонами n-угольника.2. В ящик, содержащий n шаров, опускают один черный и один белый шар. После чегонаугад вынимают два шара. Найдите вероятность того, что среди вынутых шаровокажется один белый и один черный, если изначально в ящики лежат только черныеи белые шары, а все возможные варианты первоначального цветового состава шаровравновероятны.3.

На семинар пришли n студентов-математиков. После семинара ни один из них не смогузнать свою собственную шляпу, и они взяли шляпы наугад. Далее, каждый из них свероятностью p независимо от других мог потерять шляпу по дороге домой. Найдитевероятность того, что ни один студент не принес домой свою шляпу.4. Лорд Вайл любит выпить виски, количество выпитого за день случайно: с вероятностью 1/4 лорд не выпьет ни стакана, с вероятностью 2/5 — ровно один стакан, иначеон выпьет больше одного стакана виски. Его жена Леди Вайл, его сын и дворецкийзадумали убить лорда.

Если он не пил виски в этот день, его должна была убитьледи Вайл; если он выпил ровно один стакан, то убийство выпадало сыну лорда, впротивном случае это должен был осуществить дворецкий. В два раза более вероятно, что леди Вайл прибегнет к отравлению, чем к удушению. Дворецкий, наоборот,выберет удушение с вероятностью в два раза большей, чем отравление, а сын лордаравновероятно выберет любой из этих способов. Впрочем, нет никакой гарантии, чтолорд Вайл точно умрет, однако в три раза более вероятно, что он умрет от отравления, чем от удушения. Утром лорд Вайл мертв.

Найдите условную вероятность того,что убийцей был дворецкий.5. Случайная величина ξ имеет геометрическое распределение с параметром p : длялюбого k ∈ N выполнено P(ξ = k) = (1 − p)k−1 p. Найдите математическое ожиданиеи дисперсию ξ.6. Четыре игрока играют в бридж колодой из 52 карт. Каждому из них сдают по 13карт. Каждый игрок считает, что у него "хороший" расклад, если ему пришло дватуза или туз и король одной масти.

Cлучайная величина ξ — это число игроков,имеющих хороший расклад при случайной раздаче колоды. Найдите математическоеожидание и дисперсию ξ.Контрольная №21. Случайная величина X имеет экспоненциальное распределение с параметром 1, случайная величина Y имеет равномерное распределение на отрезке [0, 5], причем X иY независимы. Найдите вероятность того, что из отрезков, имеющих длины X, Y и1 можно составить треугольник.2. Случайные величины ξ1 и ξ2 независимы, причем ξ1 имеет экспоненциальное распределение с параметром 2, а ξ2 - гамма распределение с параметрами (1,2). Найдитеплотность случайной величины ξ1 − ξ2 .3. Пусть (ξ, η) — координаты случайной точки, имеющей равномерное распределение вобласти D = {x ≥ 0, y ≥ 0, x3 + y ≤ 1}. Найдите коэффициент корреляции ρ(ξ, η).4.

Пусть последовательность случайных величин ξn сходится по распределению с конPстанте C. Докажите, что в этом случае ξn → C.5. Пусть ξ1 , ξ2 — независимые стандартные нормальные случайные величины. Найдитехарактеристическую функцию случайной величины η = ξ1 ξ2 .Типовые задачи к зачету1. Дано множество S, состоящее из N элементов. X, Y, Z — независимые случайныеподмножества S, получающиеся по следующему правилу: каждый элемент s ∈ S свероятностью p независимо от других принадлежит случайному подмножеству, а свероятностью 1 − p — не принадлежит. Найдите вероятность событияX ⊆ (Y ∩ Z) ∪ Y .2. По n ящикам случайно раскладывают k шаров.

Найдите вероятность того, что всеящики непустые, если а) шары различимы, б) шары неразличимы.3. В ящике лежит 20 теннисных мячей, в том числе 12 новых и 8 уже использовавшихся. Из ящика извлекают наугад три мяча для игры. После игры мячи возвращаютобратно в ящик. После этого из ящика вынимают еще три мяча для игры. Известно,что среди вынутых во второй раз мячей, был по крайней мере один новый. Найдитеусловную вероятность того, что в первый раз тоже вынули по крайней мере одинновый мяч.4.

Рассматривается множество Rn = {1, 2, . . . , n}. Случайная величина ξ равна числуэлементов множества Rn , которые остались на своих местах при случайной перестановке Rn . Найдите математическое ожидание и дисперсию ξ.5. Пусть X, Y — две независимые экспоненциальные с параметром 1 случайные величины. Найдите вероятность того, что из отрезков, имеющих длины X, Y и 1 можносоставить треугольник.6.

Пусть случайная величина ξ имеет стандартное нормальное распределение. НайдитеE|ξ|n для всех n ∈ N.7. Случайные величины ξ1 и ξ2 независимы и имеют равномерное распределение наотрезке [0, 1]. Найти плотность случайной величины η = ξ1 /(ξ1 + ξ2 ).8. Случайные величины ξ1 и ξ2 независимы и имеют экспоненциальное распределение спараметром 1. Будут ли случайные величины η1 = ξ1 /(ξ1 + ξ2 ) и η2 = ξ1 + ξ2 независимыми?9. Является ли характеристической функция ϕ(t) = 1/(1 + t4 )?.