Программа спецкурса

Программа спецкурса «Гpуппы Ли»Лектоp — Э. Б. Винберг2004–2005 г.1. Группы Ли. Подгруппы Ли. Линейные группы Ли. Классические линейные группы Ли GLn (K), SLn (K),SOn (K), Spn (K), SUn . Прямые произведения групп Ли. Векторная группа Ли и n-мерный тор.2. Действия групп Ли, их орбиты и стабилизаторы. Орбиты компактных групп Ли.3. Многообразие смежных классов и факторгруппа Ли. Теоремы о транзитивном действии группы Ли и огомоморфизме групп Ли.4. Связные компоненты группы Ли.

Связность групп Ли SLn (K), SOn , SUn .5. Фундаментальная группа связной группы Ли. Отрезок точной гомотопической последовательности, связанной с транзитивным действием группы Ли. Односвязность групп Ли SLn (C) и SUn .6. Накрывающие гомоморфизмы связных групп Ли. Односвязная накрывающая группы Ли. Накрывающиегомоморфизмы SU2 −→ SO3 , SU2 × SU2 −→ SO4 , SL2 (C) −→ SO3 (C), SL2 (C) × SL2 (C) −→ SO4 (C).

Фундаментальная группа группы SOn (K).7. Присоединенное представление и касательная алгебра Ли группы Ли. Касательная алгебра линейной группы Ли.8. Дифференциал гомоморфизма групп Ли. Дифференциальное уравнение пути в группе Ли. Восстановлениегомоморфизма связной группы Ли по его дифференциалу.9. Касательные алгебры стабилизатора точки при действии группы Ли и ядра гомоморфизма групп Ли.Полный прообраз подгруппы Ли при гомоморфизме.10.

Соответствие между связными подгруппами Ли и подалгебрами касательной алгебры. Связь между инвариантными подпространствами для линейного представления связной группы Ли и его дифференциала.11. Экспоненциальное отображение в группе Ли. Связные коммутативные вещественные группы Ли.12. Существование гомоморфизма односвязной группы Ли с заданным дифференциалом.13.

Описание связных групп Ли с данной касательной алгеброй. Связные двумерные вещественные группыЛи.14. Группа автоморфизмов алгебры и ее касательная алгебра. Автоморфизмы групп и алгебр Ли. Внутренниеавтоморфизмы.15. Полупрямое произведение групп Ли, его касательная алгебра.16. Коммутант группы и алгебры Ли.

Разрешимые группы и алгебры Ли.17. Существование группы Ли с заданной разрешимой касательной алгеброй.18. Теорема Ли.19. Радикал алгебры Ли, его образ при неприводимом комплексном представлении.20. Полупростые алгебры и группы Ли. Полупростота связной неприводимой унимодулярной линейной группыЛи в комплексном векторном пространстве. Связь между полупростотой вещественной алгебры Ли и еекомплексификации. Полупростота групп Ли SLn (K), SOn (K), Spn (K), SOр,q , SUр,q .21. Радикал группы Ли.22.

Разложение Жордана линейного оператора в комплексном векторном пространстве. Разложение Жорданаограничения оператора на инвариантное подпространство и присоединенного оператора.23. Теорема Энгеля.24. Инвариантное скалярное умножение в полупростой алгебре Ли. Дифференцирования полупростой алгебрыЛи. Существование группы Ли с заданной полупростой касательной алгеброй.25. Разложение полупростой алгебры Ли в прямую сумму простых.126. Лемма о неподвижной точке компактной аффинной группы. Полная приводимость линейных представлений компактной группы. Унитарный трюк Вейля.27. Разложение касательной алгебры компактной группы Ли в прямую сумму полупростой и коммутативнойалгебр Ли.28. Оператор Казимира.

Теорема Вейля о полной приводимости линейных представлений полупростой алгебры Ли.29. Разложение Жордана в полупростой алгебре Ли.30. Линейные представления группы Ли SL2 (C).31. Картановская подалгебра и корневое разложение полупростой комплексной алгебры Ли. Свойства корневого разложения.32. Абстрактные системы корней. Группа Вейля, камера Вейля и система простых корней.

Восстановлениесистемы корней по системе простых корней. Матрица Картана и схема Дынкина.33. Корневые разложения, группы Вейля и схемы Дынкина классических комплексных алгебр Ли.Примечание. Все используемые общие топологические теоремы принимаются без доказательства.Последняя компиляция: 28 октября 2005 г.Обновления документа — на сайте http://dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.2.