Теормин 2016

1.Ðÿä è èíòåãðàë Ôóðüå. Cïåêòð îäèíî÷íîãî ïðÿìîóãîëüíîãî èìïóëüñàè ïåðèîäè÷åñêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïðÿìîóãîëüíûõ èìïóëüñîâ.ÐßÄ ÔÓÐÜÅ: Åñëè f (t) - "õîðîøàÿ"(å¼ àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà äîëæíà áûòü èíòåãðèðóåìà íà îòðåçêå îò −τ0 /2 äî τ0 /2 ) ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ñ ïåðèîäîì τ0 = 2π/ω0 , òîåå ìîæíî ðàçëîæèòü â ðÿä Ôóðüå (íèæå ïðèâîäÿòñÿ íåñêîëüêî ôîðì çàïèñè ðÿäà Ôón=∞n=∞a0 Xa0 X+(an cos(nω0 t) + bn sin(nω0 t)), f (t) = +cn sin(nω0 t + φn ), ãäåðüå): f (t) =2 n=12 n=1Zτ0 /2Zτ0 /2p2an2cn = a2n + b2n , tgφn = , an =f (t) cos(nω0 t)dt, bn =f (t) sin(nω0 t)dt,bnτ0τ0−τ0 /2f (t) =n=∞X1C˜n einω0 t , C˜n =τ0n=−∞Zτ0 /2−τ0 /2f (t)e−inω0 t dt.

Ïðèìåð: Åñëè ïåðèîäè÷åñêàÿ ïîñëå-−τ0 /2äîâàòåëüíîñòü ïðÿìîóãîëüíûõ èìïóëüñîâ äëèòåëüíîñòüþ τ1 ñ ïåðèîäîì τ0 è àìïëèòóäîé f0 îïèñûâàåòñÿ ÷åòíîé ôóíêöèåé òî êîýôôèöèåíòû an îòëè÷íû îò íóëÿ (äëÿ τ sin(πnτ /τ )1 01. Ïðè óâåëè÷åíèèíå÷åíòíîé ôóíêöèè îòëè÷íû îò íóëÿ bn ): an = 2f0τ0 (πnτ1 /τ0 )τ0 ñïåêòð ñòàíîâèòñÿ ïëîòíåå è â ïðåäåëå τ0 → ∞ ïåðåõîäèì ê èíòåãðàëó Ôóðüå (ïðåîáðàçîâàíèþ Ôóðüå). Ïðè óâåëè÷åíèè τ0 (èìïóëüñû èäóò ðåæå) ãàðìîíèêè ÷àùå(∆ω = 2π/τ0 ìåíüøå).  ïðåäåëå n → ∞ èíòåãðàë Ôóðüå.

Íî õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ÷àñòîòà ω ∗ = n∗ ω0 = 2π/τ1 ïðè ýòîì íå ìåíÿåòñÿ.ÈÍÒÅÃÐÀË ÔÓÐÜÅ: Ëþáóþ äîñòàòî÷íî "õîðîøóþ"ôóíêöèþ ìîæíî ðàçëîæèòü â èíZ∞Z∞dωòåãðàë Ôóðüå: F (t) =F (ω)eiωtôóíêöèÿ; F (ω) =F (t)e−iωt dt Ôóðüå2π−∞−∞îáðàç. Ïðèìåð: ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïðÿìîóãîëüíîãî èìïóëüñà àìïëèòóäû U0 è äëèòåëüíîñòè τ0 : U (ω) = U0Zτ /2e−iωt ωτ τ.dt = sinc22−τ /2ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÐßÄÎÂ È ÈÍÒÅÃÐÀËΠÔÓÐÜÅ: F1 (t)+FZ 2 (t)+F3 (t) ↔ F1 (ω)+F2 (ω)+F3 (ω); αF (t) ↔ αF (ω), α =const;dF (t)↔ iωF (ω);dtF (t)dt ↔F (ω)iω2. Ìàòåìàòè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ÀÌ (Àìïëèòóäíî-ìîäóëèðîâàííûé),×Ì(×àñòîòíî-ìîäóëèðîâàííûé), ÔÌ(Ôàçîâî-ìîäóëèðîâàííûé) ñèãíàëîâ.Ñïåêòðû ÀÌ, ÔÌ ñèãíàëîâ.(1) ÀÌñèãíàë ñèãíàë, àìïëèòóäà êîòîðîãî èçìåíÿåòñÿ ìåäëåííî ñî âðåìåíåì ïî1 dA(t) ω. (2) ÔÌñèãíàë A(t) dtñèãíàë, ôàçà êîòîðîãî èçìåíÿåòÿ, ìåäëåííî ñî âðåìåíåì ïî ñðàâíåíèþ ñ èçìåíåíèåìdϕ(t)íåñóùåé: U (t) = A cos(ωt + ϕ(t)), ω.

(3) ×Ìñèãíàë ñèãíàë ÿâëÿåòdtZtdφñÿ áëèçêèì ê ÔÌñèãíàëó. U= A0 cos ω0 t +∆ω(τ )dτ , |∆ω(τ )| ω0 ,=dtñðàâíåíèþ ñ èçìåíåíèåì íåñóùåé: UAM (t) cos ωt,ÔÌ×Ì−∞∆ω(t). (1) Ðàññìîòðèì ñíà÷àëàïðîñòåéøèé ñëó÷àé ÀÌ ñèãíàëà a(t): a(t) = A0 (1 +mmm cos ωt) cos ω0 t, a(t) = A0 cos ω0 t + cos(ω0 + Ω)t + cos(ω0 − Ω)t Çäåñü ω ÷à22ñòîòà íåñóùåé, Ω ÷àñòîòà ìîäóëÿöèè, m êîýôôèöèåíò ìîäóëÿöèè.

Ìû âèäèì, ÷òîÀÌ ñèãíàë ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðîñòî ñóììó òðåõ ñïåêòðàëüíûõ ñîñòàâëÿþùèõ:ω0 , (ñ"âûñîòîé"A); ω0 ±Ω, (mA/2). Ïðîèçâîëüíûé ÀÌ ñèãíàë ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå:UÀÌ (t)=Aslow (t) cos ω0 t,Aslow (t)ìåäëåííàÿîãèáàþùàÿ.Ñïåêòð ÀÌ ñèãíàëà a(ω) ñâÿçàíñî ñïåêòðîì àìïëèòóäíîé îãèáàþùåéA(ω) (òåîðåìà î ïåðåíîñå ñïåêòðà):Z∞UÀÌ(ω) =dtUÀÌ(t)e−iωt =−∞1(Aslow (ω + ω0 ) + Aslow (ω − ω0 ))2(2) Cïåêòð ÔÌ ñèãíàëà U= A0 cos(ω0 t + m sin Ωt) (m êîýôôèöèåíò ôàçîâîé ìîäóëÿöèè) øèðå àíàëîãè÷íîãî ÀÌ ñèãíàëà è ñîäåðæèò íå òîëüêî ñîñòîâëÿþùèå ω ± Ω, íî è êîìáèíàöèè ω ± kΩ (k öåëîå).

 ëèíåéíîì ïî m ïðèáëèæåíèè (m 1) ÔÌ ñèãíàë ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó òðåõ ñïåêòðàëüíûõ ñîñòàâëÿþùèõ ω0 , (ñ "âûñîòîé"A); ω0 ± Ω, (±mA/2 ñîîòâåòñòâåííî). (3) Ïðîñòåéøèé ñëó÷àé∆ωsin Ω + φ0 ,÷àñòîòíî-ìîäóëèðîâàííîãî ñèãíàëà: U= A cos φ(t), φ(t) = ω0 t +Ω ∆ωdφ∆ω= ω0 + ∆ω cos Ωt, U = A cos ω0 t +sin Ωt + φ0 ,> 1 øèðîêîïîëîñíàÿdtΩΩ∆ω×Ì;< 1 óçêîïîëîñíàÿ ×Ì. Âèäíî, ÷òî ÔÌ è ÷àñòîòíî-ìîäóëèðîâàííûé (×Ì)Ωñèãíàë ñâîäÿòñÿ îäèí ê äðóãîìó. Ýòî ñïðàâåäëèâî ïðè ãàðìîíè÷åñêîé ÔÌ èëè ×Ììîäóëÿöèè.

Îäíàêî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî çàêîíà ìîäóëÿöèè âîîáùå ãîâîðÿ ýòî íå òàê èdφíàäî ïîëüçîâàòüñÿ óðàâíåíèåì= ∆ω(t).dtÔÌ×Ì×Ì3. Àíàëîãîâûé è äèñêðåòíûé ñèãíàëû. Âîññòàíîâëåíèå íåïðåðûâíîãîñèãíàëà èç äèñêðåòíîãî ñèãíàëà. Òåîðåìà Êîòåëüíèêîâà.ÒÅÎÐÅÌÀ ÊÎÒÅËÜÍÈÊÎÂÀ. Çàäàíèì íåïðåðûâíûé ñèãíàë h(t) íàáîðîì îòñ÷åòîâ: hn = h(n∆), ãäå ∆ èíòåðâàë äèñêðåòèçàöèè, 1/∆ ÷àñòîòà äèñêðåòèçàöèè. òàêîì ñëó÷àå, åñëè ñïåêòð ñèãíàëà îãðàíè÷åí è âåðõíÿÿ ÷àñòîòà ñïåêòðà ìåíüøåf c = 1/(2∆)(÷àñòîòà Íàéêâèñòà), òî ïî äèñêðåòíîìó íàáîðó hn ìîæíî òî÷íî âîññòàíîâèòü èñõîäíûé ñèãíàë: h(t) =∞Xn=−∞hnsin[2πfc (t − n∆)]2πfc (t − n∆)ÀÍÀËÎÃÎÂÛÉ ÑÈÃÍÀË ñèãíàë, îáëàñòü îïåðåäåëåíèÿ êîòîðîãî åñòü íåïðåðûâíîåïðîñòðàíñòâî, ò.å. ïðîñòðàíñòâî íå ÿâëÿåòñÿ äèñêðåòíûì.

Ðàçëè÷àþò äâà ïðîñòðàíñòâà: ïðîñòðàíñòâî L(íåïðåðûâíûéå ñèãíàëû) è ïðîñòðàíñòâî l(ïðîñòðàíñòâî ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé). Ïðîñòðàíñòâî l åñòü ïðîñòðàíñòâî êîýôôèöèåíòîâ Ôóðüå (ñ÷¼òíîãîíàáîðà ÷èñåë, îïðåäåëÿþùèõ íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ íà êîíå÷íîì èíòåðâàëå îáëàñòèîïðåäåëåíèÿ); Ïðîñòðàíñòâî L ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíûõ ïî îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ(àíàëîãîâûõ) ñèãíàëîâ. Ïðè íåêîòîðûõ óñëîâèÿõ ïðîñòðàíñòâî L îäíîçíà÷íî îòîáðàæàåòñÿ â ïðîñòðàíñòâî l (òåîðåìà Êîòåëüíèêîâà).ÄÈÑÊÐÅÒÍÛÉ ÑÈÃÍÀË èíôîðìàöèîííûé ñèãíàë, êîòîðûé ïðåäñòàâëåí â âèäåîòñ÷¼òîâ, âçÿòûõ ïî âðåìåíè.

Öèôðîâîé ñèãíàë äèñêðåòíûé ñèãíàë êâàíòîâûííûéïî àìïëèòóäå. Ñèãíàëû ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé äèñêðåòíûå ýëåêòðè÷åñêèå èëè ñâåòîâûåèìïóëüñû. Ïðè òàêîì ñïîñîáå âñÿ åìêîñòü êîììóíèêàöèîííîãî êàíàëà èñïîëüçóåòñÿäëÿ ïåðåäà÷è îäíîãî ñèãíàëà. Öèôðîâîé ñèãíàë èñïîëüçóåò âñþ ïîëîñó ïðîïóñêàíèÿêàáåëÿ. Ïîëîñà ïðîïóñêàíèÿ - ýòî ðàçíèöà ìåæäó ìàêñèìàëüíîé è ìèíèìàëüíîé ÷àñòîòîé, êîòîðàÿ ìîæåò áûòü ïåðåäàíà ïî êàáåëþ. Óçêîïîëîñíûå ñèñòåìû ïåðåäàþòäàííûå â âèäå öèôðîâîãî ñèãíàëà îäíîé ÷àñòîòû. Äèñêðåòíûé öèôðîâîé ñèãíàë ñëîæ-íåå ïåðåäàâàòü íà áîëüøèå ðàññòîÿíèÿ, ÷åì àíàëîãîâûé ñèãíàë, ïîýòîìó åãî ïðåäâàðèòåëüíî ìîäóëèðóþò íà ñòîðîíå ïåðåäàò÷èêà, è äåìîäóëèðóþò íà ñòîðîíå ïðè¼ìíèêàèíôîðìàöèè.4.Îïðåäåëåíèå ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè ëèíåéíîé ñèñòåìû.

Ôèçè÷åñêèéñìûñë À×Õ è Ô×Õ. Ïðåäñòàâëåíèå ñèãíàëà uâûõ (t) íà âûõîäå ëèíåéíîé ñèñòåìû ÷åðåç âõîäíîé ñèãíàë uâõ (t) è ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ ñèñòåìû K(ω).Ïðè ðàçëîæåíèè ñèãíàëîâ ïî êîìïëåêñíûì ãàðìîíè÷åñêèì ôóíêöèÿì eiωt õàðàêòåðèñòèêîé öåïè ÿâëÿåòñÿ îòêëèê öåïè íà âõîäíîé êîìïëåêñíûé ñèãíàë Ũâõ eiωt . Ïðè ýòîìîòêëèê öåïè (âûõîäíîé ñèãíàë) áóäåò ñèãíàëîì âèäà Ũâûõ eiωt .

Îòíîøåíèå êîìïëåêñíîéàìïëèòóäû ãàðìîíè÷åñêîãî ñèãíàëà íà âûõîäå öåïè ê êîìïëåêñíîé àìïëèòóäå âõîäíî-Ũ eiωtíàçûâàþò ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåé öåïè. ż ìîæíî ïðåäãî ñèãíàëà K̃(ω) =Ũ eiωtñòàâèòü â âèäå: K̃(ω) = K(ω)eiϕ(ω) . Ìîäóëü K(ω) íàçûâàþò àìïëèòóäíî-÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêîé (À×Õ), à àðãóìåíò ϕ(ω) ôàçî-÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêîé (Ô×Õ) öåïè.Ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ ïîêàçûâàåò îòíîøåíèå óñòàíîâèâøèõñÿ ãàðìîíè÷åñêèõ íàïðÿæåíèé íà âûõîäå ê íàïðÿæåíèþ íà âõîäå, ïðè÷åì ìîäóëü ïîêàçûâàåò îòíîøåíèå èõàìïëèòóä (À×Õ), à àðãóìåíò èõ ðàçíîñòü (Ô×Õ).

Ïðè ýòîì ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòüâûõîäíîãî ñèãíàëà S̃ (ω) ñâÿçàíà ñî ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòüþ âõîäíîãî S̃ (ω) ñîîòíîøåíèåì S̃ (ω) = K̃(ω)S̃ (ω).âûõâõâûõâûõâõâõ5. Îïðåäåëåíèå ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè ëèíåéíîé ñèñòåìû. Ôèçè÷åñêèéñìûñë À×Õ è Ô×Õ. Äëÿ çàäàííîé RC- [LR-] öåïî÷êè ðàññ÷èòàòü êîýôôèöèåíò ïåðåäà÷è è ïîñòðîèòü ãðàôèêè À×Õ è Ô×Õ.(+ Ñì. 4.) ÀËÃÎÐÈÒÌ: Ïåðåéòè ê êîìïëåêñíûì ñîïðîòèâëåíèÿì (R) → R, (C) →1iωC (L) → iωL. Çàïèñàòü âõîäíîå è âûîäíîå íàïðÿæåíèå: UâõRC = I ((R) + (C)),(C)U=; èURC(R) √+ (C)ïðèâåñòè å¼ ê êîìïëåêñíîìó âèäó K = a + b i ïîñ÷èòàòü ìîäóëü |K| = a2 + b2 ,1è àðãóìåíò ϕ = arctg(b/a): |KRC | = √, ϕRC = −arctg(ωRC); Äëÿ CR:1 + R2 ω 2 C 2ωRC1iωL/R|KCR | = √, ϕCR = arctg().

Äëÿ LR: K(ω) =ωRC1 + iωL/R1 + R2 ω 2 C 2UâûõRC= I (C); Íàïèñàòü ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ: K =âûõRC6. Îïðåäåëåíèå ïåðåõîäíîé õàðàêòåðèñòèêè ëèíåéíîé ñèñòåìû. Ãðàôèêïåðåõîäíîé õàðàêòåðèñòèêè h(t) äëÿ LR − [RC−] öåïåé. Ïðåäñòàâëåíèå âûõîäíîãî ñèãíàëà uâûõ (t) ÷åðåç âõîäíîé ñèãíàë uâõ (t) è ïåðåõîäíóþ ôóíêöèþñèñòåìû. (+ Ñì. 4.)Ïðè ðàçëîæåíèè ïî ñòóïåí÷àòûì ôóíêöèÿì õàðàêòåðèñòèêîé öåïè ÿâëÿåòñÿ ïåðåõîäíàÿ õàðàêòåðèñòèêà öåïè h(t) îòêëèê öåïè íà ñèãíàë â âèäå ñòóïåíüêè åäèíè÷íîéâûñîòû (ôóíêöèè åäèíè÷íîãî ñêà÷êà, ôóíêöèÿ Õåâèñàéäà). Âûõîäíîé ñèãíàë ïðè ýòîìïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå fâûõ (t) =Ztf 0 (ξ)h(t − ξ)dξ =âõ−∞ÑÂßÇÜ ÔÓÍÊÖÈÉ h(t) è K(ω): h(t) =uK(ω) =uâûõâõZ∞−∞ddtZtf (ξ)h(t − ξ)dξ ;âõ−∞K(ω) iωt dωe, ( → 0); K(ω) =iω + 2πZ∞h0 (t)e−iωt dt;−∞;7. Îïðåäåëåíèå èìïóëüñíîé õàðàêòåðèñòèêè ëèíåéíîé ñèñòåìû. Ãðàôèêèìïóëüñíîé õàðàêòåðèñòèêè g(t) äëÿ LR − [RC−] öåïåé.

Ïðåäñòàâëåíèå âûõîäíîãî ñèãíàëà uâûõ (t) ÷åðåç âõîäíîé ñèãíàë uâõ (t) è èìïóëüñíóþ ôóíêöèþñèñòåìû.Âõîäíîå íàïðÿæåíèå ìîæíî ðàçëîæèòü ïî δ èìïóëüñàì. Uâõ (t) =Zt âõ (τ )δ(t − τ )dτU−∞Òîãäà âûõîäíîå íàïðÿæåíèå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå ñóïåðïîçèöèè Uâûõ (t) =Zt âûõ (τ )g(t−τ )dτ ïî íåêîòîðûì ôóíêöèÿì g(t), êîòîðàÿ çàâèñèò îò ïàðàìåòðîâ ðàñU−∞ñìàòðèâàåìîé ëèíåéíîé ñèñòåìû è íàçûâàåòñÿ èìïóëüñíîé õàðàêòåðèñòèêîé. Ôèçè÷åêèé ñìûñë èìïóëüñíîé õàðàêòåðèñòèêè çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî îíà îïèñûâàåò ðåàêöèþëèíåéíîé ñèñòåìû íà äåëüòà-ôóíêöèþ. ÑÂßÇÜ ÔÓÍÊÖÈÉ:g(t) =Z∞K(ω) =Z∞K(ω)eiωtdω;2π−∞g(t)e−iωt dt; K(ω) =uuâûõ;âõ−∞8.

Èíòåãðèðóþùèå è äèôôåðåíöèðóþùèå LR − [RC−] öåïè. Óñëîâèÿèíòåãðèðîâàíèÿ è äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñèãíàëîâ â ÷àñòîòíîì è âðåìåííîìïðåäñòàâëåíèÿõ.Îïðåäåëèì êàê èäåàëüíî ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÐÓÞÙÓÞ öåïî÷êó, âûõîäíîé ñèãíàë êîòîðîé åñòü ïðîèçâîäíàÿ îò âõîäíîãî. Ýòî îçíà÷àåò âûïîëíåíèå óñëîâèÿ Uâûõ (t) =dU (t), ãäå a ïîñòîÿííàÿ.

Êîýôôèöèåíò ïåðåäà÷è òàêîé èäåàëüíî äèôôåðåíöèðóadtþùåé öåïî÷êè: K= iωa, òàêóþ öåïî÷êó íåëüçÿ ñîáðàòü èç R, C, L ýëåìåíòîâ,ýòî ìàòåìàòè÷åñêàÿ àáñòðàêöèÿ. Íî ïðè îïðåäåë¼ííûõ óñëîâèÿõ CR− è RL− áóäóòiωτ ∗∗∗ïðèáëèæåííî äèôôåðåíöèðóþùèìè: K(ω) =, ãäå τCR= RC τRL= L/R ∗1 + iωτâðåìÿ ðåëàêñàöèè öåïî÷êè. Óñëîâèå äèôôåðåíöèðóåìîñòè íà ÷àñòîòíîì ÿçûêå: ωτ ∗ 1 ⇒ K(ω) ' iωτ ∗ è íà íà âðåìåííîì ÿçûêå τ ∗ t0 (t0 õàðàêòåðíîå âðåìÿ ñèãíàëà).Îïðåäåëèì êàê èäåàëüíî ÈÍÒÅÃÐÈÐÓÞÙÓÞ öåïî÷êó, âûõîäíîé ñèãíàë êîòîðîéZtU (τ )dτ, ãäå b ïîñòîÿííàÿ. Êîýôôèåñòü èíòåãðàë îò âõîäíîãî, ò.å.

U (t) = bâõèä.äèôôâûõâõ−∞böèåíò ïåðåäà÷è: K= , òàêóþ öåïî÷êó íåëüçÿ ñîáðàòü èç R, C, L ýëåìåíòîâ. Íîiωïðè îïðåäåë¼ííûõ óñëîâèÿõ RC− è LR− áóäóò ïðèáëèæåííî èíòåãðèðóþùèìè. Èõ1L∗∗K(ω) =,τ=RC,τ=; Óñëîâèå èíòåãðèðîâàíèÿ íà ÷àñòîòíîì ÿçûêåLR1 + iωτ ∗ RCR1ωτ ∗ 1 ⇒ K(ω) '; íà âðåìåííîì ÿçûêå: τ ∗ t0 .∗iωτ9. Ïîñëåäîâàòåëüíûé êîëåáàòåëüíûé êîíòóð.