Для тестирований. Всё в одном

~г~1~и+ и) = фгЫи+ фей и йч~а+ 6) = й~а+ йч6" гоф~ + Ь) = гоФ а + го1 Ь рж1~ию) = ирайи+ ирайи райДи) = ~'~и) ргали ифли — ифг~1 и раа.— рай~а,Ь) = ~6",го~а~ + ~а,го~Я + ~Ь„Ф)а+ ~а,~')6 Й~ф~а) = ~фг~1и,а) + и Й1~ а Ййф~,Я~ = ~Ь,го1а) — ~а,гойЬ) гоФ~иа) = ~фгЫи,а.~+ иголка Ча,61 = ад1чЬ вЂ” Ьйу а+ ~Ь,7)а — 1ИЛ)Ь Рассмотрим ряды: ~'"' а„ Щ вЂ” знакопеременный н ~„ДП„1 «П) — знакопостомнный. Если рмд «П) сходится, то ряд «1) тоже сходптсм.

В этом случае говорят, что ряд «1) сходится абсОлю1мио. Если ряд «1) сходится, а ряд «П) — расходится, то говорят, что ряд «1) сходится усмон. С~ мма абсомкилио сходящегося ряда не .Меиме~лсм при лерес~лаиоаке членов, гслоано сходящегося —.Иеимео$см «что Ве~~м~ необычно: с конечны.ии суммамп такого не бмвает), Для исследОВЙННЯ абсолютной сходимости применяются признаки схОдимости знакопостомнных рядов. Для исследования обмчной сходнмостн ряда «1) используктг спепиальные признаки сходнмости для знакоперемеиных рядов, Признак Лейбница. Рассмотрим рмд ~„.,« — 1)" Ь„. Если (Ь„) — моиощоннам последовательность и 1нп Ь„= О, то рмд сходится.

Признак Днрихле. Рассмотрим ряд 2,'„, П„Ь„. Пусп* 1) ~С: 1Х„", а„| < С «гл1, 2) ~Ь„) —.монотонном последовательность н 1пп Ь„= О. Тогда рмд ~„, П„Ь, сходится. Замечание 1.Число С не должно зависеть от Ж. Оно общее длм Всех И. Замечание 2, Признак Лейбнипа непосредственно следует из признака Днрихле, если по- ложить ам = «-т) .

Замечание 3. Признак Дирпхле не стоит использовать длм знакопостомннмх рядов. Для нпх есть более простме признаки. С. е еи т* р д .Б рмдыХ„", „и~:„",Ь„сход пм 1 Ьи = «ап 1 Ьп), т. е, ряд, стоящий В правой части, тоже схОдится, и СГО сумма Вмражаетсм через суммам исходных рядов. Докйжемоценкудля '1Я1ппх1, Поскольку О с '1Я1ппх1 < '1„то 3. — со$2пх !Я1п пх1 > ~з«ппх1 * 1яп пх~ = з1пз пх = 2 Опснка длм 1соя пх~ доказиваетсм аналОГичнО. р р р р Рассмотрим знаконостомннь~й ряд ~~ „т йт„. Пус*ь, для оиределднностиа его члены неотри- цатечьньк ип ~ О (начиная с некоторого ноьщ~а). Призиаи сраииеиии. Рассмотрим даа ряда: ~„, а„(1) и ~„, Ь„(И).

Пусть О ~ а„< Ь„ЧН > ие (т. е. начиная с некоторого номера иц). Ряд (И) назыаается мажораптным для ряда (1)а а ряд (1) называется мииоринтным для ряда «П). 1'огда а) если (П) сходитсм =бр (1) сходится, 6) если (1) расходится ~ (11) расходится. Признак Коши. Пусть а„- О (начиная с некоторого номера), 1.

Пусть бает "„/а„д ткоиечный иди бесконечный предать Тогда а) и ~ 1 =ДР РЯД РИСХОДИТсме а)йЯ 'х: Цд„ЯЧи>ие ьраасходитса, б) ЯЯ ни > ие ы рак расходитса. иак Даламбера. Пусть а > О (начиная с некото 6) — "' > 1. ~и > ио саад ьд Ити —" = 1, то ряды ~:„, а„и уд -еод астр 2. Если ирд- — ири и -р 00т где с и'" Вью порядок л -р сО: 11п$— П- рр хурхск ряд Х,",— а а) СХОДИТСЯ ПРИ й ~ь 1, 6) расходится при а < 1.

~' уь-т Ьм СХОдяТСя ИЛИ раСХОдяТСя ОдНОЯРЕМЕННО. Ф О (т. е. Иоследоаательности й„и — име~от одинако- П"и = с Ф О, зто ен~е занисыаакрт а аиде и„= 0' — ), то д.пах. Признаки сравнения. 1. Пусть |Лх)1 < Г"(х) при всех Достаточно больших положцтельйыя х ()«Гх > х«)). ТоГЛа 3 Р~х) «(х =«р 3 1ДХ)(с(х =~ 3 Ях) йх. А израсяодимости) Дх) «'.(хследуетрасходимость,~ (Дх)(«)(х Й) Е(х) «'(х* Айалогйчно лля несобствеийыя интегралов второго рода.

2. Пусть д(х) > О при всех достаточно больших полвкительйых х й Дх) = О'~,д(х)) прах р+«)о Щх) и д(х) — величины ОдногО порядка при х -р +«)«)), т. е. 3 1(ш — = с Ф О вЂ” конечный предел. Х(х) * ж- +хну я(х) Тогла. Интегралы ) Дх) дх и ) ф(х) д.'х сходятся йлй расходятся олйовременио, Айалогйчйо для йесобственныя интегралов второго рода.

3. ПупхьуЬх)=0'( — „)прах +~. Тогда ( Дх) «',(х сходится при р > 1, расходится при р < 1. 4. ПуахьУ«х) О'( — „) прах а+ О. Тогда )' )р(х) Нх сходится при р < 1, расходится при р > 1. '« Аналогично для Дх) = О* ( —,„,„~ при х -р Ь вЂ” О, Оценка Признак Дйрняле Рассмотрим Йитеграл ~ Дх)я(х) «ах. Пусть 1) функция Дх) имеет ограниченнуи) первообразнук) Г (х) = 1 ~(т) «й, т.

е, 3С: (Г(х)~ < С )«~х > «т; 2) функцйя,д(х) мойотонйа прй всех достаточйо больших поло~кительйыя х й ,д(х) -р О при х -р +«)«). Тогда интеграл ) Дх)у(х) дх сходится. Критерий Коан (необяодй«иое н Достаточное условие сяодймостй йесобстйеййого ййхнгРнхн)О«Ях)Ахььнх>ООА>а:на„ах>А «) 'Уьх)рх«ах. Айалогйчйо лля йесобствейиого интеграла второго рода.

Рассмотрим несобственные интегралы первого рода: Дх) Нх (1) и ~, 1)".(х) ~ йх. (П) Если (И) сходится, то (1) тоже сходится. Тогда Говорят, что (1) сходится абсолютно. Если (1) сходится, а (П) — расходится, то говорят, что (1) сходится условно.

Аналогично для несобственных интегралов втОроГО рода. Для исследования абсолютнОй сходимости используются признаки сравнения. КОгда абсолютной сходимости нет, можно использовать признак Дирнхле, Признак Дирпхле. Рассмотрим интеграл 1* Дх)11(х) Йх. Пусть 1) фуНКПИЯ ДХ) ~Мест ОграНИЧЕННуЮ ПЕРВООбраЗНуЮ Г (Х) = 1 ДГ) О Ге *. Е. ЗС: 1Е(х) ! < С ~х > а; 2) функция,д(х) монотонна при всех достаточно больших положительных х и ,д(х) > О прп х -+ +с»». ТОГда интеграл ~ Дх)ц(х)»зх схОдится. Заисчаоие 1, Здесь число С не должно зависеть От х.

За.исчахшие 2. Для несобственны»х интегралов вто1юго 1юда аналогичного призна~а нет. Ддя доказательства неабсолютной сходимостн таких интеграло~ их надо сводит~ к несобственным интегралам первого рода с помощью замены переменной. За.иечаиас 3. Не стоит использо~а~ь признак Дирихле для интегралове сходящихс~ абсолютно. В зтом случае более удобно использовать признаки сравнения. Критерий Коши (необходимое и достаточное условие сходимоетп несобственного иитеерале».х»»»х) »хаете>»»ЗА >а:Еа„ае >Е»» 'Х»х)ах~ (е.

Анало1'ично для несобственно~о интеграла второго 1юда. Замечание. Критерий Коши чаще всего используется для доказательства расходимости интеграла, т. к. для доказательства сходимости удобнее испол~зо~а~~ призна~и сходимости. ч.р. 1(х) дх = 1ип Дх) дх. +а> +А А х2 , А2 А2 у.р. хдх= 1пп 1 хдх= 1пп — = 1пп — — — =О. А-~+ее» „~ А-+ха 2 А-»+ех» 2 2 ее» -А -А Практмчеекий критерий равномерной екодммостм несобственного интеграла П рода.

Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом интегрирований и + 6: а+а Др,о) = Дх,р)»«х, 0<6< Ь вЂ” а, реР. Интеграл Цр) сходится равномерно на множестве Р ~=~ 1пп впр(«'(р,6) ~ = О, ю-ФО+о рер Прйвнак Вейерштраееа. Еслй 1Дж, р)~ < Р(ж) прй р Е Р, х ~ и й ма~корантнмй инте рал Р(ж)»«х скодйтса, то интеграл «(р) = «Дх„р) Йх сжоднтса абсолютйо й равномерйо на мн(~кестве Р. Аналогично признак Вейер»птрасса формулируется дла йесобственйьи интегралов И рода. Признак Дирижле. Рассмотрим интеграл «(р) = )„Яж, р)««(х, р) 0ж. Пусть 1) ВС: ~»»»х, р) Их~ < С ЮА > а, ~р Е Р; 2) функппа,д(х,р) по»»о»поннп по х прй всех достаточно болыпиж положителвныж х (при каждом фиксированном р б Р); 3) ««(ж,р) =Ф О при х -++оо, р Е Р (функция у(х,р) стремится к нулю при х > +се «~~нопероо относительно параметра р Е Р, т.

е. 1пп внр~,~(х, р) ~ = О). Х-~+~~~ ~~»> Тогда интеграл «(р) = ) Дж)д(ж)»«ж сжодптса равномерно йа мноиестве Р. Дла несобственныж интегралов 11 рода признака Дйрйжле нет, Критерий Кошм (равйомерной сжодймостй йесобственного интеграла 1 рода). Интеграл «(р) = «Дх, р) дж сходится равномерно на множестве Р «=~ Юе >ОБА =А~м) >а: Юй, > А Уй, >АЮр б Р ~»д*Лх р)дх~ (г. Айалогичйо крйтерйй Коп»п формулйруетса дла йесобствеййого интеграла 11 рода. Несобственные интегралы Пусть функцйя Дх) определена при х ~ а й ннтегрируема йа любом Отрезке айда 1а, А)т где А > а, Тогда Дх) Их = йп» )' Ях) Йх — »»есобсу»»еенный интеграл ле»»аоГО Рода П А-++ОО П ЕСЛй Су»цсетауст КОНЕЧНЫЙ Прсдслт то ИНТЕГрад Ш»да»»»Спят ййаЧŠ— раСХОдИ»»»СЛ.

Аналогйчйо ОПРеделаетса несобствениь»Й йитетРал пеРвого Рода по ПОЛУПРЯмой 1-о»т а): Дх) Нх = 1пп Дх) йх. Тогда по Определению Дх) Нх = Ях) дх+ Дх) Их. По о»»реда»е»»и»о Считают, что интеграл, стоя»цйй в левой частй, сходится тогда й только тогда, когда сходятся об»а интегралат стоя»цие в правой части. Замечание. Условие 11»п Дх) = О не иилметеи НУС несобственного интеграла Дх) с1х. Например, интеграл Френеля 1 к1пх дх сходится, как мь» докажем на следую»цем семинаре. Пусть функция Дх) определена при х Е 1а,Ь| и интегрируема на любом отрезке вида 1а + а, Ь) ~ 1а, Ь1, но Ях) йе Ограничена в Окрестностй точкй а 1то~ да буде~ говорить, что х = а — особая точка функции Ях)).

Заметимь что неограниченная функция Дх) не интегрируема в обычном смысле (по Риману) на отрезке 1а, Ь). Введйм Ь Ь Дх) Нх = 1пп 1 Дх) Фх — »»есА»бс»»»вен»»мй йнтеграл а»»»А»~~» о Рода П г а+а а+А Еслй сУтцествУСТ конеч»»ьш НРеделт то ййтег1»ал сход»илсл, ййаче — Расходи»»»сл. Например; ~~— Ь Аналогично определяется несобственный интеграл 1 Дх) йх в случае, когда х = Ь— особая точка функции Ях): ) Дх) Ых = 1пп 1 Дх) йх.

Нзприм р: ~' — "". Еслй у функцйй Дх) две особме точкй: х = а й х = Ь, то по определеййю ~' Дх) Ых = ~' Дх) йх+~', Дх) йх, где с Е1а,Ь) — промежуточная точка отрезка 1а, Ь). И» А»»»редсхчеин»о счйтак)т, что интеграл„стоя»ций в левой частйт скодйтся тогда й только тогда, когда сходятся оба интеграла, стоя»цйе в правой частй.

Несобственный йнтеграл второго рода сводите~ к йесобствейному ййтегралу пер~ого рода замейой перемеййои. Например, еслй х = и — особая точ~а фуйкцйй Дх)т то Сделаем замену Признаки сравнении. 1. Пусть 11'1х) 1 'с Р~х) прй всея достаточно больших поло»кйтельймк х (Чх .» ха). Тогда 3 Е~х)йх ~ 3 ~ДХ)фх =э Л Дх)йх. А йз расходимости ) Дх) ах слеДует раскодимость ) ~ДХ) ~ах и ) Р1.Х) ах» Айалогйчно для несобственнь»к интегра~ов второго рода. 2. Пусть,д1Х):> О прй всея достаточно больших положительнмк х й Дх) = 0'~у(х)) при х -у +по Щх) и д»',х) — величины одного порядка при х -у +оп), т.