В.И. Дмитриев - Обыкновенные дифференциальные уравнения

Часть I.Обыкновенные дифференциальные уравненияп.1. Понятие дифференциального уравнения.Математические модели, описываемые обыкновеннымидифференциальными уравнениями.Дифференциальное уравнение является основой математического моделирования.Кратко о математическом моделировании. Дифференциальным уравнением называетсясоотношение между функциями и их производными. Если функции одной переменной, тоимеем обыкновенные дифференциальные уравнения, если функции несколькихпеременных, то дифференциальное уравнение в частных производных. Наш курспосвящен исследованию обыкновенных дифференциальных уравнений.Пусть на отрезке [0,T] определена n раз дифференцируемая функция y (t ) и еепроизводные y′(t ),K y ( n ) (t ) .

Переменные t , y, y′,K, y ( n ) образуют (n+2) – мерноепространство. Если в области D ∈ Rn+2определена функция F (t , y, y′,K, y ( n ) ), тосоотношениеF (t , y, y′,K, y ( n ) ) = 0(1.1)называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Решением (1.1) называется nраз дифференцируемая функция y (t ) , заданная на [0,T] и обращающая соотношение (1.1)в тождество. Порядком уравнения называется порядок старшей производной в (1.1).Уравнение, разрешенное относительно старшей производной, имеет вид:(1.2)y ( n ) (t ) = f (t , y, y′,K, y ( n−1) ) .Уравнение, разрешенное относительно старшей производной, легко записать в видесистемы первого порядкаdy1=y2 ;dtdy2=y3 ;(1.3)dt............dyn−1=yn ;dtdyn= f (t , y1 , y2 ,..., yn )dtОбщий вид системы первого порядка, разрешенной относительно производных,называют нормальной системойdym= f m (t , y1 ,K, yn ) ;m=1,2,K,n .(1.4)dtРешением системы (1.4) называют совокупность дифференцируемых функций{ y1,K, yn } , определенных на отрезке [0,T], которые при подстановке в (1.4) обращают ихв тождество.

При моделировании f m могут быть непрерывными или разрывными,3соответственно определяют функции ym . Мы будем считать в дальнейшем f mнепрерывными функциями. Процесс нахождения решения называется интегрированиемдифференциального уравнения.Задача для дифференциального уравнения или системы состоит из уравнения (илисистемы) и дополнительных условий, которые должны обеспечить существование иединственность решения этой задачи. Обыкновенные дифференциальные уравнениямоделируют явления и процессы, которые описываются одной функцией или векторфункцией одного переменного.1.1 Временные процессы, где y(t) характеризует изменение какого-либо параметраво времени.

Обычно математическая модель описывает связь между y (t ) , скоростью y′(t )и ускорением y′′(t ) процесса в виде:y′′(t ) = f (t , y (t ), y′(t ))или более простая модель, связывающая y (t ) со скоростью y′(t ) , в виде:y′(t ) = f (t , y (t )) .Если мы имеем несколько параметров модели y (t ) = { y1 (t ),K, yn (t )} , связанныхмежду собой и со скоростью y′(t ) и ускорением y′′(t ) их изменения, то имеем системыдифференциальных уравнений в виде:y′′(t ) = F (t , y , y′)(1.5)или, если связаны y (t ) и y′(t ) ,y′(t ) = F (t , y ) .Система (1.4) является нормальной, а система (1.5) не является нормальной. Систему(1.5) можно перевести в нормальную, если ввести обозначения z (t ) = { z1 , z2 ,K, z2 n } , где y (t )i ∈ [1, n ]zi (t ) =  i.′y(t)in1,2n∈+[] i −nТогда имеем нормальную систему для z (t ) z (t )zi′(t ) =  n+i fi (t , z )гдеприi ∈ [1, n ]при i ∈ [ n + 1,2n ],fi (t , z ) = Fi −n ( t , z (1) , z (2) ) ,z = { z (1) , z (2) },z (1) = ( y1 , y2 ,K, yn ) ,z (2) = ( y1′, y2′ ,K, yn′ ) .Примеры математических моделейд л я в р е м е н н ы х п р о ц е с с о в:1.

Радиоактивный распад .m(t ) — масса распадающегося вещества. Количество распавшегося вещества ∆mпропорционально количеству m(t ) и времени, т.е.∆m = −α m(t )∆t ⇒ при∆t → 0имеем4dm= −α m(t ) .(1.6)dtРешение дифференциального уравнения m(t ) = Ce −α t . Дополнительно условие –m(t = t0 ) = m0 , тогда задача dm= −α m(t ) t ∈ [t0 , t0 + T ] , dt m(t0 ) = m0 .Решение задачи : m(t ) = m0e −α( t − t0 ).2. Размножение с миграцией.N (t ) – численность популяции, изменяющейся во времени,f (t ) – миграция. Уравнение имеет вид:dN (t )= α N + f (t ) .dtЕго решение N (t ) = C0eα tt+ ∫ f (τ )eα ( t −τ )dτ .t0Дополнительные условия: N (t0 ) = N 0 .

Тогда задача имеет вид: dN= α N + f t ∈ [ t0 , t0 + T ]; dtN (t = t0 ) = N 0 .Решение задачи:N (t ) = N 0eα ( t − t0 )t+ ∫ f (τ )eα ( t −τ )dτ .t01.2 Пространственные процессы, где y(x) описывает распределение параметрапроцесса вдоль оси Оx. Моделиy′′( x) = f ( x, y ( x), y′ )(1.7)илиy′( x) = F ( x, y , y′ ) .(1.8)П р и м е р м а т е м а т и ч е с ко й м о д е лип р о с т р а н с т в е н н о г о п р о ц е с с а:Равновесие атмосферы в поле сил тяжести.Давление p ( z ) и плотность воздуха ρ ( z ) в атмосфере изменяются с высотой z ( z =0земная поверхность). Если выделить маленький цилиндрический объем в воздухе высотой5dz и площадью сечения S , то его вес равен P = mg = ρ ⋅ S ⋅ dz ⋅ g , где g — земноеускорение. На этот цилиндр действует сила F = − S ⋅ dp за счет разности давления dp наразных концах цилиндра.

Условие равновесия F = P дает соотношениеdp− S ⋅ dp = ρ ⋅ g ⋅ S ⋅ dz или= − g ρ ( z) .dzДля того, чтобы получить окончательно дифференциальное уравнение, необходимоиз уравнения Клайперона pV = mRT , m = ρV выразить плотность ρ ( z ) через давлениеp( z ) :ρ ( z ) = p ( z ) RT ( z ) ; T ( z ) — температура воздуха.Откуда имеемdpg(1.9)=−⋅ p( z ) .dzRT ( z )Решение этого уравнения дает барометрическую формулуzp ( z ) = p0e−g dzR T (z)∫0,p0 = p ( z = 0) ,(1.10)которая определяет убывание давления с высотой при известном распределениитемпературы T ( z ) .п.2. Постановка задачи с начальными данными(задача Коши). Понятие корректной постановки задачи.Лемма Гронуолла–Беллмана.Рассмотрим вначале систему дифференциальных уравненийdy= f (t , y ),(2.1){t , y} ∈ D .dtЕе решение y = y (t ) = { y1 (t ), y2 (t ),K, yn (t )} представляет кривую в (n+1)-мерномпространствеRn+1 = {t , y1 , y2 ,K, yn }.

Эта кривая называется интегральной кривой.Подпространство Rn = { y1 , y2 ,K, yn } называют фазовым пространством. Проекцияинтегральной кривой на это пространство называется фазовой траекторией (или простотраекторией).(Пример из балистики).Cистема (2.1) в каждой точке области D, где определена f (t , y ) , определяетнаправление τ = {1, f1 ,K, f n } .

Эта область с заданным направлением называется полемнаправлений. Кривые, определенные уравнением f (t , y ) = const , называют изоклинами.Это кривые в поле направлений выделяют постоянный наклон.П р и м е р для уравнения I порядка y′ = f (t , y ) ; например, f (t , y ) = t 2 + y 2 = const ⇒изоклины окружности.Семейство интегральных кривых однопараметрическое y = ϕ (t , C ) – это общеерешение дифференциального уравнения. Если положить C = C1 (фиксированноезначение), то мы получаем частное решение. Для однозначности решения (определение6интегральной кривой) надо задать начальную точку, через которую проходитинтегральная кривая y (t = t0 ) = y0 .Таким образом, задача Коши:1) для уравнения I порядка y′ = f (t , y ), (t , y ) ∈ D = {t0 ≤ t ≤ t0 + T , a ≤ y ≤ b} , y (t = t0 ) = y0 ,(2.2)2) для системы уравнений I порядка y′ = f (t , y ), (t , y ) ∈ D = {t0 ≤ t ≤ t0 + T , ai ≤ yi ≤ bi } ,0i ∈ [1, n ] , y (t = t0 ) = y ,(2.3)3) для уравнения n-го порядка y ( n ) = f (t , y, y′,K, y ( n−1) ) ,( n −1)( n −1) y (t0 ) = y0 , y′(t0 ) = y0′ ,K, y (t0 ) = y0 ,(2.4)D = {t0 ≤ t ≤ t0 + T , ai ≤ y ( i ) ≤ bi , n ∈ [ 0, n − 1]} .Корректность постановки задачи (Адамар)При данной постановке задачи решение должно1) существовать и2) быть единственным.Это определяет математическую разрешимость задачи.

Кроме того, должновыполняться условие:3) решение задачи должно быть устойчивым по отношению к изменениямправой части и начальных данных. Это определяет физическую детерминированностьзадачи.Формулировка устойчивости решения: для ∀ε > 0 существует такое δ > 0 , что изусловияf1 − f 2 < δ и y01 − y02 < δ следует y1 − y2 < ε , где yi′(t ) = f i (t , yi )i ∈ [1,2] .y(tt)y==00i iМы последовательно должны рассмотреть все вопросы корректности задачи Коши.Л е м м а Гронуолла – Беллмана.Если непрерывная функция Z(t) удовлетворяет условию при t ≥ t0t0 ≤ Z (t ) ≤ k ∫ Z (τ )dτ + g (t );k = const ,(2.5)t0то выполняется оценкаt0 ≤ Z (t ) ≤ k ∫ g (τ )e k (t −τ ) dτ + g (t ) .t0Д о к а з а т е л ь с т в о.1) Вначале выведем дифференциальную оценку.7(2.6) R(t ) = 0Из R′(t ) ≤ kR (t ) + g (t ) при t ≥ t0 и  0k = constследуетtR(t ) ≤ ∫ g (τ )e k ( t −τ ) dτ .(2.7)t0Теперь проведем общее доказательство.tR′(t ) − kR(t ) ≤ g (t ) ⇒ ( R (t )e )′ e kt ≤ g (t ) ⇒ R(t ) ≤ ∫ g (τ )ek ( t −τ ) dτ .− ktt0t2) Введем R(t ) = ∫ Z (τ )dτ ; R (t0 ) = 0 ; R′ = Z (t ) .t0Подставим в (2.5)0 ≤ R′(t ) ≤ kR (t ) + g (t ); при ≥ t 0 R(t0 ) = 0, k = const .(2.8)tТогда, согласно (2.7), получаем R(t ) ≤ ∫ g (τ )e k ( t −τ ) dτt0или, подставив в правую часть (2.8) получим неравенствоt0 ≤ Z (t ) ≤ k ∫ g (τ )e k (t −τ ) dτ + g (t ) .t0Лемма доказана.п.3.

Теорема единственности решения задачи Коши для уравнения Iпорядка, разрешенного относительнопроизводной.Рассмотрим задачу Коши: y′(t ) = f (t , y ), t ∈ [t0 , t0 + T ] , y (t0 ) = y0 ,(3.1)Л е м м а 3.1. Задача Коши (3.1) эквивалентна интегральному уравнениюty (t ) = y0 + ∫ f (τ , y (τ ))dτ ;t ∈ [ t0 , t 0 + T ] .(3.2)t0Д о к а з а т е л ь с т в о.Пусть ∃ решение задачи Коши (3.1) y = y (t ) . Подставив y = y (t ) в (3.1), получимтождество, которое можно проинтегрировать, и тогда имеем (3.2) ⇒ решение задачи Коши(3.1) является решением интегрального уравнения (3.2). В обратную сторону,если ∃решение интегрального уравнения (3.2), то в силу непрерывности f (τ , t ) по τ интеграл в(3.2) является дифференциальной функцией.

Продифференцировав (3.2), получим (3.1) ⇒решение интегрального уравнения является решением задачи Коши. Лемма доказана.Т е о р е м а 3.1 Решение задачи Коши (3.1) для дифференциального уравненияпервого порядка, разрешенного относительно производной единственно, если1) f (t , y ) непрерывна по t и y в области8R : t0 < t < t0 + T ; y0 − b < y < y0 + b ;2) f (t , y ) удовлетворяет в области R условию Липшица по y т.е.f (t , y1 ) − f (t , y2 ) ≤ N y1 − y2 , y1 , y2 ∈ [ y0 − b, y0 + b ] .Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 3.1.Редуцируем задачу Коши в предположении ∃ решения к интегральному уравнению(3.2).

Предположим, что оно имеет два решения y1 (t ) и y2 (t ) . Тогда их разностьU (t ) = y1 (t ) − y2 (t ) удовлетворяет соотношениюtU (t ) = ∫ ( f (τ , y1 (τ ) ) − f (τ , y2 (τ ) ) ) dτt0.U (t0 ) = 0Сделаем оценку, используя условия Липшицаttt0t0U (t ) ≤ ∫ f (τ , y1 ) − f (τ , y2 ) dτ ≤ N ∫ U (τ ) dτ при t0 < t < t0 + ε ,где ε выбирается так, что ym (t ) − y0 ≤ b, m = 1,2 и можно использовать условияЛипшица. Так как N = const , то по лемме Гронуолла - Беллмана при g (t ) ≡ 0 имеемТеорема доказана.0 ≤ U (t ) ≤ 0 ⇒ U (t ) ≡ 0 ⇒ y1 = y2 .Дальше можно распространить доказательство на больший интервал по t , покавыполняются условия теоремы. Для линейного уравнения единственность доказываетсясразу для всего интервала по t , т.к.