Visual Basic_Практикум (Учебник по Visual Basic)

Данная методическая разработка предназначена для студентов 1 курса Химического факультета МГУ им. Ломоносова, занимающихся подисциплине Программирование и решение задач на ЭВМ.Дополняет теоретическое изложение основ программирования в среде Microsoft Visual Basic 2008 Express Edition1 и включает в себя двечасти. В первой – приведены краткий обзор и основные математические формулы численных методов, во второй – практические заданиядля отработки умений и навыков в составлении программ.Авторы выражают благодарность К.В. Ермакову, Е.Я. Ермаковой,А.Е.

Бычкову, К.Г. Калугину и С.И. Дружинину за содержательные обсуждения и конструктивные замечания.1В.С. Люцарев, О.Б. Калугина «Основы программирования на Visual Basic.Теория и практика»1ОглавлениеЧисленные методы. Краткий обзор и основные математическиеформулы ...................................................................................................... 3Применение численных методов. Погрешность вычислений ............ 4Методы численного интегрирования ...................................................

5Решение уравнений .............................................................................. 11Линейная регрессия ............................................................................. 15Решение дифференциальных уравнений ........................................... 20Вычислительный практикум. Задачи ......................................................

26Вычисление значения по формуле...................................................... 27Печать таблицы значений функции..................................................... 35Суммирование рядов ........................................................................... 43Методы численного интегрирования Их применение в физикохимических расчетах ............................................................................ 48Численные методы решения нелинейных уравнений при расчетесостава равновесной смеси ................................................................. 52Метод линейной регрессии ................................................................. 58Метод Эйлера для решения задачи Коши.

Решение системыдифференциальных уравнений ........................................................... 81Приложение. Сводка синтаксических правил ........................................ 98Литература............................................................................................... 1012Численные методы.Краткий обзор и основныематематические формулы3Применение численных методов.

ПогрешностьвычисленийПод численными методами понимают методы приближенного решенияматематических задач, сводящиеся к выполнению конечного числа операций над числами. Численные методы применяют в тех случаях, когдааналитические методы1 решения неприменимы. Например, квадратноеуравнение можно решить аналитически. Но как найти корень уравнения,если оно не сводится к виду, для которого известен аналитический метод? Определенный интеграл от многих функций можно найти по формуле Ньютона-Лейбница. А как найти определенный интеграл, если подынтегральная функция задана в виде таблицы экспериментальных значений? Подобного рода задачи часто возникают при обработке экспериментальных данных и математическом моделировании систем.Численные методы являются приближенными и не дают истинного решения. Для практического применения численных методов важно понимать, насколько велика их погрешность.

Различают абсолютную и относительную погрешности вычислений.По определению, абсолютная погрешность – это абсолютное значениеразности между точным и приближенным решениями: абс = |прибл −точн |. Конечно же, прямое применение этой формулы невозможно,точн на практике неизвестно, иначе применение численных методов неимело бы смысла.

Вместо этого для определения погрешности различные численные методы используют различные оценки. В данном пособии, описывая алгоритмы вычислений, мы даем представление и обоценке их погрешности.Относительная погрешность есть отношение абсолютной погрешностик абсолютной величине точного решения отн =1 абсточн.Аналитическими называют методы, дающие решение в виде формул.4Методы численного интегрированияПри помощи методов численного интегрирования находят приближенное значение определенного интеграла заданной функции.Пусть на отрезке , задана функция . С помощью точек0 , 1 , 2 , . .

. , разобьем отрезок [, ] на элементарных отрезков−1 , , где = 1,2, . . . , , причем 0 = , = .На каждом из этих отрезков выберем точку и найдем произведениезначения функции в этой точке на длину элементарного отрезка: = ∙ ∆ , где ∆ = − −1 .Обратите внимание, что величина равна площади -го прямоугольника, отмеченного пунктиром на приведенном выше рисунке. Сумматаких произведений = =1 называется интегральной суммой.Определенным интегралом функции на отрезке [, ] называется предел интегральной суммы при неограниченном увеличении числа точек разбиения. При этом длина наибольшего из элементарныхотрезков должна стремиться к нулю: ⅆ =limmax ∆ →0 ∙ ∆=15Если подынтегральная функция задана аналитически и для нее можнонайти первообразную функцию (): ′ = (), то определенныйинтеграл вычисляют по формуле Ньютона-Лейбница1 ⅆ = − Однако, на практике аналитический вид подынтегральной функцииможет быть неизвестен.

Например, если значения функции заданы ввиде таблицы дискретных значений или вычисляются при помощисложного алгоритма. Даже если () задана аналитически, первообразная для нее может быть неизвестна.В этих случаях применяют методы численного интегрирования, основанные на том, что величина определенного интеграла численно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс,графиком интегрируемой функции () и отрезками прямых = и = , где и — пределы интегрирования.Важным частным случаем в методах численного интегрирования является тот, когда величина элементарного отрезка ∆ постоянна иможет быть вынесена за знак интегральной суммы. Эта величина называется шагом интегрирования и обычно обозначается .

= − 1Готфрид Лейбниц (1646 -1716) и Исаак Ньютон (1643 – 1727) независимодруг от друга развили область математики, называемую дифференциальнымисчислением, ставшую основой большей части современной физики.(Здесь и далее в тексте о выдающихся ученых -математиках подробнее см .Википе́дия (англ. Wikipedia) — многоязычная общедоступная свободно распространяемаяэнциклопедия,публикуемаявИнтернете.http://ru.wikipedia.org)6Метод прямоугольниковМетод прямоугольников использует непосредственную замену определенного интеграла интегральной суммой.

В качестве точек могутвыбираться левые (−1 ) или правые ( ) границы элементарных отрезков. Обозначив = ( ), можно получить следующие формулы.При выборе левых границ:−1 ⅆ ≈ ∙ 0 + 1 + 2 + ⋯ + −1 = ∙=0При выборе правых границ элементарных отрезков: ⅆ ≈ ∙ 1 + 2 + ⋯ + −1 + = ∙=1Метод трапецийВ методе трапеций график функции () аппроксимируется ломаной,соединяющей точки с координатами ( , ).7Искомое значение определенного интеграла представляется в видесуммы площадей трапеций, построенных на каждом из элементарныхотрезков: ⅆ ≈0 + 11 + 2−1 + + + ⋯+222=∙110 + 1 + 2 + ⋯ + −1 + 220 + =∙+2−1=1Здесь 0 и – значения функции () и (), соответственно.Метод параболВ методе парабол (формула Симпсона1) для каждого из элементарныхотрезков должны быть известны не два, а три значения функции: награницах и в середине отрезка.

Для первого элементарного отрезкаэто будут значения функции в точках (0 , 1 , 2 ), для второго (2 , 3 , 4 ) и так далее. На каждом отрезке подбираются три коэффициента полинома второй степени 2 + + так, чтобы получившаяся парабола совпала в трех известных точках с функцией (). Коэффициенты полинома можно найти решением трех уравнений = 2 + + . Площадь под такой элементарной параболой легко вычислить через первообразную. После сложения всех полученныхплощадей формула для интеграла приобретает вид:1Томас Симпсон (1710-61), английский математик. Труды по геометрии, математическому анализу, теории вероятностей.8 ⅆ ≈0 + 41 + 22 + 43 + 4++⋯33 −2 + −1 + 3= 0 + + 4 1 + 3 + 5 + ⋯ + −13+ 2 2 + 4 + 6 + ⋯ + −2+= + + 23 0 2−1 22 + 4=12−1=1Оценка погрешности вычисленийОдним из простейших способов оценки погрешности рассмотренныхметодов численного интегрирования является сравнение значений,полученных при различном числе точек разбиения.

Например, сравнением приближенных значений интегралов при числе разбиения и2: абс ≈ − 2 .Такая оценка основана на том, значения , 2 , 4 , ... образуют ряд,сходящийся к истинному значению интеграла. Действительно, максимальная длина элементарного отрезка с ростом стремится к нулю,что делает возможным прямое сопоставление предела последовательности с формулой Ньютона-Лейбница.

Для большого класса гладких функций этот ряд сходится настолько быстро, что расстояние между предельным значением и 2 оказывается меньше расстояния между 2 и .Отметим, что при расчете 2 , можно использовать интегральныесуммы, полученные ранее в процессе вычисления .9Преимущества и недостатки рассмотренных методовРассмотренные выше методы прямоугольников, трапеций и парабол,фактически, представляют собой замену подынтегральной функцииполиномом нулевой, первой и второй степени, соответственно.Метод прямоугольников получается при замене подынтегральнойфункции на константу.

Он самый простой, но и наименее точный, еслитолько подынтегральная функция не представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс. Для применения метода прямоугольниковдостаточно знать только одно значение ( ) на каждом из элементарных отрезков интегрирования, то есть всего значений функции навсем отрезке интегрирования.Для расчетов по формуле трапеций на каждом элементарном отрезкеиспользуются две точки – границы отрезка, а () заменяется уравнением прямой, проходящей через эти точки. Как правило, такая аппроксимация дает меньшее отклонение от подынтегральной функции,и, в итоге, полученное значение интегральной суммы значительноближе к точному значению определенного интеграла, чем значение,полученное методом прямоугольников. Применение метода трапецийтребует лишь + 1 значений функции. Таким образом, у метода прямоугольников нет никаких преимуществ по сравнению с методом трапеций.Еще меньшую погрешность вычислений при том же числе точек разбиения даст метод Симпсона.