В.Б. Андреев - Численные методы, страница 8

yn−1 , ïîëó÷èìyn = q1 . . . qn y0 = y0nYqj .(6.13)j=1Âåëè÷èíà y0 åñòü íà÷àëüíîå çíà÷åíèå yn è ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâîëüíîé ïîñòîÿííîé. Ðåøåíèå îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (6.12) íàéäåíî.60Ÿ 6. ÐÀÇÍÎÑÒÍÛÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈßÇàìå÷àíèå 6.1. Íàïîìíèì, ÷òî åñëè ëèíåéíîå îäíîðîäíîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâ-íåíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà çàïèñàòü â âèäå y 0 = P (x)y , òî åãî îáùåå ðåøåíèå ïðèìåòâèä xZy(x) = c expP (ξ)dξ .0Îáðàòèìñÿ òåïåðü ê íåîäíîðîäíîìó óðàâíåíèþ (6.10). Åãî ðåøåíèå áóäåì èñêàòü,èñïîëüçóÿ ðåøåíèå îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (6.12), ìåòîäîì âàðèàöèè ïîñòîÿííîé. Ïóñòü◦yn =nY(6.14)qj .j=1◦Ýòî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (6.12), à c y n åãî îáùåå ðåøåíèå.

Çàñòàâèì êîýôôèöèåíòc çàâèñåòü îò n è â òàêîì âèäå áóäåì èñêàòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (6.10)◦(6.15)yn = cn y n .Ïîäñòàâëÿÿ (6.15) â (6.10), ïîëó÷èì◦◦cn y n = qn cn−1 y n−1 + fn .◦◦Èç (6.12) y n = qn y n−1 è ïîýòîìó◦◦cn y n = cn−1 y n + fn ,ò.å.◦cn = cn−1 + fn /y n .Îòñþäà±◦c1 = c0+ f1 y 1 ,±◦c2 = c1+ f2 y 2 ,.........................±◦cn = cn−1 + fn y n ,Ñêëàäûâàÿ ýòè ñîîòíîøåíèÿ, íàõîäèì, ÷òîcn =nXfk◦k=1yk+ c0 ,à ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå (6.14), áóäåì èìåòücn =nXk=1fkkYj=1qj−1 + c0 .6.3. ÓÐÀÂÍÅÍÈß K -ÃÎ ÏÎÐßÄÊÀ Ñ ÏÎÑÒÎßÍÍÛÌÈ ÊÎÝÔÔÈÖÈÅÍÒÀÌÈ61Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â (6.15), ïîëó÷èì îáùåå ðåøåíèå íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ(6.10)Ã!nnkYXYyn =qj c +fkqj−1 .(6.16)j=1k=1j=1Çàìå÷àíèå 6.2. Íàïîìíèì, ÷òî åñëè ëèíåéíîå íåîäíîðîäíîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà çàïèñàòü â âèäå y 0 = P (x)y +f (x), òî åãî îáùåå ðåøåíèå ïðèìåòâèä  η xZx ZZc + f (η) exp − P (ξ)dξ dη  .P (ξ)dξy(x) = exp000Åñëè êîýôôèöèåíò qn = const = q , òî èç (6.16) íàõîäèì, ÷òîÃ!nXyn = q n c +fk q −k ,(6.17)k=1à åñëè è fn = const = f , òî ïðè q 6= 1!õ¶nXq −1 − q −n+11 − qn−knnnq=q c+f.yn = q c + f=cq+f1 − q −11−q(6.18)k=16.3 Ðàçíîñòíûå óðàâíåíèÿ k -ãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìèÅñëè êîýôôèöèåíòû αj (n) èç (6.8) íå çàâèñÿò îò n, òî ìû èìååì ðàçíîñòíîå óðàâíåíèåñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìèkXαj yn−j = f (n),n ∈ Z.(6.19)j=0Ðåøåíèå îòâå÷àþùåãî (6.19) îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿkXαj yn−j = 0(6.20)j=0ìîæíî èñêàòü â âèäåyn = q n ,q 6= 0¡¢ñð.

ñ y(x) = eλx ,ãäå q = const 6= 0. Ïîäñòàâëÿÿ (6.21) â (6.20), ïîëó÷èìq n−kkXj=0αj q k−j = 0.(6.21)62Ÿ 6. ÐÀÇÍÎÑÒÍÛÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈßÍà q n−k ìîæíî ñîêðàòèòü, â ðåçóëüòàòå ÷åãî äëÿ îòûñêàíèÿ q ïîëó÷èì àëãåáðàè÷åñêîåóðàâíåíèå ñòåïåíè kα0 q k + α1 q k−1 + · · · + αk−1 q + αk = 0,(6.22)íàçûâàåìîå õàðàêòåðèñòè÷åñêèì óðàâíåíèåì, îòâå÷àþùèì ðàçíîñòíîìó óðàâíåíèþ(6.20).Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå (6.22) èìååò ðîâíî k êîðíåé, âêëþ÷àÿ êðàòíûå èêîìïëåêñíûå. Îáîçíà÷èì èõ ÷åðåçq1 , q 2 , . . . , q k .(6.23)Î÷åâèäíî, ÷òî ñåòî÷íûå ôóíêöèèqln ,l = 1, . .

. , k(6.24)ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ (6.20).Èìååò ìåñòîÒåîðåìà 6.1. Åñëè êîðíè (6.23) õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (6.22) ïðîñòûå, òîðåøåíèÿ (6.24) ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ (6.20) ëèíåéíî íåçàâèñèìû, à îáùåå ðåøåíèåýòîãî óðàâíåíèÿ èìååò âèäkXcl qln .yn =l=1Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðîâåäåì äîêàçàòåëüñòâî ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè (6.20) ïðèk = 2. Äîïóñòèì ïðîòèâíîå, ò.å. ïóñòüc1 q1n + c2 q2n ≡ 0,Íî òîãäà è|c1 | + |c2 | 6= 0.c1 q1n−1 + c2 q2n−1 = 0.Ðàññìîòðèì ýòè äâà òîæäåñòâà êàê ñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ îïðåäåëåíèÿ c1 è c2 .

Íàõîäèì, ÷òî îïðåäåëèòåëü ýòîé ñèñòåìû¯¯ n¯ q1q2n ¯¯¯∆ = ¯ n−1 n−1 ¯ = (q1 q2 )n−1 (q1 − q2 ) 6= 0q1q2è, ñëåäîâàòåëüíî, ñèñòåìà èìååò ëèøü òðèâèàëüíîå ðåøåíèå c1 = c2 = 0. Ýòî ïðîòèâîðå÷èò ïðåäïîëîæåíèþ, ÷òî è äîêàçûâàåò òåîðåìó.Çàìå÷àíèå 6.3. Åñëè êîìïëåêñíîå ÷èñëî q = |q|eiϕ , ϕ 6= mπ , m ∈ Z ÿâëÿåòñÿ êîðíåìõàðàêòåðèñòè÷å÷êîãî óðàâíåíèÿ (6.22), êîýôôèöèåíòû êîòîðîãî äåéñòâèòåëüíû, òî6.3.

ÓÐÀÂÍÅÍÈß K -ÃÎ ÏÎÐßÄÊÀ Ñ ÏÎÑÒÎßÍÍÛÌÈ ÊÎÝÔÔÈÖÈÅÍÒÀÌÈ63÷èñëî q = |q|e−iϕ , êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííîå ê q , òàêæå ÿâëÿåòñÿ êîðíåì õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (6.22), à íàðÿäó ñ êîìïëåêñíûìè ðåøåíèÿìè ðàçíîñòíîãîóðàâíåíèÿ (6.20)qn è q n(6.25)ðåøåíèÿìè óêàçàííîãî ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ áóäóò è äåéñòâèòåëüíàÿ è ìíèìàÿ ÷àñòè ðåøåíèé (6.25), ò.å.|q|n cos nϕ, |q|n sin nϕ.(6.26)Ðåøåíèÿ (6.26), êàê è (6.25), ëèíåéíî íåçàâèñèìû.Ïðèìåð 6.1.

Íàéäåì îáùåå ðåøåíèå ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿyn − 2 ch αyn−1 + yn−2 = 0,α 6= 0.Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå ýòîãî ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ èìååò âèäq 2 − 2 ch αq + 1 = 0,à åãî êîðíè ñóòüq1,2 = ch α ±√ch 2 α − 1 = e±α .Ýòè êîðíè ðàçëè÷íûå, è ïîýòîìóyn = c1 eαn + c2 e−αn .Òåîðåìà 6.2. Åñëè q åñòü êîðåíü õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (6.22) êðàòíîñòès > 1, òî ñåòî÷íàÿ ôóíêöèÿPs−1 (n)q n ,ãäå Ps−1 (n) ïðîèçâîëüíûé ìíîãî÷ëåí, ñòåïåíü êîòîðîãî íå âûøå s − 1, ÿâëÿåòñÿðåøåíèåì ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ (6.20). Ïðè ýòîì ðåøåíèÿnl q n ,l = 0, .

. . , s − 1ëèíåéíî íåçàâèñèìû.Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì äëÿ ñëó÷àÿ s = k = 2. Ïîêàæåìñíà÷àëà, ÷òî nq n åñòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (6.20) ïðè k = 2. Èìååìα0 nq n + α1 (n − 1)q n−1 + α2 (n − 2)q n−2 =£¤= q n−2 (α0 q 2 + α1 q + α2 )(n − 2) + q(2α0 q + α1 ) == q n−1 (2α0 q + α1 ) = 0,èáî 2α0 q +α1 = (α0 q 2 +α1 q +α2 )0 è îáÿçàíî îáðàùàòüñÿ â íóëü íà êîðíå êðàòíîñòè äâà.Ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü ðåøåíèé q n è nq n äîêàçûâàåòñÿ òàê æå, êàê è â ïðåäûäóùåéòåîðåìå.64Ÿ 6. ÐÀÇÍÎÑÒÍÛÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈßÒåîðåìà 6.3. Åñëè ïðàâàÿ ÷àñòü f (n) íåîäíîðîäíîãî ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ (6.19)◦n◦èìååò âèä Pm (n) q , ãäå Pm (n) ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè m, à q ÿâëÿåòñÿ s-êðàòíûì,s > 0, êîðíåì õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (6.22), òî óðàâíåíèå (6.19) èìååòðåøåíèå âèäà◦ny(n) = ns Qm (n) q .(6.27)Äîêàçàòåëüñòâî ñìîòðè, íàïðèìåð, â [].Óïðàæíåíèå 6.1. Íàéòè îáùåå ðåøåíèå íåîäíîðîäíîãî ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿyn − 2yn−1 + yn−2 = n(1 + 2n ).Îòâåò.1yn = c1 + c2 n + (n + 3)n2 + (n − 2)2n+2 .66.4 Ñèñòåìû ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèéÐàññìîòðèì ñèñòåìó äâóõ ëèíåéíûõ îäíîðîäíûõ ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ äâóìÿ íåèçâåñòíûìè ôóíêöèÿìèun = a11 un−1 + a12 vn−1 ,vn = a12 un−1 + a22 vn−1 ,n ∈ Z,(6.28)ãäå aij , i, j = 1, 2 ïîñòîÿííûå.

Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå âåêòîð-ôóíêöèþy(n) = [un vn ]Tè ìàòðèöó·¸a11 a12A=,a21 a22êîòîðóþ áóäåì ïðåäïîëàãàòü íåâûðîæäåííîé, det A 6= 0. Èñïîëüçóÿ ââåäåííûå îáîçíà÷åíèÿ, ñèñòåìó (6.28) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âåêòîðíîì âèäåy(n) = Ay(n − 1), det A 6= 0, èëè A−1 y(n) = y(n − 1).(6.29) çàïèñè (6.29) ìîæíî çàáûòü, ÷òî y(n) áûë äâóìåðíûé âåêòîð, à A ìàòðèöà âòîðîãîïîðÿäêà. Áóäåì ìûñëèòü ñèñòåìó (6.29) êàê ñèñòåìó m-ãî ïîðÿäêà. Ðåøåíèå ýòîéñèñòåìû áóäåì èñêàòü â âèäåy(n) = ξq n(6.30)ãäå q = const 6= 0, à ξ íåíóëåâîé m-ìåðíûé âåêòîð.

Ïîäñòàâëÿÿ (6.30) â (6.29),ïîëó÷èìξq n = Aξq n−1 ,6.5. ÇÀÄÀ×À ÍÀ ÑÎÁÑÒÂÅÍÍÛÅ ÇÍÀ×ÅÍÈß65à ñîêðàùàÿ íà q n−1 6= 0, ïðèõîäèì ê ñèñòåìåξq = Aξ.Ýòà ñèñòåìà îäíîðîäíà, è, ÷òîáû ó íåå áûëè íåòðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ, îïðåäåëèòåëüåå ìàòðèöû äîëæåí áûòü ðàâåí íóëþ¯¯¯ A − qI ¯= 0.(6.31)Óðàâíåíèå (6.31) õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (6.29) ÿâëÿåòñÿ àëãåáðàè÷åñêèì óðàâíåíèåì m-îé ñòåïåíè. Åñëè âñå åãî êîðíè qk ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿìàòðèöû A ðàçëè÷íû, òî ñîîòâåòñòâóþùèå ñîáñòâåííûå âåêòîðû ξk ëèíåéíî íåçàâèñèìû, è îáùåå ðåøåíèå ñèñòåìû (6.29) ïðèíèìàåò âèäy(n) =mXck ξk qkn .(6.32)k=1Ìàòðèöà A ìîæåò èìåòü ïîëíûé íàáîð ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ èïðè íàëè÷èè êðàòíûõ êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (6.31).

È â ýòîì ñëó÷àåîáùåå ðåøåíèå ñèñòåìû (6.29) èìååò âèä (6.32). Åñëè æå ó êàíîíè÷åñêîé ôîðìûìàòðèöû A èìåþòñÿ æîðäàíîâû êëåòêè, òî äëÿ îòûñêàíèÿ îáùåãî ðåøåíèÿ ñèñòåìû(6.29) íóæíî ïîñòóïàòü òàê æå, êàê è â ñëó÷àå ñèñòåì äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.Íà ýòîì ìû îñòàíàâëèâàòüñÿ íå áóäåì.Óïðàæíåíèå 6.2. Íàéòè îáùåå ðåøåíèå ñèñòåìû (6.29) ñ ìàòðèöåé·¸−1 −1A=1 −1Îòâåò. 3πn3πn − sin 4 cos 4 n/2y(n) = c1 3πn  + c2 3πn  q .cossin446.5 Ðàçíîñòíàÿ çàäà÷à íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿÄî ñèõ ïîð ìû îáñóæäàëè âîïðîñû îòûñêàíèÿ îáùåãî ðåøåíèÿ ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ, êîòîðîå çàâèñèò îò k ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ, åñëè óðàâíåíèå èìååò ïîðÿäîêk . ×òîáû âûäåëèòü åäèíñòâåííîå ðåøåíèå ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ, êàê è â ñëó÷àåäèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ k -ãî ïîðÿäêà, íóæíî çàäàòü k ëèíåéíî íåçàâèñèìûõíà÷àëüíûõ èëè ãðàíè÷íûõ óñëîâèé.

Êàê è äëÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ, äëÿðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ ìîæíî ïîñòàâèòü çàäà÷ó íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ.66Ÿ 6. ÐÀÇÍÎÑÒÍÛÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈßÇàéìåìñÿ ýòîé çàäà÷åé, ðåøåíèå êîòîðîé ïîíàäîáèòñÿ íàì ïðè äàëüíåéøèõ èññëåäîâàíèÿõ. Ïóñòü−yn+1 + 2yn − yn−1 = λyn ,n = 1, . . . , N − 1,y0 = yN = 0.(6.33)Òðåáóåòñÿ íàéòè òàêèå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà λ (ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ), ïðè êîòîðûõîäíîðîäíàÿ çàäà÷à (6.33) èìååò íåòðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ. Åñëè èñêëþ÷èòü èç ïåðâîãîóðàâíåíèÿ (6.33) íåèçâåñòíîå y0 , à èç ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ íåèçâåñòíîå yN , òî ïîëó÷èì îáû÷íóþ àëãåáðàè÷åñêóþ çàäà÷ó íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ äëÿ òðåõäèàãîíàëüíîéìàòðèöû2 −1 −12 −1−12−1A= ...........................