Renolds2 (Лекции в PDF), страница 2

Очевидно, что причиной повышения сопротивления является турбулентное перемешивание.Основы теории устойчивости ламинарного течения.Теоретические исследования, имевшие целью объяснить описанное выше явление перехода ламинарного течения в турбулентное, начались еще в прошлом столетии, но к успеху привели лишь в 1930году (Прандтль).В основе представлений о переходе ламинарного течения в турбулентное лежит представление отом, что ламинарное течение подвергается воздействию некоторых малых возмущений (условия навходе в трубу, шероховатость) и под их воздействием теряет устойчивость.Каждая теория стремилась проследить за развитием во времени возмущений, наложенных на основное течение, причем форма этих возмущений особо определялась в каждом конкретном случае.Решающим вопросом, подлежащим решению, было установление того, затухают или нарастают возмущения с течением времени.Предпосылкой для создания таких теорий служило впервые высказанное О.

Рейнольдсем предположение о том, что ламинарное течение представляя собой решение гидродинамических уравнений иявляясь поэтому всегда возможным течением, после перехода через определенную границу, а именнопосле достижения числом Рейнольса критического значения, становится неустойчивым и переходит втурбулентное течение.Только в начале тридцатых годов Прандтлю и его сотрудникам удалось на основе теории устойчивости теоретически найти критическое число Рейнольдса. Спустя еще десять лет Драйдену и егосотрудникам удалось подтвердить теорию устойчивости экспериментально.Математическое исследование устойчивости движения по отношению к бесконечно малым возмущениям происходит по следующей схеме.

На исследуемое стационарное течение, распределение скоростейв котором пусть будет ~v0 (~r) накладывается нестационарное малое возмущение ~v1 (~r), которое должнобыть определено таким образом, чтобы результирующее решение ~v = ~v0 + ~v1 (~r) удовлетворяло уравнениям движения.Уравнения для ~v1 (~r) получаются подстановкой в уравнения суммарной скорости и давления p =p0 + p1 (~r), причем считается, что известные функции ~v0 , p0 удовлетворяют уравнениям(~v0 ∇)~v0 = −∇p0+ ν∆~v0 ,ρdiv~v0 = 0Опуская члены малых порядков по величине ~v1 , получим∂~v1∇p1+ (~v0 ∇)~v1 + (~v1 ∇)~v0 = −+ ν∆~v1∂tρГраничным условием является исчезновение ~v1 на твердых неподвижных стенках.Таким образом, ~v1 удовлетворяет системе линейных однородных дифференциальных уравнений скоэффициентами, являющимися функциями только от координат, но не от времени.

Общее решениетаких уравнений может быть представлено в виде частных решений, в которых ~v1 зависит от временипосредством множителей типа e−iωt .5Для устойчивости движения необходимо, чтобы у всех возможных частот ω мнимая часть былаотрицательна. Тогда возникающие возмущения будут экспоненциально затухать со временем.Такое математическое исследование устойчивости, однако, крайне сложно. До настоящего временине разработан теоретически вопрос об устойчивости стационарного обтекания тел конечных размеров.Осредненное движение и пульсационное движение.В случае турбулентного режима течения изучать истинные движения частиц жидкости весьмасложно, да и, вообще говоря ненужно. Во многих вопросах турбулентные течения жидкости целесообразно изучать только в среднем.

При этом вводят средние значения компонент скорости ū, v̄, w̄,давленияp̄, плотности ρ̄, температуры T̄ и других характеристик. Таким образом, в случае турбулентных течений сложное движение континиума вторично осредняется.Говоря об осредненных значениях мы имеем здесь ввиду средние значения во времени в фиксированной точке пространства, следовательно под осредненой величиной f¯ мы подразумеваем величину1f¯ =τtZ0 +τf dtt0где промежуток времени τ достаточно велик по отношению ко времени отдельных пульсаций и малпо отношению ко времени заметного изменения средних характеристик (осредненное движение можетбыть нестационарным).После введения среднего значения f¯ истинное значение f представляется в виде′f = f¯ + f′где f –пульсация f .Свойства осреднения1)Среднее значение пульсации равно нулю′f¯ = 02) Среднее значение суммы равняется сумме среднихf + g = f¯ + ḡ3) среднее значение произведения постоянной величины на искомую функцию равно произведениюпостоянной на среднее от функцииcf = cf¯4) Среднее значение производной равняется производной от среднего∂f∂ f¯=∂x∂x5) Среднее значение интеграла равняется интегралу от среднегоZf=Zf¯5) Среднее значение произведения двух сомножителей равняется сумме произведения средних величини среднего значения произведения пульсаций этих величинf · g = f¯ · ḡ + f ′ · g′В случае переменной плотности применяется осреднение по Фавруρff˜ =,ρ̄f = f˜ + f ,′′ρf = ρ̄f˜,6ρf ′′ = 0,f ′′ 6= 0Если мы осредним уравнение Клайперона первым способом, то получимp̄ = RρT + Rρ′ T ′В то время как при осреднении по Фавру имеемp̃ = ρ̄RT̃и уравнение Клайперона будет выполняться для средних величин.Можно показать, чтоρf g = ρ̄f˜g̃ + ρf ′′ g′′Действительно,′′′′′′′′′′ ′′ρf g = ρ(f˜ + f )(g̃ + g ) = ρf˜g̃ + ρf˜g + ρg̃f + ρf gОсредняя получимρf g = ρ̄f˜g̃ + f˜ρg′′ + g̃ρf ′′ + ρf ′′ g′′ = ρ̄f˜g̃ + ρf ′′ g′′т.к.g̃ρf ′′ = ρf ′′ g′′ = 0Уравнение неразрывности осредняется следующим образом.

Запишем его в виде∂ρ ∂ρvj+=0∂t∂xjПосле осреднения имеем∂ ρ̄ ∂ρvj+=0∂t∂xjТак как при осреднении по Фавруρvj = ρ̄ṽjто∂ ρ̄ ∂ ρ̄ṽj+=0∂t∂xjПри обычном осреднении′ρvj = ρ̄v̄j + ρ′ vjСледовательно′∂ρ′ v̄j∂ ρ̄ ∂ ρ̄v̄j++=0∂t∂xj∂xjВид уравнения неразрывности изменился: появился дополнительный член.Запишем уравнения движения в виде∂τjk∂ρvk vj∂p∂ρvk+=−+∂t∂xj∂xk∂xjОсредним его∂τjk∂ρvk vj∂ρvk∂ p̄+=−+∂t∂xj∂xk∂xjЕсли использовать осреднение по Фавру, то будем иметь′′′′∂(τjk − ρvk vj )∂ ρ̄ṽk ṽj∂ ρ̄ṽk∂ p̄+=−+∂t∂xj∂xk∂xjПолученные уравнения называются уравнениями Рейнольдса.7Они имеют такой же вид, как и в ламинарном течении. Однако, появились дополнительные чле′′ ′′ны −ρvk vj –турбулентные напряжения, или Рейнольдсовы напряжения.

Заметим, что истинныенапряжения в газе представляются такого же рода формулами через скорости молекул.Таким образом, после осреднения получается большее, чем число уравнений число неизвестных. Содержание многих работ по исследованию турбулентных течений сводится к изучению справедливостиразличных гипотез о зависимости турбулентных напряжений от средних скоростей и их градиентов.В настоящее время не существует общей математической постановки задачи о произвольных осредненных турбулентных напряжениях и вообще не выяснена возможность такой формулировки задачи.Иногда по аналогии с законом Навье–Стокса полагают′′′′τjk − ρvk vj = µ∗ ejk ,µ∗ = µ + µtгде µt –коэффициент турбулентной вязкости, зависящий от переменных кинематических характеристик осредненного движения жидкости.8.