Renolds2 (Лекции в PDF)

Лекция 17(16)Вязкая жидкость III.План:1. Слоистые течения: течение в канале, течение Куэтта,течение Хагена–Пуазейля в трубе.Другие точные решения уравнений Навье–Стокса.2. Опыт Рейнольдса. Турбулентность. Уравнения Рейнольдса.1. Слоистые течения: течение в канале, течение Куэтта, течение Хагена–Пуазейля.Отыскание точных решений Уравнений Навье–Стокса в общем случае наталкивается на непреодолимые математические трудности из–за их нелинейности.Тем не менее, в некоторых частных случаях все же можно найти точные решения уравнений Навье–Стокса. Такими частными случаями являются главным образом те, в которых нелинейные конвективные члены сами собой исчезают.Мы рассмотрим некоторые точные решения и увидим, что их большая часть в предельном случаеочень малой вязкости имеет такой же характер как в пограничном слое, т.е.

в течениях, соответствующих этим решениям, действие трения проявляется только в тонком слое вблизи стенок.Слоистые течения.Особенно простой класс точных решений представляют так называемые слоистые течения, характерным признаком которых является существование в них лишь одной составляющей скорости.

Втаких течениях отдельные слои скользят один по другому, и притом так, что скорость везде имеет осевое направление. Движение такого вида называется ламинарным течением (от латинского слоя"lamina" –слой).Пусть, например, не равна нулю только составляющая скорости u. Cоставляющие же v и w всюдуравны нулю. Тогда из уравнения неразрывности для несжимаемой жидкости следует, что∂u=0∂xиu = u(y, z, t),v = 0,w=0Из проекций уравнений Навье–Стокса на направления y и z получим∂p= 0,∂y∂p= 0,∂zЭто означает, что давление в слоистом течении зависит только от координаты x и времени t :p = p(x, t).В проекции на ось x выпадают все конвективные члены, поэтому оно принимает более простойвид 2∂u∂p∂ u ∂2uρ=−+µ+ 2∂t∂x∂y 2∂zЭто уравнение является линейным дифференциальным уравнением относительно u(y, z, t).

Из негоследует, что∂p= const, т.к . u = u(y, z, t)∂x1Течение в канале.Эти уравнения очень просто решаются для стационарного плоского течения в канале ограниченномдвумя плоскими стенками.В этом случае имеемdpd2 u=µ 2dxdyГраничными условиями будутu = 0,при y = ±bгде расстояние между стенками равно 2b.Проинтегрировав уравнение получимu=−1 ∂p 2b − y22µ ∂xСледовательно, в канале имеет место параболическое распределение скоростей.Течение Куэтта.Рассмотрим течение между двумя параллельными плоскими стенками, из которых одна покоится,а другая движется в своей плоскости с постоянной скоростью U .Такое течение называется течением Куэтта.Пусть расстояние между стенками равно h. Граничными условиями будутu = 0,при y = 0,u = U,при y = hРешение, тогда будет иметь видu=yh2 ∂p y yU−1−h2µ ∂x hhРаспределение скоростей, даваемое этим решением для различных перепада давления, изображены нарис. .В частности для нулевого перепада давления получается линейное распределение скоростейu=yUhТечение с таким распределением скоростей называется простым течением Куэтта или течением чистого сдвига.Течение Куэтта в более широком смысле, т.е.

с перепадом давления, не равным нулю, представляетсобой наложение простого течения Куэтта и течения в канале.Течение Хагена–Пуазейля в трубе.Пространственным осесимметричным слоистым течением является течение в прямолинейной трубес круглым поперечным сечением c постоянным по всей длине диаметром d = 2R.Скорость течения на стенках трубы вследствие прилипания равна нулю, в середине же трубы онаимеет наибольшее значение.В точках цилиндрических поверхностей, с осями совпадающими с осью трубы, скорость теченияпостоянна.На достаточно большом расстоянии от входа в трубу распределение скоростей течения вдоль радиуса не зависит от координаты в продольном направлении.Движение жидкости в трубе происходит под действием перепада давления в направлении оси трубы,но в каждом поперечном сечении, перпендикулярном к оси трубы, давление можно рассматривать какпостоянное.Вследствие трения от одного цилиндрического слоя к другому передается касательное напряжение, пропорциональное градиенту скорости dudy .

Cледовательно, движение каждого элемента жидкости2ускоряется вследствие перепада давления и замедляется вследствие напряжения сдвига, вызванноготрением. Другие силы на жидкость не действуют, в частности не действуют силы инерции, так какдля каждой жидкой струйки скорость в продольном направлении постоянна.Для составления уравнения равновесия мысленно вырежем из жидкости, содержащеся в трубе цилиндр длиной l, радиусом y и с осью, совпадающей с осью трубы. В направлении оси x на вырезанныйцилиндр действуют силы давления p1 πy 2 и p2 πy 2 , приложенные к левому и правому основаниям цилиндра, и касательная сила 2πyl · τ , действующая на боковую поверхность цилиндра. Приравняв разностьсил давления (p1 − p2 )πy 2 касательной силе, мы получим в качестве условия равновесия в направленииоси x уравнениеp1 − p2 yτ=l2Для рассматриваемого случая скорость u уменьшается с увеличением координаты y.

Поэтому наосновании элементарного элементарного закона трения следует принять, чтоdudyτ = −µПодставив это значение в уравнение равновесия получимdup1 − p2 y=−dyµl 2Или после интегрированияp1 − p2u(y) =µly2C−4Постоянную интегрирования C следует определять из условия прилипания жидкости к стенкамтрубыu(y) = 0 при y = RОтсюда С =R24 ,следовательноu(y) =p1 − p2R2 − y 24µlРаспределение скоростей в поперечном сечении изображается параболоидом вращения.

Максимальнаяскорость течения имеет место в середине трубы и равнаum =p1 − p2 2R4µlСредняя скорость в поперечном сеченииR2um=ū =28µdp−dxЗдесьdpp1 − p2=−dxlВ единицу времени через поперечное сечение протекает количество жидкости (расход)πR4dp2−Q = πR ū =8µdxЭтот закон впервые был выведен Xагеном (1839) и вскоре повторно был найден Пуазейлем (1846).Если ввести коэффициент сопротивления cpcp ρ ¯2dp−=udxd 23получимcp =2d 8µū32µ=2¯2RρūRρuилисp =64ReRe =ρūdµгдеОсобая простота слоистых течений, рассмотренных выше, заключается в том, что для всех нихконвективное ускорение, делающее уравнения нелинейными, всюду тождественно равно нулю.Имеются и другие точные решения уравнений Навье–Стокса, когда конвективное ускорение необращается в нуль.

К таким решениям относятся :плоское и пространственное течение вблизи критической точки,течение вблизи вращающегося диска, течения в суживающемся и расширяющемся каналах.2. Опыт Рейнольдса. Турбулентность. Основы теории устойчивости ламинарноготечения. Уравнения Рейнольдса.Течения реальной жидкости во многих случаях резко отличаются от ламинарных течений, рассмотренных выше. Они обладают некоторым особым свойством, которое называется турбулентностью.При возрастании числа Рейнольдса в течениях реальной жидкости как в трубах и каналах, так и в пограничном слое на обтекаемом теле наблюдается отчетливо выраженный переход ламинарной формытечения в турбулентную. Этот переход имеет фундаментальное значение для всей аэрогидродинамики.Раньше всего явление перехода было замечено при наблюдении течений в прямых трубах и каналах.Опыт Рейнольдса.Напомним, что в длинной прямой трубе с постоянным поперечным сечением и с гладкими стенками каждая частица жидкости движется при небольших числах Рейнольдса с постоянной скоростьюпо прямолинейной траектории.

Вследствие вязкости частицы жидкости близкие к стенкам текут медленнее, чем частицы более удаленные от стенок. Течение происходит упорядоченным образом в видедвижущихся один относительно другого слоев (слоистое или ламинарное течение).Однако, наблюдения показывают, что при более высоких числах Рейнольдса течение перестает бытьупорядоченным. Возникает сильное перемешивание, которое в случае течения в трубе легко сделатьвидимым, если ввести в поток окрашенную струйку жидкости. Впервые это сделал Рейнольдс(1883) . До тех пор, пока течение остается ламинарным, введенная в него окрашенная жидкость движется в трубе в виде резко очерченной струйки, но, как только течение становится турбулентным, этаструйка расплывается и почти равномерно окрашивает всю движущуюся в трубе жидкость.Это показывает, что при турбулентном течении на главное течение жидкости, происходящее в направлении оси трубы налагаются поперечные движения.

Эти поперечные движения и приводят к перемешиванию в движущейся жидкости.В результате такого перемешивающего движения происходит обмен импульсом в поперечном направлении, в то время как в продольном направлении каждая частица сохраняет свой импульс. Этоприводит к тому, что распределение скоростей по поперечному сечению трубы получается значительноболее равномерным, чем при ламинарном (Рис.

)Более подробный анализ турбулентного течения показывает, что его самым основным признакомявляется следующий: скорость и давление в каждой фиксированной точке пространстване остаются постоянными во времени, а изменяются, претерпевая весьма не регулярныепульсации высокой частоты. Скорость в фиксированной точке пространства можно рассматривать как величину, постоянную во времени, только в среднем и притом для сравнительно большогопромежутка времени (квазистационарное движение).4Согласно закону подобия, открытому Рейнольдсем, переход ламинарной формы течения в турбулентную происходит при приблизительно одинаковом числе РейнольдсаReкритич =ρw̄d≈ 2300µгде w̄ = Q/S –средняя скорость течения.Значение критического числа Рейнольдса существенно зависят от условий входа в трубу и условийпритекания жидкости к этому входу.

Уже Рейнольдс высказал предположение, что критическое числоРейнольдса тем больше, чем меньше возмущений в жидкости, притекающей к входу в трубу.С переходом ламинарного течения в турбулентное связано также резкое изменение сопротивления втрубе. В то время как при ламинарном течении перепад давления, под действием которого происходиттечение, пропорционален первой степени скорости течения, при турбулентном течении этот перепадпропорционален приблизительно квадрату средней скорости течения.