Pressure (Лекции в PDF), страница 2

Для того, чтобы определить поле напряжений, нужно дополнить условия равновесия некоторыми другими уравнениями нестатического происхождения. Например в гидростатикепредполагается, что касательные напряжения отсутствуют, что приводит к тому, что тензор напряжений имеет видTij = −pδij4. Главные нормальные напряжения и главные касательные напряжения.В силу симметрии тензора напряжений в любой точке P сплошной среды существует по крайней мере одна система трех взаимно ортогональных осей, таких, что на элементах поверхности перпендикулярным к этим осям, действуют только нормальные напряжения, а касательные напряженияотсутствуют. Такая система называется системой главных осей напряженного состояния в точке P .Таким образом, любое напряженное состояние в данной точке сплошной среды можно рассматривать как совокупность трех чистых растяжений или сжатий вдоль главных осей тензора напряжений.5.

Поверхности напряжений Коши.Для исследования напряженного сосояния в точке P континиума совместим начало координат xiс исследуемой точкой P и рассмотрим скалярное поле φ, определенное для фиксированных значенийTij формулойφ = Tij xi xjПоверхности уровня этого скалярного поля представляют собой подобные поверхности второго порядка, которые имеют общий центр подобия и центр симметрии в рассматриваемой точке P и называются поверхностями напряжений Коши.Пусть луч, проведенный из точки P в направлении единичного вектора ~ν , пересечет поверхностьнапряжений в точке Q. Координаты точки Q можно записать как xi = rνiГрадиент скалярного поля φ в точке Q определяется формулой(ν)∂j φ = 2Tij xi = 2rTij νi = 2rTjТаким образом,2r T~ (ν) = grad φ(ν)где T~ (ν) –напряжение, соответствующее направлению ~ν , а Tj – его составляющая по оси j.Cледовательно, напряжение T~ (ν) перпендикулярно к касательной плоскости поверхности уровня φ1в точке Q и направлено в то полупространство, ограниченное этой плоскостью, которое не содержит5точку P .

Отсюда сразу следует, что оси поверхности напряжений совпадают с главными осяминапряженного состояния.Зная тензорную поверхность φ = const, можно геометрически следующим образом найти направление напряжения T~ (ν) , действующего на площадке с нормалью ~r. Из точки P перпендикулярно кзаданной площадке проводится вектор ~r. В точке пересечения ~r с поверхностью φ = const проводитсякасательная плоскость dσ к тензорной поверхности. Очевидно, вектор T~ (ν) ортогонален этой площадке.6.