Pressure (Лекции в PDF)

Лекция 3Напряженное состояние.План:1. Масса, плотность. Массовые и поверхностные силы.Внутренние поверхностные напряжения.2. Тензор напряжений.3. Условия равновесия.4. Главные нормальные напряжения и главные касательные напряжения.5. Поверхности напряжений Коши.1. Масса, плотность. Массовые и поверхностные силы.Внутренние поверхностные напряжения.Свойство инерции характеризуется массой m. Массу можно ввести как для всего тела, так и дляего частей. В механике Ньютона масса аддитивна: масса всего тела равна сумме масс mi его частейXm=miiСогласно гипотезе сплошности в механика сплошных сред рассматривает равновесие и движениегазов, жидкостей и деформируемых тел, масса которых считается распределенной непрерывно.Определение 1.Плотность ρ в произвольной точке P непрерывной среды определяется с помощью предельногоперехода∆mρ = lim∆V−→0 ∆ VЭто определение эквивалентно утверждению: элемент объема ∆ V , содержащий точку P , имеетмассу ∆ m = ρ ∆ V .Для конечного объема верно равенствоZm = ρ dτVгде интеграл берется по подвижному индивидуальному объему.Cилы, распределенные по объему V , называются объемными или массовыми силами.

Заметим,что массовые силы это силы дальнодействия. Они действуют без соприкосновения. Примерами~ = −~g , сила инерции F~ = −~a, пондеромоторные силы или силымассовых сил являются сила тяжести FЛоренца:~ = zi E~ + ~vi × B~FВместе с массой в пространстве непрерывно распределены и силы, обусловленные наличием массы.~ – главный вектор массовых сил действующий на элемент массы ∆m.

ТогдаОпределение 2. Если ´Fплотность F~ массовой силы в данной точке есть~ =F´vecFlim∆m−→0 ∆m1Для малой частицы~ ∆m~≈FF~ приходящуюся не на единицу массы, а на единицу объема. Определение 3.Иногда рассматривают силы Ф,~ =Ф~Flim∆V −→0 ∆VОчевидно,~ = ρF~ФКроме пространственно распределенных массовых сил на частицу сплошной среды действуют также поверхностные распределенные силы. В механике сплошной среды они играют основную роль.Поверхностные силы сводятся к передаче импульса при столкновениях. Они действуют на любойэлемент поверхности объема и на его границе Σ.Определение 4. Пусть ∆P~ –главный вектор поверхностных сил, действующих на элемент ∆σ поверхности S, тогда плотность поверхностных сил, определяется следующим образом:~∆Pp~ = lim∆σ−→0 ∆σОпределение 5. Силы называются внутренними, если они вызваны объектами принадлежащими системе и внешними, если они вызваны внешними по отношению к рассматриваемой системеобъектами.Понятие внешнних и внутренних сил относительно.Мысленно выделим в сплошной среде некоторый произвольный объем V и разобъем его сечениемS на две части V1 и V2 .

Если мы будем рассматривать движение одной из частей, например, V1 , то приэтом действие на нее второй части необходимо заменить распределенными по V1 массовыми силамии распределенными по S поверхностными силами. Так введенные силы взаимодействия будут внешними для V1 . Если же мы будем рассматривать движение объема V как целого, то эти силы будутвнутренними.Определение 6. Плотность внутренних поверхностных сил называется внутренним поверхностным напряжением.2. Тензор напряженийВыделим объем V сплошной среды, ограниченный регулярной поверхностью S.

Пусть dS элементповерхности, содержащий точку P . Положение элемента поверхности задается единичным вектором ~νвнешней нормали к поверхности.Предположим, что на элемент dS действует внешняя сила, равная T~(ν) d S, а момент отсутствует.Примем, что напряжение зависит только от положения точки P и направления вектора нормали к ней~ν , но не зависит от формы элемента поверхности d S и вида поверхности S.Таким образом, для рассматриваемой точки P мы имеем соответствие между векторами T~ (ν) инаправлениями ~ν пространства.

Покажем, что это соответствие выражается линейной и однороднойзависимостью напряжений от направляющих косинусов.Будем исходить из постулируемого в механике принципа равновесия. Он формулируется следующим образом.Если часть сплошной среды V , ограниченная замкнутой поверхностью S покоится илидвижется, то массовые силы, действующие в данный момент на эту часть среды, находятсяв равновесии с поверхностными силами, действующими в данный момент на поверхностьS.

Кроме того, должны быть уравновешены и моменты создаваемые массовыми и поверхностными силами.При движении среды в массовые силы должны включаться и силы инерции.2Применим принцип равновесия к бесконечно малому тетраэдру, три ребра P Q1 , P Q2 , P Q3 которогоимеют направления координатных осей (Рис. ). Пусть грань Q1 , Q2 , Q3 имеет площадь dS и внешнююнормаль ~ν . Тогда площади граней P Q2 Q3 , P Q3 Q1 , P Q1 Q2 можно записать в видеdS1 = dS cos(ν, x1 ), dS2 = dS cos(ν, x2 ), dS3 = dS cos(ν, x3 )Внешние нормали к этим граням направлены по отрицательным направлениям координатных осей.Действующее на площадки dS1 , dS2 , dS3 напряжения обозначим через T~1 , T~2 , T~3 , T~ (ν) соответственно.Тогда результирующая сила поверхностных сил, действующих на грани тетраэдра, выразится ввидеT~ (ν) dS − T~1 dS1 − T~2 dS2 − T~3 dS3 = [T~ (ν) − T~1 cos(ν, x1 ) − T~2 , cos(ν, x2 ) − T~3 , cos(ν, x3 )]dSОна пропорциональна площади рассматриваемой площадки.~ d V пропорциональна объему тетраэдра d V .Результирующая же массовых сил ρFЕсли мы уменьшим все линейные размеры тетраэдра в одинаковом отношении, то равнодействующая массовых сил будет стремится к нулю быстрее, чем равнодействующая поверхностных сил.В пределе в точке P необходимо выполнение следующего соотношения:T~ (ν) = T~1 cos(ν, x1 ) + T~2 cos(ν, x2 ) + T~3 cos(ν, x3 )Таким образом, напряженное состояние в точке определяется тензором напряжений T,который любому направлению ~ν пространства ставит в соответствие напряжение T~ (ν) , действующий на элемент поверхности, перпендикулярный вектору ~ν .Определение.Компоненты векторов T~1 , T~2 , T~3 обозначим через T11 , T12 , T13 ; T21 , T22 , T23 ; T31 , T32 , T33 и будем ихназывать компонентами тензора напряжений.Механическое значение компонент тензора напряжений.В силу приведенного выше определения компонент тензора составляющие Tii представляют собой нормальные напряжения , а Tij – касательные напряжения или напряжения сдвига дляэлементов поверхности перпендикулярных осям xi .Напряжение, направленное по нормали к элементу поверхности с вектором нормали ~ν ( нормальное напряжение)определяется выражениемT (ν ν) = T~ (ν) · ~ν = Tij νi νjМодуль касательного напряжения TS , действующего параллельно элементу площади определяется из соотношенияTS2 = T~ (ν) · T~ (ν) − TN2Замечание.

Применив принцип равновесия к трем объемам V1 , V2 и V можно показать, что длянепрерывных движений выполняется еще одно свойство внутренних напряжений:T~ (ν) = −T~ (−ν)Доказательство:Влияние объема V2 на V1 будем заменять распределенными поверхностными силам T~ (ν) d S и мас′совыми силами, плотность которых F~ , а влияние объема V1 на V2 будем заменять распределенными′′поверхностными силам T~ (−ν) d S и массовыми силами, плотность которых F~Из принципа равновесия следуетZZZZ~ ′ + T~ (ν) dσ + T~ (ν) dσρ~a = ρFV1V1Σ13SZZρ~a =V2~ ′′ +ρFρ~a =VT~ (ν) dσ +Σ2V2ZZZZT~ (−ν) dσS~+ρFZT~ (ν) dσΣVПосле сложения двух первых равенств и вычитания из их суммы третьего при условии, что длявнутренних массовых сил всегда выполняется закон действия и противодействия, т.е.ZZZ~ ′ + ρF~ ′′ = ρF~ρFV1будем иметьZV2V(T~(ν) + T~ (−ν) )d σ = 0SОтсюда в силу произвольности объемов V1 , V2 и V и сечения S вытекает, чтоT~ (ν) = −T~ (−ν)3.

Условия равновесия.Симметричность тензора напряжений в классическом случае.Пусть удельные массовые силы заданы полем F~ (x), напряжения – полем Tij (x).Массовая сила ρF d V , действующая на произвольный элемент объема, радиус вектор которого равен~r, создает момент относительно центра координат, равный~ d V = {εijk xj ρFk d V }~r × ρFПоверхностная сила T~ (ν) = {Tlk νl d S}, действующая на элемент S создает относительно началакоординат момент, равный~r × T~ (ν) d S = {εijk xj Tlk νl d S}где xj означает компоненты радиус-вектора, Fk –компоненты вектора плотности массовых сил.Принцип равновесия требует чтобы были уравновешены силы и моменты действующие на объем,т.е. выполнения условийZZTlk νl d S + ρFk d V = 0SZVεijk xj Tlk νl d S +SZεijk xj ρFk d V = 0VИспользуя формулу Гаусса, интегралы по поверхности преобразуемZZTlk νl d S = ∂l Tlk d VSZSεijk xj Tlk d S =ZV∂l (εijk xj Tlk νl )d V =VZVεijk Tjk dV +Zεijk xj ∂l Tjk dVVПри этом использовалось, что компоненты εijk не зависят от координат, и что ∂l xj = δlj .Условия равновесия, тогда запишутся в видеZ(∂l Tlk + ρFk )d V = 0V4Zεijk [Tjk + xj (∂l Tlk + ρFk )]d V = 0VТак как эти интегралы по объему с непрерывными подинтегральными выражениями обращаютсяв нуль при произвольном выборе объема V , то подинтегральные выражения должны тождественноравняться нулю.

Следовательно∂l Tlk + ρFk = 0~t = εijk Tjk = 0Левая часть последнего равенства представляет собой вектор, двойственный тензору напряжений~t = {T23 − T32 , T31 − T13 , T12 − T21 }. Равенство нулю этого вектора означает, что что тензор напряжений симметриченTij = TjiВследствие этой симметрии поле напряжений определяется только шестью функциями координат.Первых трех уравнений недостаточно для определения шести функций координат, задающих поленапряжений. Обычно, в таких случаях напряженное состояние сплошной среды называется статически неопределимым.