И.В. Митин - Умеете ли Вы правильно округлять

Умеете ли Вы правильно округлять?Митин И.В.При проведении экспериментальных исследований результат измеренияфизической величины х обычно принято записывать в виде:(1)x  xˆ  x ,где x̂ - оценка истинного значения физической величины;x - оценка погрешности измерения (стандартного отклонения илидоверительного интервала).При расчетах с использованием современных технических средствкаждое из этих чисел в десятичной записи состоит из большого числа цифр,поэтому чрезвычайно важно провести корректное округление полученногорезультата. Ведь при данной процедуре вносится дополнительнаяпогрешность, называемая погрешностью округления, которая, понятно, недолжна превосходить остальных погрешностей. Но при этом важно такжеисключить в записи те цифры, которые являются избыточными и не несутникакой информации.Попробуем сначала на небольших примерах сформировать собственныепредставления об округлении на основе «соображений здравого смысла», апотом уже укажем, что об этом говорится в литературе.

При этом попутнодадим некоторые важные определения.1. Пусть, например, в процессе измерений путем расчета по «умным»формулам (такие формулы можно найти в [1]) были получены следующиерезультаты:x̂ =21,497263;x =0,6294302.Подставим эти данные в формулу (1):х = 21,497263  0,6294302.Последовательное применение операций сложения и вычитанияпозволяет найти интервал изменения величины х от x1  xˆ  x доx2  xˆ  x :x1 =20,8678328;x2 =22,1266932(не будем сейчас обсуждать вопрос о том, можно ли достоверно утверждать,что истинное значение лежит именно в этом интервале, сейчас речь идеттолько о правилах округления).

Укажем полученный интервал на числовойоси (рис. 1а).Сравнивая записи чисел, обозначающих граничные точки интервала x1 иx2 , видим, что в них на первом месте слева стоит одна и та же цифра «2»,показывающая число десятков. Следовательно, эта цифра, скорее всего,2верная. На втором месте в итоговом результате может стоять либо «0» либо«1», либо «2», цифра на этой позиции показывает число единиц.

Здравыйсмысл подсказывает, что на третьем месте (первом после запятой) может ужестоять любая из цифр от «0» до «9». Он же (здравый смысл) указывает, чтоговорить и записывать какие-либо цифры на последующих местах абсолютнобессмысленно, вся основная информация об интервале содержится вначальных трех цифрах.Попробуем определить, сколько же цифр следует оставить послеокругления.

Например, будем максималистами и скажем: раз повторяетсятолько первая цифра, а остальные же под сомнением, то поэтому отбросимих. Но тогда придется записать:x  20 ,что никуда не годится, ведь это число вообще не входит в интервал (рис. 1б).Значит, вторая цифра, хотя онa и изменяется, тоже нужна? Попробуемоставить ее. Как же тогда записать результат? Например, так: х изменяется от20 до 22, или с использованием знака «плюс-минус»:x  21  1 .Опять нехорошо! Ведь x1 =20,8678328, что гораздо ближе к 21, чем к 20.А x2 , напротив, больше, чем 22. Иными словами, получившийся в результатеокругления интервал сместился в сторону меньших значений по сравнению спервоначальным (рис.

1в), рассчитанным по «умным» формулам! Значит,нужна и третья цифра, хотя она, как мы отмечали, может быть любой.a19бвгд20,86783282021,49726322,12669322122212223202020,921,522,120,8721,5022,13Рис. 1. Построение интервалов при различных округленияхИтак, оставляем в x1 и x2 по три цифры:x1 =20,9;x2 =22,1.(здесь мы воспользовались правилом округления, которое будетсформулировано ниже, хотя большинству, надеюсь, оно знакомо). Тогда сиспользованием знака «плюс-минус» запишем:3x  21,5  0,6 .Вроде неплохо получилось, интервалы до и после округленияпрактически совпадают (рис. 1г).А, может, если добавить еще одну цифру, станет еще лучше? Добавляем(рис.

1д) и получаем:x1 =20,87;x2 =22,13.x  21,50  0,63 .Что изменилось? Интервал стал «точнее», но на сколько? На 0,03, чтосоставляет 5 (пять) процентов от «точного», рассчитанного по «умным»формулам, значения x . Но эти «умные» формулы, применяемые дляоценивания погрешностей, на самом деле являются приближенными.Например, чтобы оценить погрешность в серии прямых измерений,проведенных в одинаковых условиях, надо провести довольно многоизмерений, не меньше десятка. А если проводится всего 3 или даже 5измерений, то погрешность рассчитанной при этом погрешности (да, именнотак ее надо называть!) будет составлять, скорее всего, десятки процентов!Для косвенных измерений оценка погрешности находится через частныепроизводные, что также не гарантирует точного значения.Вывод: четвертая цифра в записи оценки x̂ не нужна, она не вноситновой существенной информации.

А для оценки погрешности x тожедостаточно ограничиться одной цифрой и записать:x  0,6.Казалось, появилась ясность в процедуре округления. Но!!! Мырассмотрели один конкретный пример. А, может, в других случаях все будетне так? Попробуем чуть поэкспериментировать с числами.2. Например, чуть изменим x̂ (уменьшим на единицу), не изменяя x :x̂ =20,497263;x =0,6294302.Тогда изменится и интервал:x1 =19,8678328;x2 =21,1266932.Смотрите: не повторяется даже первая цифра! Катастрофа!!! Или все женет? Не повторяя всех слов, сказанных выше, просто запишем новую цепочкуполучающихся результатов:х=20 или х=10 (полный кошмар!!!);x  20  1 (кошмар чуть уменьшился, но остался кошмаром);x  20,5  0,6 (хорошо);x  20,50  0,63 (а стало ли лучше?).Есть ощущения, что все интуитивно понятые (но пока несформулированные!) правила остались на своих местах.43.

Теперь изменим погрешность x (уменьшим на 0,3), не изменяя x̂ :x̂ =21,497263;x =0,3294302.Вновь строим цепочку:x1 =21,1678328;x2 =21,8266932.Ого, теперь уже первые две цифры совпадают! Поэтому, оставляя только их,получим:x  21  0 (идеальная точность!);x  21,5  0,3 (хорошо);x  21,50  0,33 (опять перебор).Оснований изменять правило не появилось.4. Еще уменьшим погрешность x (на 0,2), не изменяя x̂ :x̂ =21,497263;x =0,1294302.Снова строим цепочку:x1 =21,3678328;x2 =21,6266932.По-прежнему первые две цифры совпадают, поэтому:x  21  0 (вновь идеальная точность!);x  21,5  0,1 ;x  21,50  0,13 .Хм, а ведь теперь последняя запись уже не избыточна, она гораздоточнее воспроизводит интервал, заданный числами x1 и x2 , чем впредыдущем случае.

Получается, что именно эта запись стала лучшей!Наверное, уже можно, проанализировав результаты, попытаться сделатьвыводы. При изменении оценки x̂ истинного значенияникакихсущественных (и несущественных!) изменений в округлении не происходит.А с изменением оценки погрешности x чуть по-другому. Сравним дваокругления:x =0,1294302  0,1;x =0,1294302  0,13.В первом случае при округлении до 0,1 значение изменяется(уменьшается) на 30 процентов. А это уже немало! И интервал, как мывидели, может «поехать». Во втором же случае относительная погрешностьокругления, вносимая в погрешность x , менее процента - все хорошо.Все приведенные выше рассуждения приводят к мысли, что округлениенадо начинать именно с погрешности x . Но перед тем, как сформулироватьправила округления, следует дать одно важное определение.Значащие цифры данного числа - все цифры от первой слева, не равнойнулю, до последней справа.

При этом нули, следующие из множителя 10n (n –целое число), не учитывают.5Примеры:1) 0,2396 – 4 значащие цифры, первая цифра – 2;2) 0,00173 – 3 значащие цифры, первая цифра – 1;3) 30170 – 5 значащих цифр, первая цифра – 3, последний нуль – такжезначащая цифра;4) 301,7·102 – 4 значащие –цифры, первая цифра – 3, последняя – 7;5) 20000 – 5 значащих цифр, первая цифра – 2, все последующие нули –также значащие цифры;6) 20·103 – 2 значащие цифры, первая цифра – 2, вторая цифра – 0, нули,следующие из множителя 103 , не учитывают;7) 0,02·106 – одна и единственная значащая цифра – 2.Примеры показывают, что, хотя с точки зрения математики, записи подномерами 3 и 4 идентичны, обозначают одно и то же число, но количествозначащих цифр в них различно! То же самое можно сказать и про записи подномерами 5, 6 и 7.

Этот факт чрезвычайно важен для корректной записирезультата, получаемого после округления.А теперь приступаем к формулировке правил округления.1) Округление следует начинать с погрешности, оставляя 1 (одну) или 2(две) значащие цифры. Если первая значащая цифра – единица илидвойка, то после округления оставляют две значащие цифры. Еслиже первая значащая цифра – тройка и более, то оставляют однузначащую цифру.Примеры.До округленияПосле округления0,172950,174,832950,972831,0(именно так, а не просто 1,чтобы подчеркнуть, чтопогрешность погрешностив первом знаке послезапятой)0,0062980,006 или 0,6·10-2 или 6·10-3384,530,4·103 или 4·102(но не 400 –ведь это 3значащие цифры)62) Далее округляется сама величина, причем ее последняя значащаяцифра должна находиться на той же позиции, что и последняязначащая цифра погрешности.Примеры.До округленияПосле округления3,4874±0,172953,49±0,17285,396±4,8329285±512,482±0,9728312,5±1,019,98281±0,813820,0±0,8(нули должны быть указаныобязательно – это значащиецифры)Видно, что если в погрешности присутствуют всего одна или двезначащие цифры, то в самом результате после округления количествозначащих цифр не меньше, чем в погрешности, причем последние значащиецифры в обоих числах стоят на одной и той же позиции.3) Если при округлении погрешности указан порядок, т.е.

10n, то такойже порядок должен быть и у самой величины, при этом оба числазаключаются в скобки, и множитель 10n указывается один раз.Примеры.До округления0,283984±0,00629872903±384,532374±48После округления0,284±0,006или (28,4±0,6)·10-2или (284±6)·10-3(72,9±0,4)·103или (729±4)·102(2,37±0,05)·103или (23,7±0,5)·102Как видно, использование записи с порядком 10n не являетсяоднозначным, ведь одно и то же число можно записать с одним и тем жеколичеством значащих цифр, но с разными порядками.Пример.0,004=0,04·10-1=0,4·10-2=4·10-3(во всех случаях одна значащая цифра).7Какую же форму записи предпочесть? Здесь нет однозначноготолкования, но можно вновь воспользоваться соображениями здравогосмысла.Вспомним, что запись с порядком используют обычно, чтобы избежатьнеобходимости указания большого числа нулей. Согласитесь, что запись3·107выглядит гораздо приятнее и понятнее, чем30000000.То же самое можно сказать и про записи0,6·10-5 и 0,000006.Однако нонсенсом выглядят записи0,2·10-1 вместо 0,02.или4·101 вместо 40.Кроме этого, вспомним, что достаточно часто используются приставки кило-,мега- или милли- и особенно модное нано-.