А.В. Овчинников - Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов 1 курса

Московский государственный университет им. М. В. ЛомоносоваФизический факультетКафедра математикиА. В. ОвчинниковКонтрольные заданияпо аналитической геометриидля студентов 1 курсаМосква, 2016СодержаниеПравила оформления1. Комплексные числа и многочлены2. Матрицы и определители. Алгоритм Гаусса—Жордана3. Системы линейных уравнений4. Алгебра векторов5. Прямые и плоскости6. Линии второго порядка125122125411Правила оформленияВнимательнопрочитайте эти правила,прежде чем начинать выполнение работы!Контрольные работы выполняются в отдельной тетради. Записывать решениенужно лишь на одной стороне листа: обратная сторона предназначена для выполнения работы над ошибками.

На каждой странице требуется оставить поляшириной 2 см.На обложке тетради указываются фамилия, имя, отчество студента, номер группы, номер варианта, номера выполненных задач, дата сдачи работы.Каждая задача выполняется начиная с нового листа.

Условия задач переписывать не нужно.Работа должна быть выполнена аккуратно, написана разборчивым почерком.Решение каждой задачи необходимо сопровождать текстовыми пояснениями; отсутствие пояснений приводит к снижению оценки.Все задачи приведены в 26 вариантах; каждый студент выбирает вариант согласно своему номеру в списке группы по журналу.21.

Комплексные числа и многочлены1.1.Вычислите значение выражения.(1 + i)2 (1 + 2i).1.1.1.2+i(1 + 3i)2 (3 − i)1.1.10..1+i(1 + 4i)2 (4 − 5i)1.1.19..5+i(1 + i)2 (1 + 3i)1.1.2..3+i(1 + 3i)2 (3 − 2i)1.1.11..2+i(1 + i)2 (1 + 4i)1.1.3..4+i(1 + 3i)2 (3 − 3i)1.1.12..3+i(1 − i)2 (2i − 1).1.1.20.i−2(1 + i)2 (1 + 5i).1.1.4.5+i(1 + 3i)2 (3 − 4i).1.1.13.4+i(1 + 2i)2 (2 − i)1.1.5..1+i(1 + 3i)2 (3 − 5i)1.1.14..5+i(1 + 2i)2 (2 − 2i)1.1.6..2+i(1 + 4i)2 (4 − i)1.1.15..1+i21.1.7.(1 + 2i) (2 − 3i).3+i21.1.16.(1 + 4i) (4 − 2i).2+i(1 − i)2 (3i − 1).1.1.21.i−3(1 − i)2 (4i − 1)1.1.22..i−4(1 − i)2 (5i − 1)1.1.23..i−5(1 − 2i)2 (i − 2)1.1.24..i−1(1 + 2i)2 (2 − 4i)1.1.8..4+i(1 + 4i)2 (4 − 3i)1.1.17..3+i(1 + 2i)2 (2 − i).1.1.25.1+i(1 + 2i)2 (2 − 5i).1.1.9.5+i(1 + 4i)2 (4 − 4i).1.1.18.4+i(1 + 3i)2 (3 − 5i).1.1.26.5+i1.2.Вычислите значение выражения.1.2.1.−1 + 5i√(2 + 3i) 2−251.2.2.5+i√(2 + 3i) 2−33.√ !−41(2 + i) 2.i−31.2.3.√ !−49(2i − 1) 2.3−i1.2.4.1.2.5..−1 + 3i√2(1 + 2i)−57.1.2.6.3+i√2(1 + 2i)−651.2.7.1 − 3i√2(1 + 2i)−73.1.2.8.−3 − i√2(1 + 2i)−25..1.2.11.√ !−49(1 − 2i) 2.1 + 3i1.2.12.√ !−57(−2 − i) 2.1 + 3i1 + 3i√2(2 + i)−65.1.2.13.!√ −33(−1 + 2i) 2−731.2.9..3−i1 + 3i1.2.14.

√.2(2 + i)√ !−41−25(2 + i) 2−1−3i.1.2.10..1.2.15. √1 + 3i2(2 + i)31.2.16.−3 + i√2(2 + i)−331.2.17.3+i√2(2 − i)−411.2.18.1 − 3i√2(2 − i)1.2.19.−3 − i√2(2 − i)1.3...1.2.20.1.2.21.−49.1.2.22.−57.1.2.23.−65−1 + 3i√.2(2 − i)√ !−73(1 + 2i) 2.3+i−335+i√.(2 + 3i) 2√ !−41(2 + i) 2.1 + 3i1.2.24.−1 − 3i√2(2 + i)−25.1.2.25.3+i√2(2 − i)−41.1.2.26.−3 − i√2(2 − i)−57.Решите квадратное уравнение.1.3.1. z 2 − (3 + i) z + 4 + 3i = 0.1.3.14. z 2 − (3 + 2i) z + 5 + i = 0.1.3.3. z 2 − (3 + 3i) z + 5i = 0.1.3.16. z 2 − (4 + 2i) z + 7 + 4i = 0.1.3.2.

z 2 − (3 − i) z + 4 − 3i = 0.1.3.4. z 2 − (3 − 3i) z − 5i = 0.1.3.5. z 2 − (2 + 4i) z − 2 + 4i = 0.1.3.6. z 2 − (2 + 2i) z + 4 + 2i = 0.1.3.7. z 2 − (2 − 2i) z + 4 − 2i = 0.1.3.8. z 2 − (2 − 4i) z − 2 − 4i = 0.1.3.9. z 2 − (3 + 4i) z − 1 + 7i = 0.1.3.10.

z 2 − (3 + 2i) z + 5 + 5i = 0.1.3.11. z 2 − (3 − 2i) z + 5 − 5i = 0.1.3.12. z 2 − (3 − 4i) z − 1 − 7i = 0.1.3.13. z 2 − (3 + 4i) z − 1 + 5i = 0.1.3.15. z 2 − (4 + 4i) z + 1 + 8i = 0.1.3.17. z 2 − (3 − 2i) z + 5 − i = 0.1.3.18. z 2 − (3 − 4i) z − 1 − 5i = 0.1.3.19. z 2 − (4 − 2i) z + 7 − 4i = 0.1.3.20.

z 2 − (4 − 4i) z + 1 − 8i = 0.1.3.21. z 2 − (4 + 3i) z + 1 + 5i = 0.1.3.22. z 2 − (4 + i) z + 5 − i = 0.1.3.23. z 2 − (5 + 3i) z + 4 + 7i = 0.1.3.24. z 2 − (5 + i) z + 8 + i = 0.1.3.25. z 2 − (7 + 8i) z + 3 + 37i = 0.1.3.26. z 2 − (3 + 4i) z − 1 + 5i = 0.1.4. Найдите модуль и главное значение аргумента (удовлетворяющее условию−π < arg z 6 π) комплексного числа. Аргумент выразите через арктангенс.1.4.1. −2 + 5i.1.4.2.

−2 − 5i.1.4.3. −5 + 2i.1.4.4. −5 − 2i.1.4.5. −3 + 5i.1.4.6. −3 − 5i.1.4.7. −5 + 3i.1.4.8. −5 − 3i.1.4.9. −4 + 5i.1.4.15. −7 + 3i.1.4.16. −7 − 3i.1.4.10. −4 − 5i.1.4.17. −4 + 7i.1.4.12. −5 − 4i.1.4.19. −7 + 4i.1.4.11. −5 + 4i.1.4.13. −3 + 7i.1.4.14. −3 − 7i.1.4.18. −4 − 7i.1.4.20. −7 − 4i.1.4.21. −5 − 2i.1.4.22. −4 + 5i.1.4.23. −5 − 4i.1.4.24. −4 + 7i.1.4.25. −4 − 7i.1.4.26. −7 − 4i.41.5.

Найдите все значения корня из комплексного числа. Запишите ответ в алгебраической, тригонометрической и показательной форме.rr7−6i8+19i1 − 18i 5 + 15i−.1.5.14. 3−.1.5.1. 34 − 3i1 + 2i3 − 2i3+irr29+15i22+7i21 + 16i 19 + 7i1.5.2. 3−.1.5.15. 3−.2 + 3i5−ii−41 + 3irri − 18 14i − 232 + 11i 11 + 27i31.5.3.+.+.1.5.16. 33 + 2i2 − 5i2+i3 − 5irr31i − 8 3 − 14i7 − 22i 11 + 17i31.5.4.−.1.5.17. 3−.4 − 3i1 + 2i3 − 2i3+irr19+17i18+i17 + 11i 29 + 15i1.5.5. 3−.−.1.5.18. 32 + 3i5−ii−31 + 5irr33−10i7i−2229 − 3i 10 − 5i1.5.6. 3−.−.1.5.19.

33 + 2i2 − 5i3 − 5i2+irr11−2i24−7i19 − 7i 23 + 2i1.5.7. 3−.1.5.20. 3−.1 − 2i4 + 3i3+i3 − 2irr14 − 5i 9 + 19ii − 13 9 + 19i31.5.8.−.−.1.5.21. 32 + 3i5−i3−i1 + 5irr23 + 24i 25 + 5i22 + 7i 29 + 15i3−.1.5.9.−.1.5.22. 3i−41 + 3i2 + 3i5−irr9 + 2i 16 − 13i18 + i 19 + 17i331.5.10.−.1.5.23.−.1 − 2i4 + 3i2 + 3i5−irr1 − 13i 5 + 14i23 + 24i 25 + 5i33−.1.5.11.−.1.5.24.3+i3 − 2ii−41 + 3irr19 + 8i 13 + 9i9i − 2 17 + 17i331.5.12.−.+.1.5.25.i−41 + 3i2+i3 − 5irr9i − 2 17 + 17i32 + 11i 11 + 27i1.5.13.+.1.5.26. 3+.2+i3 − 5i2+i3 − 5i1.6.

Найдите все значения корня из комплексного числа. Запишите ответ в алгебраической, тригонометрической и показательной форме.s √s √√√81253+23i3+9i33−21i3 + 7i4√− √.1.6.2.− √.1.6.1. 4 √3−i3 + 2i3+i2 3−i5s√√3+11i33i−161.6.3. 4 √+ √.3−i3 + 2is √√53−19i3 + 5i16− √.1.6.4. 4 √3+i2 3−is√√19i−933 − 15i41.6.5. 4 √− √.3+i3 − 2is √√3 + 17i 12 3 + 19i4 7√√−.1.6.6.i− 32 3+is√√3 5 3 − 17i4 20i − 8√− √.1.6.7.3+i3 − 2is √√1383+20i3 + 13i√√−1.6.8. 4.i− 32 3+is √√6i3−223 − 119i√ +√ .1.6.9. 41+i 32−i 3s√√18−22i3313−13i√√ .−1.6.10.

43+i 31 − 2i 3s √√5i3−1938−11i√ −√ .1.6.11. 41+i 32−i 3s√√3 31 − 10i 34 9 − 13i√ −√ .1.6.12.3+i 31 − 2i 3s√√17+7i3320+3i√ −√ .1.6.13. 41−i 32+i 3s√√3−15i3329−6i√ −√ .1.6.14. 43+i 31 − 2i 31.6.15.1.6.16.1.6.17.1.6.18.1.6.19.1.6.20.1.6.21.1.6.22.1.6.23.1.6.24.1.6.25.1.6.26.√√16+8i3318+2i4√ −√ .1−i 32+i 3s√√22+3i9−7i334√ −√ .1+i 32−i 3s√√3 11 − i 34 3 + 16i√ −√ .2−i 31+i 3s√√19+i12−8i334√ −√ .1+i 32−i 3s √√2i3−1031+17i4√ +√ .1+i 32−i 3s√√23−i14−6i334√ −√ .1+i 32−i 3s√√3 29 − 3i 34 8 + 4i√ −√ .1−i 32+i 3s √√1233−21i3 + 7i4√− √.3+i2 3−is√√19i−933 − 15i44√− √.3+i3 − 2is√√13−13i18−22i334√√ .−3+i 31 − 2i 3s√√3 20 + 3i 34 17 + 7i√ −√ .1−i 32+i 3s √√1+17i2i3−1034√ +√ .1+i 32−i 3s2.

Матрицы и определители. АлгоритмГаусса—Жордана2.1. Найдите произведения матриц AX, X T AX, где X = (x, y, z)T , а матрицаA равна62.1.1.2.1.2.2.1.3.2.1.4.2.1.5.2.1.6.2.1.7.2.1.8.2.1.9.−25−5−6−51−1−33−3163−1−6−1−44−4513−2−6−43−5−4 1 −5 −4 .−2 33 64 4.6 31 −2 4 −3 .2 −36 −6 2 1.−2 −5−5 7 −2 4 .5 −5−2 −7 2 −2 .3 −74 67 3.−6 −7−4 1 3 1.5 −32 56 −7 .−6 62.1.10.2.1.11.2.1.12.2.1.13.2.1.14.2.1.15.2.1.16.2.1.17.2.1.18.−3−46−5 4 1 .1 2 −24−431−6−3.6 5 616−37−27.7 4 34 3 −5 −26−7.−5 5 −4−6−6−6−7 6 2 .2 1 −2−31−217−3.1 2 211534−5.2 −4 7151−3−12.−5 4 −7−63−37 3 −4 .−3 −1 4−7−34−4 −7 6 2.1.19.

.4 5 1−4−11−4 6 4 2.1.20. .4 2 635−5−2−7−62.1.21. .6 5 −1−4−122−4−72.1.22. .4 3 746−31 5 −1 2.1.23. .−3 2 −7−76−41−2−12.1.24. .1 −1 −4−2−451 −3 −4 2.1.25. .7 5 32−1−7−5 −1 −5 2.1.26.

.−6 −5 −32.2. Вычислите определитель тремя способами: (a) с помощью разложения попервой строке; (b) с помощью разложения по первому столбцу; (c) используя алгоритм Гаусса для предварительного упрощения вычислений. −3 3 −4 4 1 −5 6 −4 5 2.2.1. 5 −2 7 .2.2.3. 3 −4 −2 .2.2.5. −3 −2 4 . 3 −1 −1 2 −4 1 −4 6 6 5 7 −1 2.2.2. −4 −1 −3 . −4 −6 2 −2 2 −7 2.2.4. 4 −7 7 . −3 3 5 −7 6 2 2.2.6. 5 1 7 . 2 −4 −7 7 −7 1 −1 2.2.7.

5 2 6 . −5 5 1 5 5 7.−2−522.2.8. 7 5 7 3 3 62.2.9. −4 −6 2 . −3 1 3 2 −1 7 2.2.10. 5 1 3 . 7 −6 −1 −3 −1 −6 .−7122.2.11. 6 7 4 3 −1 3 2.2.12. −7 3 4 . −1 −6 5 −5 4 −3 2.2.13. −2 −6 5 . 3 4 32.2.14.2.2.15.2.2.16.2.2.17.2.2.18.2.2.19.2.2.20. −5 3 6 3 7 2 . −7 2 2 4 5 4 3 6 3 . 1 −1 −1 −3 2 5 −2 −2 −6 . −1 3 −7 1 5 −1 −5 3 −4 . 2 −1 1 −5 −2 −5 −7 2 −4 . −6 0 3 2 −2 5 −4 2 1 . 1 −2 −2 4 7 −1 −3 5 −5 . −3 −4 7 6 5 72.2.21.

2 −1 1 . −7 2 −6 −5 −7 −2 2.2.22. −5 4 −5 . −3 −4 −7 5 −7 −7 2.2.23. 4 −6 −5 . −3 −4 −1 3 −6 −7 2.2.24. 1 2 −3 . −1 5 −3 6 −3 −2 2.2.25. 3 −5 3 . −2 4 4 −7 6 6 2.2.26. −7 1 4 . 3 5 −6 2.3. Для данной матрицы найдите обратную. Проверьте правильность вычисления умножением матриц.4−2−1−2−7−5−732.3.8. 2.3.1. .. 2.3.22.

. 2.3.15. .−2 −2−7 7−1 −1−4 65−47−512542.3.16. 2.3.9. 2.3.2. . 2.3.23. ...1 65 −63 −7−2 −7−635−146−2−62.3.10. 2.3.3. . 2.3.24. . 2.3.17. ..−5 1−1 −47 −425 −7 −7 2 3 2 −3 2.3.11. 2.3.4. .. 2.3.18. .1 57 42 −67 72.3.25. .4 −7 1 −2  −6 −7  6 52.3.5. .. 2.3.19. .

2.3.12. −6 −51 −6−7 −4 −7 3  2.3.26.  −6 −2 . −4 1  −6 −3  2 −3 2.3.6. .. 2.3.20. . 2.3.13. 7 −4−7 −6−6 −6−412−1−1−42.3.7. .. 2.3.21. . 2.3.14. 5 5−1 52 682.4. Методом Гаусса приведите матрицу к упрощённому виду. Укажите базисные столбцы и найдите линейные зависимости между столбцами.−5−1−13−3−327−31−9−1123−3331215−13−1118−72.4.1.

2.4.10...−2−4−16−2−24−80−260−461 15 1 10 11 1 −1 1 −2 −5−5−1−7−31613−31−7−1−811−3 3 −15 1 14 −3 −1 3 3 1 12 9 ..2.4.2. 2.4.11.−2−48−20160−2−40−6−41 1 −1 1 −2 −51 1 5 1 10 −1−5−1−17−3−2813−31−11−187−33−31815−13−9112−3..2.4.3.

2.4.12.−2−4−14−2−26−20−240−641 15 1 10 −11 11 1 2 −5−5−1−13−3417−2220−210−3 3 −15 1 16 3 0 3 9 1 11 9 2.4.4. 2.4.13. ..−2−42−2−10141−1−116−51 11 12 −51 1 5 1 10 1−40−8−2−228−22−10010−2−235151303−915−92.4.5. 2.4.14...−1−3−11−1−14−71−151−611 15 1 10 11 1 −1 1 −2 −5−40−8−2148−22−20210−2 3 −13 1 11 −5 0 3 6 1 14 6 ..2.4.6. 2.4.15.