В.М. Мануйлов - Курс лекций по линейной алгебре и геометрии, страница 6
Описание файла
PDF-файл из архива "В.М. Мануйлов - Курс лекций по линейной алгебре и геометрии", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 6 страницы из PDF
®ª ¦¥¬, ·²® dim V < dim W . ±«¨¬» ¯°¥¤¯®«®¦¨¬ ¯°®²¨¢®¥, dim V = dim W , ½²® ¡³¤¥² ®§ · ²¼, ·²® V = W , ±«¥¤®¢ ²¥«¼®,®¯¥° ²®° f ¡³¤¥² ®¡° ²¨¬»¬, ±«¥¤®¢ ²¥«¼®, det f 6= 0. ® ²®£¤ det f n = (det f )n 6= 0 ¤«¿ «¾¡®©±²¥¯¥¨ n, ·²® ¯°¨¢®¤¨² ª ¯°®²¨¢®°¥·¨¾ ± ¨«¼¯®²¥²®±²¼¾.dimV < dim W , ¨ ¢ ¯®¤µ®¤¿¹¥¬ ¡ §¨±¥ ¬ ²°¨¶ ®¯¥° ²®° f ¨¬¥¥²¡«®·»© ¢¨¤ Af = ² ª,nA?Af ? . ®£¤ ¥£® ±²¥¯¥¨ ¨¬¥¾² ² ª®© ¦¥ ¢¨¤: An =ff0?0? , ±«¥¤®¢ ²¥«¼®, ¥±«¨Anf = 0, ²® ¨ Anf = 0, ¨ ®¯¥° ²®° f1 ² ª¦¥ ¨«¼¯®²¥²»© (¯°¨·¥¬ dim V < n). ·¨², ¯®¯°¥¤¯®«®¦¥¨¾0 ¨¤³ª¶¨¨ ®¯¥° ²®°1 f1 ¨¬¥¥² ¡ §¨±, ¢ ª®²®°®¬ ® ¯°¥¤±² ¢¨¬ ¢ ³¦®¬ ¬111B¢¨¤¥ Af = B@Ak10Ak210...AktCCA, £¤¥ t | ª®«¨·¥±²¢® ª«¥²®ª.
²®¬³ ° §¡¨¥¨¾ ¡«®ª¨19¡³¤¥² ±®®²¢¥²±²¢®¢ ²¼ ¡ §¨±(1) (2)(2)(t)(t)a(1)1 ; : : : ; ak ; a1 ; : : : ; ak ; : : : ; a1 ; : : : ; akt :|{z}|{z1®²¢¥· ¥² Ak1}2®²¢¥· ¥² Ak2|{z}®²¢¥· ¥² Akt±¥ ½²¨ ¢¥ª²®° ¢¬¥±²¥ ®¡° §³¾² ¡ §¨± ¢ V , ®¡®§ ·¨¬ ½²³ £°³¯¯³ ¢¥ª²®°®¢ ·¥°¥§ (I).®¯®«¨¬ ¥¥ ¤® ¡ §¨± ¢±¥£® W . ±«¨ rk f = r, ²® dim V = r, ±«¥¤®¢ ²¥«¼®, dim U = n r.®¤ ¤¥©±²¢¨¥¬ ®¯¥° ²®° f1 ¢¥ª²®° a(kii) ¯¥°¥µ®¤¨² ¢ a(kii) 1 , a(kii) 1 7! a(kii) 2 , : : : , a(2i) 7! a(1i), a(1i) 7!(1)(t)(t)0.
«¥¤®¢ ²¥«¼® ¢¥ª²®° a(1)1 ; : : : ; a1 2 Ker f1 , ¡®«¥¥ ²®£®, Ker f1 = ha1 ; : : : ; a1 i, ².ª. ¢±¥¯°®±²° ±²¢® ° §¡¨¢ ¥²±¿ ¢ ¯°¿¬³¾ ±³¬¬³ ¯®¤¯°®±²° ±²¢, ®²¢¥· ¾¹¨µ ª«¥²ª ¬ Ak ; : : : ; Akt .(t).ª. U \V = Ker f1 Ker f = U , ²® ¡ §¨± a(1)1 ; : : : ; a1 ¯®¤¯°®±²° ±²¢ U \V ¬®¦® ¤®¯®«¨²¼ ¤®¡ §¨± ¯°®±²° ±²¢ U .
®¯®«¨¬ ¥£® ¢¥ª²®° ¬¨ b1 ; : : : ; bn r t ¨ ®¡®§ ·¨¬ ½²³ £°³¯¯³ ¢¥ª²®°®¢·¥°¥§ (II) (ª®«¨·¥±²¢® ¢¥ª²®°®¢ ¢ ¥© ° ¢® dim U dim(U \ V ) = (n r) t). «¿ ²®£®, ·²®¡»¤®¯®«¨²¼ £°³¯¯» ¢¥ª²®°®¢ (I) ¨ (II) ¤® ¡ §¨± ¢±¥£® ¯°®±²° ±²¢ W , ¬ ³¦® ¥¹¥ t ¢¥ª²®°®¢.(1) ±±¬®²°¨¬ £°³¯¯³ ¢¥ª²®°®¢ (I). ®¤ ¤¥©±²¢¨¥¬ ®¯¥° ²®° f1 ¢ ¢¥ª²®°» a(1)k ; : : : ; akt ¨·¥£® ¥(1)¯¥°¥µ®¤¨², ®¤ ª® ¢® ¢±¥¬ ¯°®±²° ±²¢¥ W ¥±²¼ ¢¥ª²®° , ¢ ¨µ ¯¥°¥µ®¤¿¹¨¥, ².ª. a(1)k ; : : : ; akt 2Im f = V .
³±²¼ ½²® ¢¥ª²®° c1; : : : ; ct, ®¡®§ ·¨¬ ½²³ £°³¯¯³ ¢¥ª²®°®¢ ·¥°¥§ (III). ®ª ¦¥¬,·²® ®¡º¥¤¨¥¨¥ £°³¯¯ ¢¥ª²®°®¢ (I), (II) ¨ (III) ®¡° §³¥² ¡ §¨± ¢ W .¨¥© ¿ ¥§ ¢¨±¨¬®±²¼. ³±²¼ «¨¥© ¿ ª®¬¡¨ ¶¨¿ ½²¨µ ¢¥ª²®°®¢ ° ¢ ³«¾:111(1)(1) (1)(t) (t)(t) (t)(1)1 a1 + : : : + k ak + : : : + 1 a1 + : : : + kt akt ++1 b1 + : : : + n r t bn r t + 1c1 + : : : + tct = 0:°¨¬¥¨¬ ª ®¡®¨¬ · ±²¿¬ ° ¢¥±²¢ ®¯¥° ²®° f , ²®£¤ ¯®«³·¨¬11(1)(1) (1)(t) (t)(t) (t)(1)2 a1 + : : : + k ak 1 + : : : + 2 a1 + : : : + kt akt 1 +(t)+0 + : : : + 0 + 1a(1)k + : : : + takt = 0:111® ¢¥ª²®° £°³¯¯» (I) ®¡° §³¾² ¡ §¨± ¢ V , ±«¥¤®¢ ²¥«¼®, ®¨ «¨¥©® ¥§ ¢¨±¨¬», ¨ ¢±¥ ¯°¨±³²±²¢³¾¹¨¥ §¤¥±¼ ª®½´´¨¶¨¥²» ° ¢» ³«¾, ².¥.(1)(t)(t)(1)2 = : : : = k = : : : = 2 = : : : = kt = 1 = : : : = t = 0:1®£¤ ®² ¯¥°¢® · «¼®© ±³¬¬» ®±² ¥²±¿ «¨¸¼(1)(t) (t)(1)1 a1 + : : : + 1 a1 + 1 b1 + : : : + n r t bn r t = 0; ½²¨ ¢¥ª²®° ª ª ° § ®¡° §³¾² ¡ §¨± ¢ U , ±«¥¤®¢ ²¥«¼® ®¨ «¨¥©® ¥§ ¢¨±¨¬» ¨ ¢±¥ ®±²¢¸¨¥±¿ ª®½´´¨¶¨¥²» ² ª¦¥ ° ¢» ³«¾, ±«¥¤®¢ ²¥«¼® ±¨±²¥¬ ¢¥ª²®°®¢ £°³¯¯ (I ) [ (II ) [ (III )«¨¥©® ¥§ ¢¨±¨¬ .®«®² ½²®© ±¨±²¥¬» ¢¥ª²®°®¢ ®·¥¢¨¤ , ².ª.
ª®«¨·¥±²¢® ¢¥ª²®°®¢ ° ¢® k1 + : : : + kt + (nr t) + t = r + (n r t) + t = n = dim W , § ·¨² ½²® ¤¥©±²¢¨²¥«¼® ¡ §¨±.®±¬®²°¨¬ ²¥¯¥°¼, ª ª ¢»£«¿¤¨² ¬ ²°¨¶ ®¯¥° ²®° f ¢ ½²®¬ ¡ §¨±¥. ¥°¥¯¨¸¥¬ ½²®² ¡ §¨±¢ ±«¥¤³¾¹¥¬ ¯®°¿¤ª¥:(t)(t)(1)a(1)1 ; : : : ; ak ; c1; : : :: : : ; a1 ; : : : ; akt ; ct; b1; : : : ; bn|{z1}|{z}r t:® ¯®±²°®¥¨¾, f (bi ) = 0 ¤«¿ i = 1; : : : ; n r t, ¢ ª ¦¤®© ¢»¤¥«¥®© £°³¯¯¥ ¢¥ª²®° ¯¥°¥µ®¤¿² ¤°³£ ¢ ¤°³£ ¶¨ª«¨·¥±ª¨: ci 7! a(kii) 7! : : : 7! a(1i) 7! 0, i = 1; : : : ; t, ².¥. ª ¦¤®©£°³¯¯¥ ®²¢¥· ¥² ª«¥²ª ° §¬¥° ¥¤¨¨¶³ ¡®«¼¸¥, ·¥¬ Aki ².ª. ª ª ¦¤®© ¶¨ª«¨·¥±ª®© ¶¥¯®·ª¥¢¥ª²®°®¢ ¬» ¤®¡ ¢¨«¨ ¥¹¥ ¯® ®¤®¬³ ¢¥ª²®°³.
½²®¬ ¡ §¨±¥ ¬ ²°¨¶ ®¯¥° ²®° ¡³¤¥² ¨¬¥²¼200ABB k +1 Ak +1BB¢¨¤: Af = BBBBB@012...0Akt +10...¢¥ª²®° ¬ bi . ¥®°¥¬ ¤®ª § .2.601CCCCCC, £¤¥ ®¤®¬¥°»¥ ³«¥¢»¥ ª«¥²ª¨ ®²¢¥· ¾²CCCA®£®·«¥» ®² ®¯¥° ²®°®¢³±²¼ f : V ! V | «¨¥©»© ®¯¥° ²®°. ®£¤ ª ¦¤®¬³ ¬®£®·«¥³ p(t) 2 Kn [t] ¬®¦® ¯®±² ¢¨²¼ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ®¯¥° ²®° ¯® ±«¥¤³¾¹¥¬³ ¯° ¢¨«³:a0 + a1t + a2 t2 + : : : + an tn 7! a0id + a1f + a2f 2 + : : : + an f n| ½²®² ¬®£®·«¥ ®² ®¯¥° ²®° , ² ª¦¥ ¿¢«¿¾¹¨©±¿ ®¯¥° ²®°®¬, ¬» ¡³¤¥¬ ®¡®§ · ²¼ ·¥°¥§p(f ).®¦¥² ² ª ¯®«³·¨²¼±¿, ·²® p(f ) | ³«¥¢®© ®¯¥° ²®°, ²®£¤ ¬®£®·«¥ p(t) §»¢ ¥²±¿ ³«¨°³¾¹¨¬ ¬®£®·«¥®¬ ¤«¿ ®¯¥° ²®° f .°¨¬¥°: ±«¨ f = id, ²® p(t) = t 1 ¡³¤¥² ³«¨°³¾¹¨¬ ¬®£®·«¥®¬, ².ª.
p(f ) = f id = 0.¥¬¬ 2.6.1 «¾¡®£® ®¯¥° ²®° ®ª § ²¥«¼±²¢®.f±³¹¥±²¢³¥² ³«¨°³¾¹¨© ¬®£®·«¥.³±²¼ dim V = n, ° ±±¬®²°¨¬ ®¯¥° ²®°» f| 0 = id; f 1 ={zf; f 2; : : : ; f n}. §2n2 +1n2 ,¬¥°®±²¼ ¢¥ª²®°®£® ¯°®±²° ±²¢ «¨¥©»µ ®¯¥° ²®°®¢ ° ¢ ±«¥¤®¢ ²¥«¼® ½²¨ ®¯¥° ²®°» (¯®±ª®«¼ª³ ¨µ ª®«¨·¥±²¢® ¡®«¼¸¥ ° §¬¥°®±²¨) «¨¥©® § ¢¨±¨¬», ²®£¤ ±³¹¥±²¢³¾² ² ª¨¥ ·¨±« a0; a1; : : : ; an , ¥ ¢±¥ ° ¢»¥ ³«¾, ·²® a0 id + a1f + : : : + an f n = 0, ® ²®£¤ ¯®«³· ¥¬,·²® ¬®£®·«¥ p(t) = a0 + a1 t + : : : + an tn ³«¨°³¥² ®¯¥° ²®° f .22222¨¨¬ «¼»© ¬®£®·«¥¯°¥¤¥«¥¨¥ 2.6.2 ®£®·«¥ p(t) §»¢ ¥²±¿ ¬¨¨¬ «¼»¬ ¬®£®·«¥®¬ ¤«¿ ®¯¥° ²®° f , ¥±«¨ ® ³«¨°³¥² ½²®² ®¯¥° ²®°, ¨¬¥¥² ¨¬¥¼¸³¾ ±²¥¯¥¼ ±°¥¤¨ ¢±¥µ ³«¨°³¾¹¨µ¬®£®·«¥®¢ ¨ ¥£® ±² °¸¨© ª®½´´¨¶¨¥² ° ¢¥ 1.¥¬¬ ¬®£®·«¥.2.6.3 «¿ «¾¡®£® ®¯¥° ²®° f ±³¹¥±²¢³¥², ¨ ¯°¨²®¬ ¥¤¨±²¢¥»©, ¬¨¨¬ «¼»©®ª § ²¥«¼±²¢®.
1) ³¹¥±²¢®¢ ¨¥. » ³¦¥ ¯®ª § «¨, ·²® ¤«¿ «¾¡®£® ®¯¥° ²®° ±³¹¥±²¢³¥² ³«¨°³¾¹¨© ¬®£®·«¥. ®½²®¬³ ¬» ¬®¦¥¬ ¢»¡° ²¼ ¨§ ¢±¥µ ³«¨°³¾¹¨µ ¬®£®·«¥®¢ ¬®£®·«¥» ± ¨¬¥¼¸¥© ±²¥¯¥¼¾ ¨ ¯®¤¥«¨²¼ ¨µ ±² °¸¨© ª®½´´¨¶¨¥². ®, ·²®¯®«³·¨²±¿, ¯® ®¯°¥¤¥«¥¨¾ ¡³¤¥² ¬¨¨¬ «¼»¬ ¬®£®·«¥®¬.2) ¤¨±²¢¥®±²¼. ®¯³±²¨¬, ·²® p1 (t) ¨ p2(t) | ¤¢ ¬¨¨¬ «¼»µ ¬®£®·«¥ ¤«¿ ®¤®£®¨²®£® ¦¥ ®¯¥° ²®° f , ²®£¤ deg p1 = deg p2 ¨ ¨µ ±² °¸¨¥ ª®½´´¨¶¨¥²» ° ¢» 1, ¯®½²®¬³¬®£®·«¥ p1(t) p2 (t) ¡³¤¥² ³«¨°³¾¹¨¬ ¬®£®·«¥®¬ ¬¥¼¸¥© ±²¥¯¥¨, ·²® ¯°®²¨¢®°¥·¨²¯°¥¤¯®«®¦¥¨¾.2.6.4 ¨±«® ¡³¤¥² ±®¡±²¢¥»¬ § ·¥¨¥¬ ®¯¥° ²®° f | ª®°¥¼ ¬¨¨¬ «¼®£® ¬®£®·«¥ ¤«¿ f .¥¬¬ ª®£¤ 21²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ ,®ª § ²¥«¼±²¢®.
³±²¼ | ±®¡±²¢¥®¥ § ·¥¨¥ ®¯¥° ²®° f , ²®£¤ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®©¥³«¥¢®© ¢¥ª²®° x, ·²® fx = x. ³±²¼ p(t) | ¬¨¨¬ «¼»© ¬®£®·«¥, ².¥. p(f ) 0, ²®£¤ p(f )x = 0, ±«¥¤®¢ ²¥«¼®p()x = a0x + a1x + : : : + an nx = a0x + a1fx + : : : + anf n x = p(f )x = 0;¯®½²®¬³ p() = 0 (² ª ª ª x 6= 0).¡° ²®, ¯³±²¼ | ª®°¥¼ ¬¨¨¬ «¼®£® ¬®£®·«¥ , ²®£¤ p(t) = (t )q (t), deg q < deg p,¯®½²®¬³ q (t) ¥ ³«¨°³¥² f , ±«¥¤®¢ ²¥«¼®, ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®© ¥³«¥¢®© ¢¥ª²®° x, ·²® q (f )x =y 6= 0.
®£¤ (f id)y = (f id)q (f )x = p(f )x = 0;±«¥¤®¢ ²¥«¼®, y | ½²® ±®¡±²¢¥»© ¢¥ª²®° ®¯¥° ²®° f , | ¥£® ±®¡±²¢¥®¥ § ·¥¨¥.2.7 ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª¨© ¬®£®·«¥¯°¥¤¥«¥¨¥£®·«¥®¬2.7.1®¯¥° ²®° f .®£®·«¥ Pf (t) = det(f id) §»¢ ¥²±¿ µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª¨¬ ¬®-²¬¥²¨¬ °®«¼ ¥ª®²®°»µ ª®½´´¨¶¨¥²®¢ µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª®£® ¬®£®·«¥ . ±«¨ ¥£® § ¯¨± ²¼ ¢ ¢¨¤¥ Pf (t) = a0 + a1 t + : : : + an tn , ²® ²®£¤ an = ( 1)n , an 1 = ( 1)n 1 tr f , a0 = det f .2.7.2 ¿¢«¿¥²±¿ ±®¡±²¢¥»¬ § ·¥¨¥¬ ®¯¥° ²®° f ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª® | ª®°¥¼ µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª®£® ¬®£®·«¥ Pf (t).®ª § ²¥«¼±²¢®. ±«¨ | ±®¡±²¢¥®¥ § ·¥¨¥, ²® ®¯¥° ²®° g = f id ¢»°®¦¤¥»©,±«¥¤®¢ ²¥«¼® det(f id) = 0, ².¥. | ª®°¥¼ Pf (t). ¡° ²®, ¥±«¨ | ª®°¥¼ Pf (t), ²®det(f id) = 0, ±«¥¤®¢ ²¥«¼® ®¯¥° ²®° f id ¢»°®¦¤¥»©, § ·¨², ¿¢«¿¥²±¿ ±®¡±²¢¥»¬§ ·¥¨¥¬ ®¯¥° ²®° f .¥¬¬ £¤ ±«¨ V W | ¨¢ °¨ ²®¥²®£¤ , ª ª ¬» § ¥¬, ¬ ²°¨¶ ®¯¥° ²®° A¯®¤¯°®±²° ±²¢®,f : W ! W ¨¬¥¥² ¢¨¤: Af = 0f A?f 0 , £¤¥ f1 | ®£° ¨·¥¨¥ f V , f 0 | ´ ª²®°®¯¥° ²®°.
®£¤ , ².ª. det f = det f1 det f 0, ²® Pf (t) = Pf (t)Pf 0 (t).11V ()¥¬¬ 2.7.3 ³±²¼| ¨¢ °¨ ²®¥ ¯®¤¯°®±²° ±²¢®, ®¡° §®¢ ®¥ ±®¡±²¢¥»¬¨¢¥ª²®° ¬¨, ®²¢¥· ¾¹¨¬¨ ±®¡±²¢¥®¬³ § ·¥¨¾ . ®£¤ ª° ²®±²¼ ª®°¿ µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª®£® ¬®£®·«¥ ¥ ¬¥¼¸¥ ° §¬¥°®±²¨ ¯®¤¯°®±²° ±²¢ .V ()®ª § ²¥«¼±²¢®. ±«¨ f1 | ®£° ¨·¥¨¥ ®¯¥° ²®° f V (), ²® ¤«¿ «¾¡®£® x 2 V ()010¡³¤¥¬ ¨¬¥²¼, ·²® f1 x = x, ¯®½²®¬³ ¬ ²°¨¶ ½²®£® ®¯¥° ²®° ¨¬¥¥² ¢¨¤ Af = @ .
. . A,0100CC. «¥¤®¢ ²¥«¼® P (t) = P (t)P 0 (t) =B ...? ¬ ²°¨¶ ®¯¥° ²®° f | ¢¨¤: Af = BfffA@00Af 0dimV()0( t) Pf (t), ¯®½²®¬³ ª° ²®±²¼ ª®°¿ ¥ ¬¥¼¸¥ ° §¬¥°®±²¨ ¯®¤¯°®±²° ±²¢ V ()(® ¬®¦¥² ¡»²¼ ¨ ¡®«¼¸¥, ¥±«¨ ¿¢«¿¥²±¿ ª®°¥¬ ¬®£®·«¥ Pf 0 (t)).11¥®°¥¬ W !W2.7.4 ( ¬¨«¼²® -½«¨) ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª¨© ¬®£®·«¥ ³«¨°³¥² ½²®² ®¯¥° ²®°, ².¥. f.P (f ) = 022Pf (t) ®¯¥° ²®° f :®ª § ²¥«¼±²¢®. » ®£° ¨·¨¬±¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢®¬ ²¥®°¥¬» ²®«¼ª® ±«³· ¥¬ «£¥¡° ¨·¥±ª¨ § ¬ª³²»µ ¯®«¥©.°®¢¥¤¥¬ ¨¤³ª¶¨¾ ¯® ° §¬¥°®±²¨ ¯°®±²° ±²¢ .1) § ¨¤³ª¶¨¨. ³±²¼ dim W = 1.
½²®¬ ±«³· ¥ ¬ ²°¨¶ ®¯¥° ²®° f ¨¬¥¥² ¢¨¤ Af =() ¨ ®¯¥° ²®° ¨¬¥¥² ¢¨¤ fx = x. ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª¨© ¬®£®·«¥ ¨¬¥¥² ¢¨¤ Pf (t) = t,±«¥¤®¢ ²¥«¼®, Pf (f )x = x fx = 0 ¤«¿ «¾¡®£® x 2 W . § ¨¤³ª¶¨¨ ¢¥° .2) ¤³ª²¨¢»© ¯¥°¥µ®¤. ³±²¼ ³²¢¥°¦¤¥¨¥ ²¥®°¥¬» ¢¥°® ¤«¿ dim W < n, ¤®ª ¦¥¬ ¥£®¤«¿ dim W = n. .ª.