В.М. Мануйлов - Курс лекций по линейной алгебре и геометрии, страница 5
Описание файла
PDF-файл из архива "В.М. Мануйлов - Курс лекций по линейной алгебре и геометрии", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 5 страницы из PDF
³±²¼Af | ¬ ²°¨¶ ®¯¥° ²®° ¢ ½²®¬ ¡ §¨±¥, ²®£¤ ® ¨¬¥¥² ±«¥¤³¾¹¨© ¢¨¤: Af = ? ? , ².¥. ¥¥0 ?¬®¦® ° §¡¨²¼ ¯® ¸¨°¨¥ ¨ ¢»±®²¥ ¤¢¥ · ±²¨, ®²¢¥· ¾¹¨¥ ¢¥ª²®° ¬ e1 ; : : : ; er ¨ er+1 ; : : : ; en ,¯°¨·¥¬ ¢ ¨¦¥¬ «¥¢®¬ ³£«³ ¡³¤³² ±²®¿²¼ ®¤¨ ³«¨. ¥©±²¢¨²¥«¼®, ².ª. V ¨¢ °¨ ²®, ²®f (ei ) 2 V ¯°¨ 1 6 i 6 r, ±«¥¤®¢ ²¥«¼®, f (ei ) = 1i e1 + : : : + ri er . ®½´´¨¶¨¥²» ¢ ½²®¬ ° §«®¦¥¨¨ ¯® ¡ §¨±³ | ½²® i-© ±²®«¡¥¶ ¬ ²°¨¶» Af , §¤¥±¼ r + 1; : : : ; n-»µ ¬¥±² µ ±²®¿² ³«¨. ±«¨ W = V1 V2 , £¤¥ V1; V2 | ¨¢ °¨ ²»¥ ¯®¤¯°®±²° ±²¢ , ²® ¨ ¯° ¢»© ¢¥°µ¨©! ³£®«? 0¬ ²°¨¶» Af ¡³¤¥² ³«¥¢®©, ¨ ½² ¬ ²°¨¶ ¡³¤¥² ¨¬¥²¼ ±«¥¤³¾¹¨© ¢¨¤: Af =.
®ª 0 ?§ ²¥«¼±²¢® ½²®£® «®£¨·® ¯°¥¤»¤³¹¥¬³.£° ¨·¥¨¥ ®¯¥° ²®° ¨ ´ ª²®°-®¯¥° ²®°¯°¥¤¥«¥¨¥ 2.2.2 ³±²¼ V | ¨¢ °¨ ²®¥ ®²®±¨²¥«¼® f ¯®¤¯°®±²° ±²¢®, ²®£¤ ®¯¥° ²®° f1 : V ! V , ®¯°¥¤¥«¥»© ° ¢¥±²¢®¬ f1 (v ) = f (v ), v 2 V , §»¢ ¥²±¿ ®£° ¨·¥¨¥¬®¯¥° ²®° f ¯®¤¯°®±²° ±²¢® V ¨ · ±²® ®¡®§ · ¥²±¿ f jV . ²°¨¶¥© ®¯¥° ²®° f jV ¡³¤¥² «¥¢»© ¢¥°µ¨© ³£®« ¬ ²°¨¶» ®¯¥° ²®° f , ².¥. Af =Af ? .0 ? ±«¨ V ¨¢ °¨ ²®, ²® ¬®¦® ° ±±¬®²°¥²¼ ®¯¥° ²®° f 0 : W=V ! W=V (´ ª²®°-®¯¥° ²®°),®¯°¥¤¥«¥»© ° ¢¥±²¢®¬ f 0 (a + V ) = f (a) + V . «¿ ¯°®¢¥°ª¨ ª®°°¥ª²®±²¨ ² ª®£® ®¯°¥¤¥«¥¨¿¯°¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® a1 + V = a2 + V , ²®£¤ f 0(a1 + V ) = f (a1) + V = f (a2 + (|a1 {z a2})) + V =12V= f (a2) + f| (a1{z a2}) +V = f (a2 ) + V == f 0 (a2 + V ):2V16 ±«¨ e1 : : : ; er | ¡ §¨± ¢ V , er+1 ; : : : ; en | ¥£® ¤®¯®«¥¨¥ ¤® ¡ §¨± ¢ W , ²® er+1 + V; : : : ; en + V¡³¤¥² ¡ §¨±®¬ ¢ ´ ª²®°-¯°®±²° ±²¢¥ W=V .
²°¨¶¥©¢ ½²®¬ ¡ §¨±¥ ¡³¤¥² ¯° ¢»© A ®¯¥° ²®° ¨¦¨© ³£®« ¬ ²°¨¶» ®¯¥° ²®° Af , ².¥. Af = 0f A? 0 .12.3f¥¢»°®¦¤¥»¥ ®¯¥° ²®°». ®¡±²¢¥»¥ § ·¥¨¿ ¨ ±®¡±²¢¥»¥ ¢¥ª²®°»¯°¥¤¥«¥¨¥ 2.3.1 ¨¥©»© ®¯¥° ²®° f : V ! V §»¢ ¥²±¿ ¥¢»°®¦¤¥»¬, ¥±«¨ ¢»¯®«¥® ®¤® ¨§ ±«¥¤³¾¹¨µ ³±«®¢¨©:1) det f 6= 0;2) Ker f = f0g;3) Im f = V ;4) rk f = dim V ;5) 9g : V ! V , ² ª®© ·²® g f = f g = id, ².¥. ±³¹¥±²¢³¥² ®¡° ²»© ®¯¥° ²®°.¥¬¬ 2.3.2 ±¥ ½²¨ ¯¿²¼ ±¢®©±²¢ ½ª¢¨¢ «¥²».2) () 3), ².ª.
dim V = dim Ker f + dim Im f .1) () 2): ³±²¼ ±³¹¥±²¢³¥² ¥³«¥¢®© ¢¥ª²®° x 2 Ker f . »¡¥°¥¬ ² ª®© ¡ §¨± ¢ V , ·²®¡»x ¡»« ¯¥°¢»¬ ¢¥ª²®°®¬ ¡ §¨± , ²®£¤ ¢ ¬ ²°¨¶¥ ®¯¥° ²®° Af ¯¥°¢»© ±²®«¡¥¶ ¡³¤¥² ³«¥¢»¬,²®£¤ det f = 0. ¡° ²®, ¥±«¨ det f = 0, ²® ³ ±¨±²¥¬» ³° ¢¥¨© Af X = 0 ±³¹¥±²¢³¥² ¥³«¥¢®¥°¥¸¥¨¥, ².¥. ¯®¤ ¤¥©±²¢¨¥¬ ®¯¥° ²®° f ¥ª®²®°»© ¥³«¥¢®© ¢¥ª²®° ¯¥°¥µ®¤¨² ¢ 0. ® ²®£¤ Ker f 6= f0g.1) () 4) | ½²® ¬» § ¥¬ ¨§ ª³°± ¢»±¸¥© «£¥¡°».1) () 5). ±«¨ det f 6= 0 ¨ Af | ¬ ²°¨¶ ®¯¥° ²®° f , ²® det Af 6= 0, ±«¥¤®¢ ²¥«¼® ±³¹¥±²¢³¥² ®¡° ² ¿ ¬ ²°¨¶ Af 1 , ¥© ±®®²¢¥²±²¢³¥² ¥ª®²®°»© ®¯¥° ²®° g . .ª. Af Af 1 = Af 1 Af =E , ²® f g = g f = id.
¡° ²®, ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ®¡° ²»© ®¯¥° ²®°, ²® ¥£® ¬ ²°¨¶ ¡³¤¥²®¡° ²®© ª ¬ ²°¨¶¥ ®¯¥° ²®° f , ±«¥¤®¢ ²¥«¼® det f = det Af 6= 0. ¬¥· ¨¥. ¡° ²»© ®¯¥° ²®° (¥±«¨ ® ±³¹¥±²¢³¥²) ¥¤¨±²¢¥¥.¯¥° ²®°, ¤«¿ ª®²®°®£® ¨ ®¤® ¨§ ½²¨µ ±¢®©±²¢ ¥ ¢»¯®«¿¥²±¿ §»¢ ¥²±¿ ¢»°®¦¤¥»¬.®ª § ²¥«¼±²¢®.®¡±²¢¥»¥ § ·¥¨¿ ¨ ±®¡±²¢¥»¥ ¢¥ª²®°»¯°¥¤¥«¥¨¥ 2.3.3 ¨±«® 2 K §»¢ ¥²±¿ ±®¡±²¢¥»¬ § ·¥¨¥¬ ®¯¥° ²®° f , ¥±«¨®¯¥° ²®° f id ¢»°®¦¤¥»©. ®£¤ ³ ½²®£® ®¯¥° ²®° | ¥³«¥¢®¥ ¿¤°®. ¾¡®© ¥³«¥¢®© ¢¥ª²®°, ¯°¨ ¤«¥¦ ¹¨© ¿¤°³ ®¯¥° ²®° f id, §»¢ ¥²±¿ ±®¡±²¢¥»¬ ¢¥ª²®°®¬,®²¢¥· ¾¹¨¬ ±®¡±²¢¥®¬³ § ·¥¨¾ . ±±¬®²°¨¬ ¯°®±²° ±²¢® V () = Ker(f id) | ¯®¤¯°®±²° ±²¢® ±®¡±²¢¥»µ ¢¥ª²®°®¢,®²¢¥· ¾¹¨µ ®¤®¬³ ¨ ²®¬³ ¦¥ ±®¡±²¢¥®¬³ § ·¥¨¾ .¥¬¬ 2.3.4 °®±²° ±²¢® V () ¨¢ °¨ ²® ®²®±¨²¥«¼® ®¯¥° ²®° f .®ª § ²¥«¼±²¢®. ±«¨ x 2 V (), ².¥.
(f id)(x) = 0, ²®£¤ f (x) = x 2 V ().¥¬¬ 2.3.5 ³±²¼ K | «£¥¡° ¨·¥±ª¨ § ¬ª³²®¥ ¯®«¥ (².¥. «¾¡®© ¬®£®·«¥ f 2 Kn [x],deg f > 0, ¨¬¥¥² ª®°¥¼), ¯°¨¬¥°, ¯®«¥ ª®¬¯«¥ª±»µ ·¨±¥«. ®£¤ ³ «¾¡®£® ®¯¥° ²®° f : W ! W , £¤¥ dim W > 1, ±³¹¥±²¢³¥² ¥²°¨¢¨ «¼®¥ ¨¢ °¨ ²®¥ ¯®¤¯°®±²° ±²¢® (®²«¨·®¥ ®² ³«¿ ¨ ®² ¢±¥£® ¯°®±²° ±²¢ ).®ª § ²¥«¼±²¢®. ±±¬®²°¨¬ ³° ¢¥¨¥ det(f id) = 0. ±¨«³ «£¥¡° ¨·¥±ª®© § ¬ª³²®±²¨ ¯®«¿, ½²® ³° ¢¥¨¥ ¨¬¥¥² ª®°¥¼ 0, ²®£¤ 0 ¡³¤¥² ±®¡±²¢¥»¬ § ·¥¨¥¬ f ¨ ²®£¤ dim V (0) > 0 ¨ V (0) ¨¢ °¨ ²®. ±«¨ V (0) 6= W , ²® ®® ¥²°¨¢¨ «¼®.
±«¨ ¦¥ ±«³· ©® ¯®«³·¨«®±¼, ·²® V (0) = W , ²® f ¨¬¥¥² ¢¨¤ f = 0 id, ².¥. ¿¢«¿¥²±¿ ¯°®±²® ®¯¥° ²®°®¬ ³¬®¦¥¨¿ ·¨±«®, ¨ ²®£¤ «¾¡®¥ ¯®¤¯°®±²° ±²¢® ¡³¤¥² ¨¢ °¨ ²»¬.172.4°®¥ª²®°» ±«¨ W = V1 V2, ²® ¤«¿ «¾¡®£® ¢¥ª²®° w ¨¬¥¥² ¬¥±²® ¥¤¨±²¢¥®¥ ° §«®¦¥¨¥ ¢¨¤ w =v1 + v2 , £¤¥ v1 2 V1, v2 2 V2. ±±¬®²°¨¬ «¨¥©»© ®¯¥° ²®° f : W ! W , ®¯°¥¤¥«¥»© ´®°¬³«®©f (w) = v1.
.ª. v1 = v1 + 0, ²® f (V1) V1 , ².¥. V1 ¨¢ °¨ ²® ®²®±¨²¥«¼® f , ¡®«¥¥ ²®£® ¯®¤¯°®±²° ±²¢¥ ¨¬¥¥¬ f jV = idV . .ª. ¢±¥ ¢¥ª²®° ¨§ V2 ¯¥°¥µ®¤¿² ¢ 0, ²® V2 2 Ker f . ± ¬®¬¤¥«¥ V2 = Ker f , ².ª. ¥±«¨ f (w) = 0, ²® ¢ ° §«®¦¥¨¨ w = v1 + v2 ¨¬¥¥¬ v2 = 0, ².¥. w 2 V2.11¯°¥¤¥«¥¨¥ 2.4.1 ¯¥° ²®°» ³ª § ®£® ¢¨¤ §»¢ ¾²±¿ ®¯¥° ²®° ¬¨ ¯°®¥ª²¨°®¢ ¨¿¨«¨ ¯°®±²® ¯°®¥ª²®° ¬¨ ¢¤®«¼ V2 V1.°®¥ª²®°» ®¡« ¤ ¾² § ¬¥· ²¥«¼»¬ ±¢®©±²¢®¬: ¥±«¨ f | ¯°®¥ª²®°, ²® f 2 = f . ®ª ¦¥¬®¡° ²®¥ ³²¢¥°¦¤¥¨¥.f 2 = f , ²® ®¯¥° ²®° f : W ! W ¿¢«¿¥²±¿ ®¯¥° ²®°®¬ ¯°®¥ª²¨°®¢ ¨¿ ¤«¿ ¥ª®²®°»µ V1 ¨ V2 .®ª § ²¥«¼±²¢®.
®§¼¬¥¬ V1 = Im f ¨ V2 = Ker f ¨ ¤®ª ¦¥¬, ·²® f | ¯°®¥ª²®° ¢¤®«¼ V2 V1. · « ¤®ª ¦¥¬, ·²® W = V1 V2, ².¥., ·²® W = V1 + V2 ¨ V1 \ V2 = f0g. ®¯³±²¨¬, ·²®±³¹¥±²¢³¥² ¥³«¥¢®© ¢¥ª²®° a 2 V1 \ V2 , ²®£¤ a 2 Ker f , ².¥. f (a) = 0 ¨ a 2 Im f , ².¥. ±³¹¥±²¢³¥²² ª®© ¢¥ª²®° b 2 W , ·²® f (b) = a.
®£¤ a = f (b) = f 2(b) = f (a) = 0;±«¥¤®¢ ²¥«¼®, a = 0. » ¯®«³·¨«¨, ·²® V1 ¨ V2 ¤¥©±²¢¨²¥«¼® ®¡° §³¾² ¯°¿¬³¾ ±³¬¬³ ¨V1 V2 W . ®, ².ª.dim(V1 V2) = dim V1 + dim V2 = dim Ker f + dim Im f = dim W;²® V1 V2 = W .®§¼¬¥¬ ²¥¯¥°¼ ¯°®¨§¢®«¼»© ¢¥ª²®° w 2 W , ²®£¤ w = v1 + v2 , £¤¥ v1 2 V1, v2 2 V2,±«¥¤®¢ ²¥«¼®, f (w) = f (v1 + v2 ) = f (v1 ) + f (v2) = f (v1) + 0 = f (v1 ), ².ª. v2 2 Ker f . ¬®±² «®±¼ ¤®ª § ²¼, ·²®, ¥±«¨ v1 2 Im f , ²® f (v1 ) = v1 .
³±²¼ b 2 W | ¯°®®¡° § v1, ².¥. f (b) = v1 ,²®£¤ v1 = f (b) = f 2(b) = f (v1 ), ±«¥¤®¢ ²¥«¼® ®¯¥° ²®° f ¤¥©±²¢¨²¥«¼® ¿¢«¿¥²±¿ ®¯¥° ²®°®¬¯°®¥ª²¨°®¢ ¨¿ ¢¤®«¼ V2 V1.¥®°¥¬ 2.4.2 ±«¨ ²°¨¶ ®¯¥° ²®° ¯°®¥ª²¨°®¢ ¨¿¢ ¡ §¨±¥, ±®±² ¢«¥®¬¨§ ¡ §¨±®¢ ¯®¤¯°®±²° ±²¢ V1 ¨011BCC...B0BCC1V2 ¨¬¥¥² ±«¥¤³¾¹¨© ¢¨¤: BBCC, £¤¥ ª®«¨·¥±²¢® ¥¤¨¨¶ ° ¢® ° §¬¥°®±²¨0BB...
C@ 0A0¯®¤¯°®±²° ±²¢ V1.2.5¨«¼¯®²¥²»¥ ®¯¥° ²®°»¯°¥¤¥«¥¨¥ 2.5.1 ¯¥° ²®° f §»¢ ¥²±¿ ¨«¼¯®²¥²»¬, ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥ ²³° «¼®¥ ·¨±«® k, ·²® f k = 0. ±±¬®²°¨¬ ¯°¨¬¥° ¨«¼¯®²¥²®£®³±²¼ ¬ ²°¨¶ ®¯¥° ²®° ¢ ¥ª®²®°®¬ ¡ §¨±¥0 0 1 ®¯¥° ²®° .10B 0 . . . CCe1; : : : ; en ¨¬¥¥² ¢¨¤ Af = BB...
1 C@A, ².¥. ¡ §¨±»¥ ¢¥ª²®° ® ±¤¢¨£ ¥² ¯® ¶¨ª«³: en 7!0018en 1 7! : : : 7! e1 7! 0. °¨ ¢®§¢¥¤¥¨¨ ½²®© ¬ ²°¨¶» ¢ ±²¥¯¥¨, ¤¨ £® «¼ ± ¥¤¨¨¶ ¬¨ ¡³¤¥² ¢±¥¤ «¼¸¥ ¨ ¤ «¼¸¥ ±¬¥¹ ²¼±¿ ¢ ¯° ¢»© ¢¥°µ¨© ³£®« ¨ ·¥°¥§ ¥ª®²®°®¥ ¢°¥¬¿ ¢®®¡¹¥ ¨±·¥§¥²,².¥. ¡³¤³·¨ ¢®§¢¥¤¥»¬ ¢ ±²¥¯¥¼ n, ¬ ²°¨¶ ±² ¥² ³«¥¢®©, § ·¨² ¨ ± ¬ ®¯¥° ²®° ±² ¥²³«¥¢»¬ ¢ ½²®© ±²¥¯¥¨, ².¥. ¡³¤¥² ¨«¼¯®²¥²»¬.f :W !W0 AnAnB¬ ²°¨¶ ®¯¥° ²®° ¡³¤¥² ¨¬¥²¼ ¡«®·®-¤¨ £® «¼»© ¢¨¤ Af = B@¥®°¥¬ 2.5.2 ±«¨ ®¯¥° ²®°1CC, £¤¥A¨«¼¯®²¥²»©, ²® ©¤¥²±¿ ¡ §¨±, ¢ ª®²®°®¬0100BBª ¦¤»© ¡«®ª (ª«¥²ª ) Ani ° §¬¥°®±²¨ ni ¨¬¥¥² ¢¨¤ B@102...Ank1CCC.
ª®© ¢¨¤ ¬ ²°¨¶»1A00......0®¯¥° ²®° ¥¤¨±²¢¥¥ ± ²®·®±²¼¾ ¤® ¯¥°¥±² ®¢ª¨ ¡«®ª®¢.0 ª ¿ ´®°¬ ¬ ²°¨¶» ®¯¥° ²®° §»¢ ¥²±¿ ®°¬ «¼®©.®ª § ²¥«¼±²¢®.1) ¤¨±²¢¥®±²¼. ³±²¼ f | ¨«¼¯®²¥²»© ®¯¥° ²®°, ° ±±¬®²°¨¬ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¼ ®¯¥° ²®°®¢ f 0 = id; f 1 = f; f 2; : : : ; f n = 0. ¡®§ ·¨¬ ri = rk f i , ¢ · ±²®±²¨ r0 = dim W , rn = 0,¨ ¬» ¨¬¥¥¬ ¶¥¯®·ª³ ¥° ¢¥±²¢ r0 > r1 > : : : > rn . ¡®§ ·¨¬ ·¥°¥§ Nk ª®«¨·¥±²¢® ª«¥²®ª° §¬¥° kk.
¢¿¦¥¬ ¬¥¦¤³ ±®¡®© ·¨±« ri ¨ Nk . «¿ ½²®£® ° ±±¬®²°¨¬ ° §®±²¼ r0 r1.«¿ ª ¦¤®© ®²¤¥«¼® ¢§¿²®© ª«¥²ª¨ ² ª ¿ ° §®±²¼ ° ¢ 1, ².ª. ° £ ª«¥²ª¨ ° §¬¥° kk ° ¢¥ k 1, ².¥. ¥¤¨¨¶³ ¬¥¼¸¥, ·¥¬ ° §¬¥°®±²¼. ®½²®¬³ ª ¦¤ ¿ ª«¥²ª ¢®±¨² ¢ ° §®±²¼r0 r1 ¢ª« ¤, ° ¢»© ¥¤¨¨¶¥, ².¥. ½² ° §®±²¼ ° ¢ ®¡¹¥¬³ ª®«¨·¥±²¢³ ª«¥²®ª, ±«¥¤®¢ ²¥«¼®r0 r1 = N1 + N2 + N3 + : : : . ±±¬®²°¨¬ ° §®±²¼ r1 r2.
«¿ ª«¥²®ª ° §¬¥° 11 ² ª ¿ ° §®±²¼ ° ¢ ³«¾, ¤«¿ª«¥²®ª ° §¬¥° nn ¯°¨ n > 2 ° £ ª«¥²ª¨ ° ¢¥ n 1, ° £ ¥¥ ª¢ ¤° ² ° ¢¥ n 2, ¨¨µ ° §®±²¼ ° ¢ ¥¤¨¨¶¥. ®½²®¬³ ° §®±²¼ r1 r2 ° ¢ ª®«¨·¥±²¢³ ª«¥²®ª ° §¬¥° nn¯°¨ n > 2, ².¥. r1 r2 = N2 + N3 + : : : . «®£¨·® ¯®«³· ¥¬, ·²® r2 r3 = N3 + N4 + : : : ¨².¤., ri 1 ri = Ni + Ni+1 + : : : .
»·¨² ¿ ¨§ ¯°¥¤»¤³¹¥£® ° ¢¥±²¢ ¯®±«¥¤³¾¹¥¥, ¯®«³· ¥¬Ni = (ri 1 ri) (ri rr+1) = ri 1 2ri + rr+1. .ª. ° £¨ ®² ¢»¡®° ¡ §¨± ¥ § ¢¨±¿², ²® ¨·¨±« Ni ®² ¡ §¨± ¥ § ¢¨±¿², ±«¥¤®¢ ²¥«¼® ª®«¨·¥±²¢® ª«¥²®ª ª ¦¤®£® ° §¬¥° ¡³¤¥² ®¤® ¨²® ¦¥, ¯®½²®¬³ ®°¬ «¼ ¿ ´®°¬ ®¯¥° ²®° ¥¤¨±²¢¥ ± ²®·®±²¼ ¤® ¯¥°¥±² ®¢ª¨ ª«¥²®ª,¨§ ª®²®°»µ ® ±®±²®¨².2) ³¹¥±²¢®¢ ¨¥. °®¢¥¤¥¬ ¨¤³ª¶¨¾ ¯® ° §¬¥°®±²¨ ¯°®±²° ±²¢ W . ±«¨ dim W = 1, ²®£¤ , ².ª. f ¨«¼¯®²¥²¥, ²® f = 0 ¨ ¢ «¾¡®¬ ¡ §¨±¥ ¨¬¥¥² ³¦»©(³«¥¢®©) ¢¨¤. ¯°¥¤¯®«®¦¥¨¨, ·²® ³²¢¥°¦¤¥¨¥ ²¥®°¥¬» ¢¥°® ¤«¿ dim W < n, ¤®ª ¦¥¬ ¥£® ¤«¿ dim W =n. ±±¬®²°¨¬ ®¡° § ®¯¥° ²®° V = Im f | ¨¢ °¨ ²®¥ ¯®¤¯°®±²° ±²¢®, ¨ ¿¤°® U = Ker f . ±±¬®²°¨¬ ®£° ¨·¥¨¥ f V | ®¯¥° ²®° f1 : V ! V .