В.М. Мануйлов - Курс лекций по линейной алгебре и геометрии, страница 4
Описание файла
PDF-файл из архива "В.М. Мануйлов - Курс лекций по линейной алгебре и геометрии", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 4 страницы из PDF
f (x) = 0. ® ¥¤¨±²¢¥»© ¢¥ª²®° ¢ V , ª®²®°®¬ «¾¡®© ´³ª¶¨® « ° ¢¥ ³«¾, ¥±²¼ ³«¥¢®© ¢¥ª²®°, x = 0. ¥©±²¢¨²¥«¼®, ¥±«¨ ½²®¥¢¥°®, ¢»¡¥°¥¬ ¡ §¨± e1 = x; e2; : : : ; en ¢ V , ²®£¤ ¤«¿ ´³ª¶¨® « "1 ¨¬¥¥¬ "1 (x) = 1 6= 0. ª ª ª 'x = 0 () x = 0, ²® ¤«¿ ¯°®¨§¢®«¼®£® ¡ §¨± e1 ; : : : ; en ¢ V ¢¥ª²®°» 'e ; : : : ; 'en«¨¥©® ¥§ ¢¨±¨¬». ®, ¯®±ª®«¼ª³ dim V 00 = n, ½²¨ ¢¥ª²®°» ±®±² ¢«¿¾² ¡ §¨± ¯°®±²° ±²¢ V 00, ±«¥¤®¢ ²¥«¼® ' | ¨§®¬®°´¨§¬.°¨ ¯®±²°®¥¨¨ ½²®£® ¨§®¬®°´¨§¬ , ¬» ¨ ° §³ ¥ ¨±¯®«¼§®¢ «¨ ¡ §¨± (¡ §¨± ¬» ¨±¯®«¼§®¢ «¨ ²®«¼ª® ¯°¨ ¤®ª § ²¥«¼±²¢¥), ¯®½²®¬³ ½²®² ¨§®¬®°´¨§¬ ¥ § ¢¨±¨² ®² ¢»¡®° ¡ §¨± ¢¯°®±²° ±²¢¥ V , ¥£® ª®±²°³ª¶¨¿ ³¨¢¥°± «¼ ¨ £®¤¨²±¿ ¤«¿ «¾¡®£® ¯°®±²° ±²¢ V ! ª¨¥¨§®¬®°´¨§¬» §»¢ ¾²±¿ ª ®¨·¥±ª¨¬¨..ª.
V ¨ V 00 ¨§®¬®°´» ª ®¨·¥±ª¨, ²® ¬» ¬®¦¥¬ ½²¨ ¤¢ ¯°®±²° ±²¢ ¯°®±²® ®²®¦¤¥±²¢¨²¼, ¨ ±¬®²°¥²¼ ¯°®±²° ±²¢ V ¨ V 0 ª ª ¤¢®©±²¢¥»¥ ¤°³£ ª ¤°³£³ (V 0 | ¤¢®©±²¢¥®¥ ª V , V = V 00 | ¤¢®©±²¢¥®¥ ª V 0 ).¥£ª® ¢¨¤¥²¼, ·²® ¡ §¨± 'e ; : : : ; 'en ¢ V 00 | ¤¢®©±²¢¥»© ª ¡ §¨±³ "1 ; : : : ; "n , ¥±«¨1" ; : : : ; "n | ¤¢®©±²¢¥»© ¡ §¨± ª e1; : : : ; en. °¨ ®²®¦¤¥±²¢«¥¨¨ ¯°®±²° ±²¢ V ¨ V 00, ¡ §¨±»'e ; : : : ; 'en ¨ e1; : : : ; en ®²®¦¤¥±²¢¿²±¿, ¨ ²®£¤ ¡ §¨±» e1 ; : : : ; en ¨ "1; : : : ; "n ¡³¤³² ¢§ ¨¬®¤¢®©±²¢¥»¬¨.111°¨¬¥°: ¤¢®©±²¢¥®¥ ¯°®±²° ±²¢® ¯°®±²° ±²¢ ¬®£®·«¥®¢ ±±¬®²°¨¬ ¯°®±²° ±²¢® Kn [x] ¬®£®·«¥®¢ ±²¥¯¥¨ ¥ ¢»¸¥ n ± ª®½´´¨¶¨¥² ¬¨ ¨§ ¯®«¿ K®² ¯¥°¥¬¥®© x 2 K.
´¨ª±¨°³¥¬ ¯°®¨§¢®«¼®¥ x = x0 , ¨ ª ¦¤®¬³ ¬®£®·«¥³ p(x) ¯®±² ¢¨¬¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ·¨±«® p(x) 7! p(x0) 2 K. ¦¤®¥ x0 § ¤ ¥² ±¢®¥ ®²®¡° ¦¥¨¥ evx : Kn [x] ! K..ª.evx (p(x) + q (x)) = p(x0) + q (x0 ) = evx (p(x)) + evx (q(x))¨ evx (p(x)) = evx (p)x, ²® ®²®¡° ¦¥¨¥ evx «¨¥©® ¤«¿ ª ¦¤®£® x0. ª¨¬ ®¡° §®¬, ª ¦¤®¥§ ·¥¨¥ x0 § ¤ ¥² ½«¥¬¥² evx ¤¢®©±²¢¥®£® ¯°®±²° ±²¢ Kn [x]0.00000000x ;x ;::: ;x¥¬¬ 1.11.1 ±«¨ 0 1n | ¯®¯ °® ° §«¨·»¥ § ·¥¨¿, ²®0.¤¥² ¡ §¨±®¬ ¢ ¤¢®©±²¢¥®¬ ¯°®±²° ±²¢¥ Kn[x]evx ; evx ; : : : ; evxn ¡³01®ª § ²¥«¼±²¢®.
±«¨ ¬ ³¤ ±²±¿ ¯®±²°®¨²¼ ¡ §¨± ¢ ¯°®±²° ±²¢¥ Kn [x], ª®²®°»© ¡³¤¥²¤¢®©±²¢¥»¬ ª evx ; evx ; : : : ; evxn , ²® ®²±¾¤ ¡³¤¥² ±«¥¤®¢ ²¼, ·²® evx ; evx ; : : : ; evxn ¡³¤¥²¤¢®©±²¢¥»¬ ª ¡ §¨±³ ¢ Kn [x], ².¥. ¡³¤¥² ¡ §¨±®¬ ¢ Kn [x]0. ®±²°®¨¬ ² ª®© ¡ §¨±:010131 ¬ ³¦® ©²¨ ² ª¨¥ ¬®£®·«¥» p0(x); p1(x); : : : ; pn (x), ·²® evxi (pj (x)) = ij , ².¥. § ·¥¨¥i-© ´³ª¶¨¨ evxi ¢±¥µ ¡ §¨±»µ ¬®£®·«¥ µ, ª°®¬¥ pi(x), ° ¢® 0, pi(x) ° ¢® 1.
²¨¬®£®·«¥» ¬®¦® ¯®±²°®¨²¼, ¨±¯®«¼§³¿, ¯°¨¬¥°, ¨²¥°¯®«¿¶¨®³¾ ´®°¬³«³ £° ¦ :x xi+1) : : : (x xn) :pi(x) = (x(x xx0))::::::((xx xxi 1)(i0ii 1 )(xi xi+1 ) : : : (xi xn )®ª ¦¥¬, ·²® ½²¨ ¬®£®·«¥» ®¡° §³¾² ¡ §¨±.1) «¨¥© ¿ ¥§ ¢¨±¨¬®±²¼: p(x) = i pi (x) = 0 ²®«¼ª®, ¥±«¨ ¢±¥ i = 0, ².ª. p(xi ) = i 8i.2) ¬ ª±¨¬ «¼®±²¼: ¢®§¼¬¥¬ ¯°®¨§¢®«¼»© ¬®£®·«¥ p(x), ²®£¤ p(x) = p(xi )pi(x), ².¥. ¿¢«¿¥²±¿ «¨¥©®© ª®¬¡¨ ¶¨¥© ¬®£®·«¥®¢ pi (x).(§¤¥±¼, ±®£« ±® ²¥§®°»¬ ®¡®§ ·¥¨¿¬, ¯®¤° §³¬¥¢ ¥²±¿ ±³¬¬¨°®¢ ¨¥ ¯® ¨¤¥ª±³ i). ª¨¬ ®¡° §®¬, ¬» ¤®ª § «¨, ·²® p0 (x); p1(x); : : : ; pn (x) | ¡ §¨± ¢ Kn [x], § ·¨² ¤¢®©±²¢¥»© ª ¥¬³ ¡ §¨± evx ; evx ; : : : ; evxn ¡³¤¥² ¡ §¨±®¬ ¢ Kn [x]0.021¨¥©»¥ ®¯¥° ²®°»2.1¨¥©»¥ ®²®¡° ¦¥¨¿¯°¥¤¥«¥¨¥ 2.1.1 ³±²¼ V; W | ¤¢ ¢¥ª²®°»µ ¯°®±²° ±²¢ ¤ ®¤¨¬ ¯®«¥¬ K .
²®¡° ¦¥¨¥ f : V ! W §»¢ ¥²±¿ «¨¥©»¬, ¥±«¨ 8x; y 2 V , 2 K ¢»¯®«¿¾²±¿ ° ¢¥±²¢ f (x + y ) = f (x) + f (y) ¨ f (x) = f (x).°¨¬¥°: ¬®¦¥±²¢® V 0 | ½²® ¬®¦¥±²¢® «¨¥©»µ ®²®¡° ¦¥¨© ¯°¨ W = K.³±²¼ e1 ; : : : ; en | ¡ §¨± ¢ V , e1 ; : : : ; em | ¡ §¨± ¢ W . ±«¨ x = xi ei 2 V , ²® f (x) =f (xiei) = xif (ei), ².¥., ¤«¿ ¢»·¨±«¥¨¿ § ·¥¨¿ ´³ª¶¨¨ ¢ «¾¡®© ²®·ª¥, ¤®±² ²®·® § ²¼ ¥¥§ ·¥¨¿ ¡ §¨±»µ ¢¥ª²®° µ, ².¥. f (ei ) = aki ek (aki | ª®½´´¨¶¨¥²» ° §«®¦¥¨¿ ¢¥ª²®° f (ei )¯® ¡ §¨±³ e), ²®£¤ f (x) = xi aki ek = y k ek | ° §«®¦¥¨¥ § ·¥¨¿ ¯® ¡ §¨±»¬ ¢¥ª²®° ¬ e1 ; : : : ; ek .®®°¤¨ ²» xi ¢¥ª²®° x ¢ ¡ §¨±¥ ¯°®±²° ±²¢ V ¨ ª®®°¤¨ ²» y k § ·¥¨¿ ®²®¡° ¦¥¨¿ f (x)¢ ¡ §¨±¥ ¯°®±²° ±²¢ W ±¢¿§ » ±«¥¤³¾¹¨¬ ±®®²®¸¥¨¥¬:0 y1 1 0 a11 : : : a1n 1 0 x1 1@ ...
A = @ ... . . . ... A @ ... A ;ymam1 : : : amnxn¨«¨, ¢ ¬ ²°¨·®© ´®°¬¥, Y = AX , £¤¥ Y ¨ X | ±²®«¡¶» ª®®°¤¨ ² ¢¥ª²®°®¢ f (x) ¨ x ±®®²¢¥²±²¢¥®, ¬ ²°¨¶ Af = A = (aki ) ¿¢«¿¥²±¿ ¬ ²°¨¶¥©, ®¯°¥¤¥«¿¥¬®© «¨¥©»¬ ®²®¡° ¦¥¨¥¬ f(¨ ®¯°¥¤¥«¿¾¹¥© ¥£®).» ¢¨¤¨¬, ·²® § ¤ ¨¥ ¡ §¨±®¢ ¢ V ¨ W ¯®§¢®«¿¥² ±®¯®±² ¢¨²¼ ª ¦¤®¬³ «¨¥©®¬³ ®²®¡° ¦¥¨¾ f ¥£® ¬ ²°¨¶³ Af , ¯°¨·¥¬ ½²® ±®¯®±² ¢«¥¨¥ ¢§ ¨¬® ®¤®§ ·®. ®½²®¬³ ±³¹¥±²¢³¥²¡¨¥ª²¨¢®¥ ®²®¡° ¦¥¨¥ ¬¥¦¤³ ¬®¦¥±²¢®¬ «¨¥©»µ ®²®¡° ¦¥¨© L(V; W ) ¨§ V ¢ W ¨ ¬®¦¥±²¢®¬ ¬ ²°¨¶ Mm;n (K) ± ª®½´´¨¶¨¥² ¬¨ ¨§ ¯®«¿ K ° §¬¥° m n.¥¬¬ 2.1.2 L(V; W ) = Mm;n (K).®ª § ²¥«¼±²¢®.®±² ²®·® ¯°®¢¥°¨²¼, ·²® ¯®±²°®¥®¥ ¢»¸¥ ¡¨¥ª²¨¢®¥ ®²®¡° ¦¥¨¥L(V; W ) ! Mm;n(K) ¡³¤¥² «¨¥©»¬.
® ½²® ±«¥¤³¥² ¨§ ²®£®, ·²® ¢±¥ ®²®¡° ¦¥¨¿ ¨§ L(V; W )«¨¥©».°¨¬¥°»:1) ±±¬®²°¨¬ ®²®¡° ¦¥¨¥ f (x) 0, ¥¬³ ¡³¤¥² ±®®²¢¥²±²¢®¢ ²¼ ³«¥¢ ¿ ¬ ²°¨¶ Af = 0;2) ±«¨ W = V , ®²®¡° ¦¥¨¥ ²®¦¤¥±²¢¥®, f = id : V ! V , ².¥. f (x) = x 8x 2 V , ²® ¥¬³±®®²¢¥²±²¢³¥² ¥¤¨¨· ¿ ¬ ²°¨¶ Af = En ;3) ²®¡° ¦¥¨¾ f (x) = x ±®®²¢¥²±²¢³¥² ¬ ²°¨¶ Af = En.14 ¹¥ ° § ®²¬¥²¨¬, ·²® ±®®²¢¥²±²¢¨¥ f 7! Af § ¢¨±¨² ®² ¢»¡®° ¡ §¨±®¢ ¢ ¯°®±²° ±²¢ µ V ¨W.§¬¥¨¬ ¡ §¨±» ¢ V (¬ ²°¨¶ ¯¥°¥µ®¤ C1) ¨ ¢ W (¬ ²°¨¶ ¯¥°¥µ®¤ C2), ²®£¤ , ¥±²¥±²¢¥®,¨§¬¥¨²±¿ ¨ ¬ ²°¨¶ ¤ ®£® «¨¥©®£® ®²®¡° ¦¥¨¿. ±«¨ ¢ ¯¥°¢® · «¼»µ ¡ §¨± µ ª®®°¤¨ ²» ¡»«¨ ±¢¿§ » ¬ ²°¨·»¬ ±®®²®¸¥¨¥¬ Y = Af X , ²® ¢ ®¢»µ ¡ §¨± µ (X = C1X 0,Y = C2Y 0 ) ¨¬¥¥¬ C2Y 0 = Af C1X 0, ².¥.
Y 0 = C2 1 Af C1X 0 = A0f X 0. ª®· ²¥«¼® ¯®«³· ¥¬ ´®°¬³«³ ¤«¿ ¬ ²°¨¶» ®¯¥° ²®° ¢ ®¢»µ ¡ §¨± µ A0f = C2 1 Af C1 . ±«¨ W = V , ²® ¬» ¯®«³·¨¬ ®²®¡° ¦¥¨¥ ¯°®±²° ±²¢ ¢ ±¥¡¿. ª¨¥ ®²®¡° ¦¥¨¿ §»¢ ¾²±¿ «¨¥©»¬¨ ®¯¥° ²®° ¬¨. ²°¨¶ «¨¥©®£® ®¯¥° ²®° ¢±¥£¤ ª¢ ¤° ² ¿, ¯°¨ ½²®¬ ¢®¡®¨µ ½ª§¥¬¯«¿° µ ¯°®±²° ±²¢ V ¡¥°¥²±¿ ®¤¨ ¨ ²®² ¦¥ ¡ §¨±. ®£¤ ¯°¨ ¯¥°¥µ®¤¥ ª ¤°³£®¬³¡ §¨±³ ¬ ²°¨¶ «¨¥©®£® ®¯¥° ²®° ¨§¬¥¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: A0f = C 1 Af C , £¤¥ C |¬ ²°¨¶ ¯¥°¥µ®¤ , Af | ¬ ²°¨¶ ®¯¥° ²®° ¢ ±² °®¬ ¡ §¨±¥.¯°¥¤¥«¥¨¥2.1.3¯°¥¤¥«¨¬ det f ° ¢¥±²¢®¬ det f = det Af .²®¡» ®¯°¥¤¥«¥¨¥ ¡»«® ª®°°¥ª²»¬, ¤®, ·²®¡» ½² ¢¥«¨·¨ ¥ § ¢¨±¥« ®² ¢»¡®° ¡ §¨± ¢ ¯°®±²° ±²¢¥, ².¥.
¢®§¼¬¥¬ ¤¢ ° §»¬ ¡ §¨± ± ¬ ²°¨¶¥© ¯¥°¥µ®¤ C , ²®£¤ det A0f = det(C 1 Af C ) = det C 1 det Af det C = det Af :¯°¥¤¥«¥¨¥ 2.1.4 ¯°¥¤¥«¨¬ ±«¥¤ tr f «¨¥©®£® ®¯¥° ²®° ° ¢¥±²¢®¬ tr f = tr Af(±³¬¬ ¤¨ £® «¼»µ ½«¥¬¥²®¢ ¬ ²°¨¶» Af ). «®£¨·® ¯°®¢¥°¿¥¬, ·²® ®¯°¥¤¥«¥¨¥ ª®°°¥ª²®:tr A0f = tr(C 1 Af C ) = tr(Af CC 1) = tr Af :¯°¥¤¥«¥¨¥2.1.5¯°¥¤¥«¨¬ ° £ rk f «¨¥©®£® ®¯¥° ²®° ° ¢¥±²¢®¬ rk f = rk Af . ²®¦¥, ®·¥¢¨¤®, ¥ ¡³¤¥² § ¢¨±¥²¼ ®² ¢»¡®° ¡ §¨± .¯°¥¤¥«¥¨¥ 2.1.6 ¤°® «¨¥©®£® ®¯¥° ²®° Ker f = fx 2 V : f (x) = 0g | ¬®¦¥±²¢®¢±¥µ ¢¥ª²®°®¢, ¯¥°¥µ®¤¿¹¨µ ¢ ®«¼.¡° § «¨¥©®£® ®¯¥° ²®° Im f = fy 2 V : 9x 2 V; f (x) = y g | ¬®¦¥±²¢® ¢¥ª²®°®¢ y 2 V ,¤«¿ ª®²®°»µ ±³¹¥±²¢³¥² ¯°®®¡° §. «®£¨·»¥ ®¯°¥¤¥«¥¨¿ ¬®¦® ¤ ²¼ ¨ ¤«¿ ¡®«¥¥ ®¡¹¥£® ±«³· ¿ | ¤«¿ «¨¥©»µ ®²®¡° ¦¥¨© ®¤®£® ¢¥ª²®°®£® ¯°®±²° ±²¢ ¢ ¤°³£®¥.¥¬¬ 2.1.7 ¤°® ¨ ®¡° § «¾¡®£® «¨¥©®£® ®¯¥° ²®° ¿¢«¿¾²±¿ «¨¥©»¬¨ ¯®¤¯°®-±²° ±²¢ ¬¨ ¢V.®ª § ²¥«¼±²¢®.
®ª § ²¥«¼±²¢® ®·¥¢¨¤®, ¤® ¯°®±²® ¯°®¢¥°¨²¼, ·²® ½²¨ ¬®¦¥±²¢ § ¬ª³²» ®²®±¨²¥«¼® ®¯¥° ¶¨© ±«®¦¥¨¿ ¨ ³¬®¦¥¨¿ ±ª «¿°». ¯°¨¬¥°, ¢ ±«³· ¥ ¿¤° ,¥±«¨ x; y 2 Ker f , 2 K , ²® f (x) = f (y ) = 0, ¯®½²®¬³ f (x + y ) = 0, f (x) = 0 ¨ x + y; x 2 Ker f .°®¢¥°ª ¤«¿ ®¡° § ®¯¥° ²®° «®£¨· .¥¬¬ 2.1.8dim Ker f + dim Im f = dim V .®ª § ²¥«¼±²¢®.³±²¼ e1 ; : : : ; er | ¡ §¨± ¢ Ker f , ¤®¯®«¨¬ ¥£® ¤® ¡ §¨± e1; : : : ; er ; er+1; : : : ; en ¢±¥£® ¯°®±²° ±²¢ V . ®ª ¦¥¬, ·²® dim Im f = n r. «¿ ½²®£® ° ±±¬®²°¨¬ ¡®° ¢¥ª²®°®¢ f (er+1 ); : : : ; f (en ) ¨ ¤®ª ¦¥¬, ·²® ® ¿¢«¿¥²±¿ ¡ §¨±®¬ ¢ Im f .1) «¨¥© ¿ ¥§ ¢¨±¨¬®±²¼.
³±²¼ r+1 f (er+1 ) + : : : + n f (en ) = f (r+1 er+1 + : : : + n en ) = 0,±«¥¤®¢ ²¥«¼® r+1 er+1 + : : : + n en 2 Ker f , ® ²®£¤ r+1 er+1 + : : : + n en = 1 e1 + : : : + r er ¤«¿¥ª®²®°»µ 1 ; : : : ; r . .ª. ¢¥ª²®°» e1 ; : : : ; en «¨¥©® ¥§ ¢¨±¨¬», ²® ¢±¥ i = 0 (¨ j ²®¦¥),±«¥¤®¢ ²¥«¼® ¢¥ª²®°» f (er+1 ); : : : ; f (en) «¨¥©® ¥§ ¢¨±¨¬».152) ¯®«®² .
®§¼¬¥¬ ¯°®¨§¢®«¼»© y 2 Im f , ±«¥¤®¢ ²¥«¼® ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®© x 2 V , ·²®f (x) = y . ±«¨ x = xi ei (±³¬¬¨°®¢ ¨¥ ¯® ¨¤¥ª±³ i, ¯°®¡¥£ ¾¹¥¬³ ®² 1 ¤® n), ²® y = f (x) =f (xiei) = xif (ei ), ·²® ¿¢«¿¥²±¿ «¨¥©®© ª®¬¡¨ ¶¨¥© ¢¥ª²®°®¢ f (er+1); : : : ; f (en), ².ª. ¯°¨ i =1; : : : ; r ei 2 Ker f ¨ f (ei ) = 0.«¥¤®¢ ²¥«¼® f (er+1 ); : : : ; f (en ) | ¡ §¨± ¢ Im f , ®²±¾¤ ³¦¥ ¢»²¥ª ¥² ³²¢¥°¦¤¥¨¥ «¥¬¬».¯°¥¤¥«¥¨¥ 2.1.9 ®¬¯®§¨¶¨¥© ¤¢³µ «¨¥©»µ ®¯¥° ²®°®¢ f; g : V ! V §»¢ ¾²±¿ «¨¥©»¥ ®¯¥° ²®°» f g; g f : V ! V , £¤¥ (f g )(x) = f (g (x)) ¨ (g f )(x) = g (f (x)).®¦® «¥£ª® ¯®ª § ²¼, ·²® ¢ ´¨ª±¨°®¢ ®¬ ¡ §¨±¥ Af g = Af Ag , ² ª¦¥ «¥£ª® ¯°®¢¥°¨²¼,·²® ¤«¿ ¬®¦¥±²¢ ®¯¥° ²®°®¢ ¢»¯®«¥» ¢±¥ ª±¨®¬» ª®«¼¶ (¥±«¨ ³¬®¦¥¨¥ | ª®¬¯®§¨¶¨¿),².¥.
¬®¦¥±²¢® «¨¥©»µ ®¯¥° ²®°®¢ ¨¬¥¥² ±²°³ª²³°³ ª®«¼¶ ± ¥¤¨¨¶¥©, °®«¼ ª®²®°®© ¨£° ¥²²®¦¤¥±²¢¥»© ®¯¥° ²®°.2.2¢ °¨ ²®¥ ¯®¤¯°®±²° ±²¢®¯°¥¤¥«¥¨¥ 2.2.1 ³±²¼ ¤ «¨¥©»© ®¯¥° ²®° f : W ! W ¨ V W | ¯®¤¯°®±²° ±²¢®¢ W . ® §»¢ ¥²±¿ ¨¢ °¨ ²»¬ ¯®¤¯°®±²° ±²¢®¬ ®²®±¨²¥«¼® f , ¥±«¨ ¥£® ®¡° § «¥¦¨²¢ ¥¬ ± ¬®¬, ².¥. f (V ) V .°¨¬¥°»:1) V = Ker f ¡³¤¥² ¨¢ °¨ ²»¬ ¯®¤¯°®±²° ±²¢®¬, ².ª. 8x 2 V f (x) = 0 2 V ,2) V = Im f ¡³¤¥² ¨¢ °¨ ²»¬ ¯®¤¯°®±²° ±²¢®¬, ².ª. ¯® ®¯°¥¤¥«¥¨¾ Im f ®¡° § «¾¡®£®½«¥¬¥² ¥¬³ ¯°¨ ¤«¥¦¨². ±±¬®²°¨¬ ¯®¤°®¡¥¥ ¬ ²°¨¶» ®¯¥° ²®°®¢. ³±²¼ V | ¨¢ °¨ ²®¥ ®²®±¨²¥«¼® f ¯®¤¯°®±²° ±²¢® ¢ W . ³±²¼ e1 ; : : : ; er | ¡ §¨± ¢ V , ¤®¯®«¨¬ ¥£® ¤® ¡ §¨± e1 ; : : : ; en ¢ W!.