В.М. Мануйлов - Курс лекций по линейной алгебре и геометрии, страница 3
Описание файла
PDF-файл из архива "В.М. Мануйлов - Курс лекций по линейной алгебре и геометрии", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 3 страницы из PDF
±«®¢¨¥ (2) ¡®«¥¥ ±¨«¼®¥, ·¥¬ ³±«®¢¨¥ Vi \ Vj = f0g 8i; j = 1; : : : ; n. ¯°¨¬¥°,¥±«¨ ¢§¿²¼ ²°¨ ¯°¿¬»¥ (¢¥ª²®° , ª®««¨¥ °»¥ ½²¨¬ ¯°¿¬»¬), ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨¥±¿ ¢ ®¤®© ²®·ª¥,²® ±³¬¬ «¾¡»µ ¤¢³µ ¨§ ¨µ ¡³¤¥² ¯°¿¬®© ±³¬¬®©, ® ±³¬¬ ¢±¥µ ²°¥µ | ¥², ².ª. «¾¡®© ¢¥ª²®°²°¥²¼¥© ¯°¿¬®© ¬®¦® ¯°¥¤±² ¢¨²¼ ¢ ¢¨¤¥ ±³¬¬» ¢¥ª²®°®¢ ¯¥°¢»µ ¤¢³µ ¯°¿¬»µ, ±«¥¤®¢ ²¥«¼®¥£® ° §«®¦¥¨¥ ¥ ¡³¤¥² ¥¤¨±²¢¥®.9¥¸¿¿ ¯°¿¬ ¿ ±³¬¬ ¯°¥¤¥«¥¨¥ 1.7.4 ¥¸¥© ¯°¿¬®© ±³¬¬®© ¤¢³µ «¨¥©»µ ¯°®±²° ±²¢ V1, V2 ¤ ®¤¨¬¯®«¥¬ K (¥ ®¡¿§ ²¥«¼® ¿¢«¿¾¹¨µ±¿ ¯®¤¯°®±²° ±²¢ ¬¨ ®¤®£® ¯°®±²° ±²¢ ) §»¢ ¥²±¿ ®¢®¥ «¨¥©®¥ ¯°®±²° ±²¢® V1 V2 ¤ ¯®«¥¬ K, ±®±²®¿¹¥¥ ¨§ ¢±¥µ ¯ ° (v1 ; v2), £¤¥ vi 2 Vi,i = 1; 2, ± ®¯¥° ¶¨¿¬¨ ±«®¦¥¨¿ ¨ ³¬®¦¥¨¿ ±ª «¿°»:1) (v1; v2) + (v10 ; v20 ) = (v1 + v10 ; v2 + v20 ),2) (v1; v2) = (v1; v2),£¤¥ vi ; vi0 2 Vi , 2 K. ±«¨ ¯°¨ ½²®¬ ®²®¦¤¥±²¢¨²¼ ± ¬¨ ¯°®±²° ±²¢ V1 ¨ V2 ± ¯®¤¬®¦¥±²¢ ¬¨ ¢¥¸¥© ¯°¿¬®© ±³¬¬» ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: V1 $ (V1; 0) ¨ V2 $ (0; V2), ²® ¨µ ¬®¦® ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ª ª¯®¤¯°®±²° ±²¢ ¯°®±²° ±²¢ V1 V2.1.8®®°¤¨ ²»¯°¥¤¥«¥¨¥ 1.8.1 ³±²¼ ¤ ® «¨¥©®¥ ¯°®±²° ±²¢® V ¨ ¡ §¨± e1 ; : : : ; en ½²®£® ¯°®±²° ±²¢ , ²®£¤ «¾¡®© ¢¥ª²®° x 2 V ¬®¦® ¯°¥¤±² ¢¨²¼ ¢ ¢¨¤¥ x = 1e1 + : : : + n en .
¨±« 1; : : : ; n 2 K §»¢ ¾²±¿ ª®®°¤¨ ² ¬¨ ¢¥ª²®° x ¢ ½²®¬ ¡ §¨±¥.¢¥¤¥¬ ¥ª®²®°»¥ ±®£« ¸¥¨¿ ¤«¿ § ¯¨±¨ ª®®°¤¨ ². ¤¥ª±» ³ ª®®°¤¨ ² ¬» ®¡»·® ¡³¤¥¬¯¨± ²¼ ¥ ±¨§³, ±¢¥°µ³, ².¥. ¥ xi , xi . ¬¥±²® ¤«¨®©§ ¯¨±¨ x = x1 e1 + : : : + xn en ¬» · ±²®Pnii¡³¤¥¬ ¯¨± ²¼ x ei , ± ¬®¬ ¤¥«¥ ¯®¤° §³¬¥¢ ¿0 ±³¬¬³1 i=1 x ei . ®®°¤¨ ²» ¢¥ª²®°®¢ ¬» · ±²®x1¡³¤¥¬ § ¯¨±»¢ ²¼ ¢ ¢¨¤¥ ±²®«¡¶®¢, ².¥. x = @ ...xnA.®°°¥ª²®±²¼ ®¯°¥¤¥«¥¨¿ ª®®°¤¨ ² ±«¥¤³¥² ¨§ ±¢®©±²¢ ¡ §¨± («¨¥© ¿ ¥§ ¢¨±¨¬®±²¼ ¨¬ ª±¨¬ «¼®±²¼). ¬¥ ª®®°¤¨ ²³±²¼ ¬ ¤ » ¤¢ ¡ §¨± e1 ; : : : ; en ¨ e1 ; : : : ; en ®¤®£® ¢¥ª²®°®£® ¯°®±²° ±²¢ , ²®£¤ ¬®¦®§ ¯¨± ²¼ ±«¥¤³¾¹¨¥ ° ¢¥±²¢ :e1 = c11e1 + : : : + cn1 en ;:::::: :::en = c1n e1 + : : : + cnnen;ª®²®°»¥ ° ¢®±¨«¼» ®¤®¬³ ¬ ²°¨·®¬³ ° ¢¥±²¢³0 c1 : : : c1n 11(e1 : : : en ) = (e1 : : :en ) @ ...
. . . ... A : ²°¨¶ cn1 : : : cnn0 c11 : : : c1n 1C = @ ... . . . ... Acn1 : : : cnn §»¢ ¥²±¿ ¬ ²°¨¶¥© ¯¥°¥µ®¤ ®² ¡ §¨± e1 ; : : : ; en ª ¡ §¨±³ e1 ; : : : ; en .¥¬¬ 1.8.2 ³±²¼ x1 ; : : : ; xn | ª®®°¤¨ ²» ¢¥ª²®° x ¢ ¡ §¨±¥ e1; : : : ; en , xe1; : : : ; xen| ª®®°¤¨ ²» ½²®£® ¦¥ ¢¥ª²®° ¢ ¡ §¨±¥ e1 ; : : : ; en. ®£¤ 0 x1 1 0 xe1 1@ ...
A = C @ ... A :xenxn10 ª ª ª xj ej = x = xei ei = xei ej cji = (xei cji )ej , ¨§ «¨¥©®© ¥§ ¢¨±¨¬®±²¨¢¥ª²®°®¢ e1 ; : : : ; en ±«¥¤³¥² ° ¢¥±²¢® ª®®°¤¨ ²: xj = xei cji 8j (¯®¤° §³¬¥¢ ¥²±¿ ±³¬¬¨°®¢ ¨¥¯® ¨¤¥ª±³ i).®ª § ²¥«¼±²¢®.1.9§®¬®°´¨§¬» ¢¥ª²®°»µ ¯°®±²° ±²¢¯°¥¤¥«¥¨¥ 1.9.1 ³±²¼ ¤ » ¤¢ «¨¥©»µ ¯°®±²° ±²¢ V ¨ W ¤ ®¤¨¬ ¯®«¥¬ K. ®£¤ ¡¨¥ª²¨¢®¥ (².¥. ¢§ ¨¬® ®¤®§ ·®¥) ®²®¡° ¦¥¨¥ f : V ! W §»¢ ¥²±¿ ¨§®¬®°´¨§¬®¬,¥±«¨ ¢»¯®«¥» ±«¥¤³¾¹¨¥ ³±«®¢¨¿ (³±«®¢¨¿ «¨¥©®±²¨):1) f (v1 + v2 ) = f (v1 ) + f (v2) 8v1 ; v2 2 V ,2) f (v ) = f (v ) 8v 2 V; 2 K.¢ «¨¥©»µ ¯°®±²° ±²¢ V ¨ W §»¢ ¾²±¿ ¨§®¬®°´»¬¨ (V = W ), ¥±«¨ ¬¥¦¤³ ¨¬¨±³¹¥±²¢³¥² ¨§®¬®°´¨§¬.¥¬¬ 1.9.2 ±«¨f :V !W| ¨§®¬®°´¨§¬, ²® ®¡° ²®¥ ®²®¡° ¦¥¨¥² ª¦¥ ¡³¤¥² ¨§®¬®°´¨§¬®¬.f1:W !V®ª § ²¥«¼±²¢®.
¯®±ª®«¼ª³ ®²®¡° ¦¥¨¥ f ¢§ ¨¬® ®¤®§ ·®. ®ª ¦¥¬ ²®«¼ª® ¯¥°¢»©¯³ª², ².¥., ·²® f 1 (w1 + w2) = f 1 (w1) + f 1 (w2) 8w1 ; w2 2 W (¢²®°®© ¯³ª² ¤®ª §»¢ ¥²±¿ «®£¨·®):f (f 1 (w1) + f 1 (w2)) = f (f 1 (w1)) + f (f 1(w2)) = w1 + w2 = f (f 1(w1 + w2));±«¥¤®¢ ²¥«¼® f 1 (w1) + f 1 (w2) = f 1 (w1 + w2 ), ².ª. ®²®¡° ¦¥¨¥ f ¢§ ¨¬® ®¤®§ ·®. ª¨¬ ®¡° §®¬, ¨§®¬®°´®±²¼ ¿¢«¿¥²±¿ ®²®¸¥¨¥¬ ½ª¢¨¢ «¥²®±²¨, ².¥. ®¡« ¤ ¥² ±¢®©±²¢ ¬¨ ±¨¬¬¥²°¨·®±²¨ («¾¡®¥ ¯°®±²° ±²¢® ¨§®¬®°´® ± ¬®¬³ ±¥¡¥), °¥´«¥ª±¨¢®±²¨ (¥±«¨V ¨§®¬®°´® W , ²® W ¨§®¬®°´® V ) ¨ ²° §¨²¨¢®±²¨ (¥±«¨ V ¨§®¬®°´® W ¨ W ¨§®¬®°´®U , ²® V ¨§®¬®°´® U ).¥¬¬ ½«¥¬¥²®¢.1.9.3 ±«¨®ª § ²¥«¼±²¢®.dim V = n,²®V¨§®¬®°´® ¯°®±²° ±²¢³nn³±²¼ e1 ; : : : ; en | ¡ §¨±0 ¢ V ,1²®£¤ ¯®±²°®¨¬ ®²®¡° ¦¥¨¥ f : V ! Kx1±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: ¥±«¨ x = xi ei , ²® f (x) = @ ...¡³¤¥² ¨§®¬®°´¨§¬®¬, ±«¥¤®¢ ²¥«¼® V = Kn .«¥¤±²¢¨¥Kn ±²®«¡¶®¢ (±²°®ª) ¨§xnA.
¥£ª® ¯°®¢¥°¨²¼, ·²® ½²® ®²®¡° ¦¥¨¥dim V = dim W , ²® V = W.³±²¼ dim V = dim W = n, ²®£¤ V = Kn = W.1.9.4 ±«¨®ª § ²¥«¼±²¢®.¥°® ¨ ®¡° ²®¥:V= W , ²® dim V = dim W .®ª § ²¥«¼±²¢®. ®¯³±²¨¬, ·²® dim V < dim W , ¯³±²¼ e1 ; : : : ; en | ¡ §¨± ¢ W , ²®£¤ ¢¥ª²®° f (e1 ); : : : ; f (en ) 2 V ¤®«¦» ¡»²¼ «¨¥©® ¥§ ¢¨±¨¬»¬¨. ¥©±²¢¨²¥«¼®, ¥±«¨ 1f (e1 )+: : : + n f (en ) = 0, ²®, ¯°¨¬¥¨¢ ª ®¡¥¨¬ · ±²¿¬ ½²®£® ° ¢¥±²¢ ®²®¡° ¦¥¨¥ f 1, ¯®«³·¨¬1e1 + : : : + nen = 0, ®²ª³¤ 1 = : : : = n = 0. ® ¨µ «¨¥© ¿ ¥§ ¢¨±¨¬®±²¼ ¯°®²¨¢®°¥·¨²¯°¥¤¯®«®¦¥¨¾ dim V < n.¥¬¬ 1.9.5 ±«¨11¥¬¬ 1.9.6 ³±²¼«¨¥©®±²¨:1)122)³±²¼ 1dim V = dim W , ®²®¡° ¦¥¨¥ f : V ! W³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ³±«®¢¨¿¬f (v + v ) = f (v1) + f (v2 ) 8v1 ; v2 2 V ,f (v) = f (v) 8v 2 V; 2 K.e ; : : : ; en | ¡ §¨± ¢ V .
®£¤ f ¿¢«¿¥²±¿ ¨§®¬®°´¨§¬®¬ ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ f (e1 ); : : : ; f (en) | ¡ §¨± ¢ W .®ª § ²¥«¼±²¢®. ±«¨ f | ¨§®¬®°´¨§¬, ²® ¨§ ° ¢¥±²¢ 1f (e1 )+ : : : + n f (en ) = 0 ±«¥¤³¥²f (1e1 + : : : + nen ) = 0, ®²ª³¤ § ª«¾· ¥¬, ·²® 1e1 + : : : + nen = 0, § ·¨², ¢±¥ i = 0.¡° ²®, ¯³±²¼ f (e1 ; : : : ; f (en )) | ¡ §¨± ¢ W .
«¿ ¯°®¢¥°ª¨ ¢§ ¨¬®© ®¤®§ ·®±²¨ ®²®¡° ¦¥¨¿ f ¤®±² ²®·® ¯°®¢¥°¨²¼, ·²® ®²®¡° ¦¥¨¥ f 1 ª®°°¥ª²® ®¯°¥¤¥«¥®. ³±²¼ w 2 W ¨¬¥¥²° §«®¦¥¨¥ ¯® ¡ §¨±³ w = w1f (e1 ) + : : : + wn f (en ). ®£¤ ®¯°¥¤¥«¨¬ ®²®¡° ¦¥¨¥ g : W ! V° ¢¥±²¢®¬ g (w) = w1 e1 + : : : + wn en . ·¥¢¨¤ ¿ ¯°®¢¥°ª ¯®ª §»¢ ¥², ·²® g = f 1 .1.10¢®©±²¢¥®¥ ¢¥ª²®°®¥ ¯°®±²° ±²¢® ¯®¬¨¬, ·²® «¨¥©»¬ ´³ª¶¨® «®¬ ¢¥ª²®°®¬ ¯°®±²° ±²¢¥ V ( ¤ ¯®«¥¬ K) §»¢ ¥²±¿ ®²®¡° ¦¥¨¥ f : V ! K , ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¥¥ ³±«®¢¨¿¬ «¨¥©®±²¨1) f (v1 + v2 ) = f (v1 ) + f (v2) 8v1 ; v2 2 V ;2) f (v ) = f (v ) 8v 2 V; 2 K. ¤ ¤¨¬ ¬®¦¥±²¢¥ V 0 ¢±¥µ «¨¥©»µ ´³ª¶¨® «®¢ f : V ! K, ®¯¥° ¶¨¨:1) (f1 + f2 )(v ) = f1 (v ) + f2 (v ), f1 ; f2 2 V 0 ;2) (f )(v ) = f (v ), f 2 V 0 , 2 K.²¨ ®¯¥° ¶¨¨ ¯°¥¢° ¹ ¾² V 0 ¢ «¨¥©®¥ ¯°®±²° ±²¢®.
²® ¯°®±²° ±²¢® §»¢ ¥²±¿ ¤¢®©±²¢¥»¬ ¯°®±²° ±²¢®¬ ª V .¥¬¬ 1.10.1 V = V 0.®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ e1 ; : : : ; en | ¡ §¨± ¢ V , ²®£¤ ¤®ª ¦¥¬, ·²® "1 ; : : : ; "n ¡³¤¥² ¡ §¨±®¬¢ V 0, £¤¥ ´³ª¶¨® «»"i 2 V 0, i = 1; : : : ; n, ®¯°¥¤¥«¿¾²±¿ ° ¢¥±²¢ ¬¨ "i (ej ) = ji (ji | ±¨¬¢®«jii°®¥ª¥° , ².¥. ji = 10 ii =6= j . ®±ª®«¼ª³ f (x ei) = x f (ei), ²® § ·¥¨¥ ´³ª¶¨® « ¯°®¨§¢®«¼®¬ ¢¥ª²®°¥ ¯®«®±²¼¾ ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ § ·¥¨¿¬¨ ´³ª¶¨® « ¡ §¨±»µ ¢¥ª²®° µ¨ ª®®°¤¨ ² ¬¨ ½²®£® ¢¥ª²®° , ².¥.
´³ª¶¨® «» "i ¯®«®±²¼¾ § ¤ » ¸¨¬¨ ³±«®¢¨¿¬¨. ¬³¦® ¤®ª § ²¼ ¤¢ ¯³ª² :1) «¨¥© ¿ ¥§ ¢¨±¨¬®±²¼ ¢¥ª²®°®¢ "1 ; : : : ; "n . ±«¨ f = 1 "1 + : : : + n "n = 0 (° ¢¥±²¢®³«¾ ¢ V 0 ®§ · ¥², ·²® f (v ) = 0 ¤«¿ «¾¡®£® ¢¥ª²®° v 2 V ), ²® f (ei ) = i = 0, ².¥. ¢±¥ i = 0.«¥¤®¢ ²¥«¼® ½²¨ ´³ª¶¨® «» «¨¥©® ¥§ ¢¨±¨¬».2) ¬ ª±¨¬ «¼®±²¼, ².¥. ·²® 8f 2 V 0 , 91; : : : ; n 2 K ² ª¨¥ ·²® f = i "i . ®§¼¬¥¬ ¯°®¨§¢®«¼»© ´³ª¶¨® « f 2 V 0 , ²®£¤ , ¥±«¨ x = xi ei , ²® f (x) = xi f (ei ).
®§¼¬¥¬ i = f (ei ), ²®£¤ ¯®«³·¨¬, ·²®f (x) = xi f (ei ) = xii = ixj "i (ej ) = i"i(xj ej ) = i"i (x);·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼ ¤®ª § ²¼.³±²¼ ¬ ¤ » ¡ §¨±» e1; : : : ; en ¨ e1 ; : : : ; en ¢ ¯°®±²° ±²¢¥ V ¨ ¤¢®©±²¢¥»¥ ª ¨¬ ¡ §¨±»1" ; : : : ; "n ¨ "e1; : : : ; "en ¢ ¯°®±²° ±²¢¥ V 0. ³±²¼ C1 | ¬ ²°¨¶ ¯¥°¥µ®¤ ®² ¡ §¨± e1 ; : : : ; enª e1 ; : : : ; en , ©¤¥¬ ¬ ²°¨¶³ ¯¥°¥µ®¤ ®² ¡ §¨± " ; : : : ; "n ª "e1 ; : : : ; "en .
®§¼¬¥¬ ¯°®¨§¢®«¼»©´³ª¶¨® « f 2 V 0 , ²®£¤ f = fi "i = fej "ej , £¤¥ fi ¨ fej | ½²® ª®®°¤¨ ²» ´³ª¶¨® « f ¢ ¡ §¨± µ"1; : : : ; "n ¨ "e1; : : : ; "en ±®®²¢¥²±²¢¥®. »·¨±«¨¬ § ·¥¨¥ ´³ª¶¨® « f ¢¥ª²®°¥ ek ¤¢³¬¿±¯®±®¡ ¬¨. ®¤®© ±²®°®», f (ek ) = fej "ej (ek ) = fek , ± ¤°³£®© ±²®°®», f (ek ) = fi "i (cjk ej ) = fi cik ,² ª ª ª (e1 : : : en ) = (e1 : : :en )C .
²±¾¤ ¯®«³· ¥¬, ·²® fek = fi cik . «¥¤®¢ ²¥«¼® (fe1 0: : : fen )1=0 f1 1fe1B.1t(f1 : : :fn )C , ¨«¨ (¯®±«¥ ²° ±¯®¨°®¢ ¨¿, ®¡®§ ·¥®£® ¨¤¥ª±®¬ t) @ .. A = (C ) @ ... CA,fnfen12¨, ª®¥¶, ®²±¾¤ ¯®«³· ¥¬ ±¢¿§¼ ¬¥¦¤³ ¡ §¨± ¬¨: ("e1 : : : "en ) = ("1 : : :"n )(C 1)t , ².¥. ¬ ²°¨¶ ¯¥°¥µ®¤ ®² ¡ §¨± " ª "e ° ¢ (C 1 )t.» ¤®ª § «¨, ·²® V = V 0, ®¤ ª® ¢»¡®° ¨§®¬®°´¨§¬ f : V ! V 0 § ¢¨±¨² ®² ¢»¡®° ¡ §¨± ¢ ¯°®±²° ±²¢¥ V . ¥©±²¢¨²¥«¼®, ¯³±²¼ V = R, ²®£¤ ¡ §¨±®¬ ¿¢«¿¥²±¿ «¾¡®¥ ¥³«¥¢®¥ ·¨±«®e 2 R. »¡¥°¥¬ ² ª¦¥ ¥¹¥ ®¤¨ ¡ §¨± e = e, 6= 0; 1.
³±²¼ " | ¡ §¨±¢ V 0, ¤¢®©±²¢¥»© ª e,1².¥. "(e) = 1, "e | ¤¢®©±²¢¥»© ¡ §¨± ª e, ².ª. "e(e) = 1, ²® "e = e. §®¬®°´¨§¬ f : V ! V 0,®²¢¥· ¾¹¨© ¡ §¨±³ e, § ¤ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: 8x = e, f (x) = ". ¥°¥©¤¥¬ ª ¡ §¨±³ e, ²®£¤ ¨§®¬®°´¨§¬ fe : V ! V 0 ¡³¤¥² § ¤ ¢ ²¼±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: fe(x) = fe( 1 e) = 2 ". .¥.° §»¥ ¢»¡®°» ¡ §¨± ¢ ¯°®±²° ±²¢¥ V ¤ ¾² ° §»¥ ¨§®¬®°´¨§¬»!1.11 ®¨·¥±ª¨© ¨§®¬®°´¨§¬ ¬¥¦¤³ ¯°®±²° ±²¢®¬ ¨ ¥£® ¢²®°»¬ ¤¢®©±²¢¥»¬ ±±¬®²°¨¬ ¯°®±²° ±²¢®, ¤¢®©±²¢¥®¥ ª ¤¢®©±²¢¥®¬³. ® §»¢ ¥²±¿ ¢²®°»¬ ¤¢®©±²¢¥»¬ ¯°®±²° ±²¢®¬: V 00 = (V 0 )0. «¥¬¥²» ¯°®±²° ±²¢ V 00 | ½²® «¨¥©»¥ ´³ª¶¨® «» ¯°®±²° ±²¢¥ V 0 , ².¥. ´³ª¶¨¨, °£³¬¥² ¬¨ ª®²®°»µ ¿¢«¿¾²±¿ ½«¥¬¥²» ¬®¦¥±²¢ V 0 .
·¥¢¨¤®, ·²® dim V 00 = dim V 0 = dim V .¯°¥¤¥«¨¬ ®²®¡° ¦¥¨¥ ' : V ! V 00. «¿ ª ¦¤®£® ¢¥ª²®° x 2 V ´³ª¶¨® « '(x) = 'x¤®«¦¥ ®²®¡° ¦ ²¼ ´³ª¶¨® «» (½«¥¬¥²» ¬®¦¥±²¢ V 0) ¢ ¯®«¥ ±ª «¿°®¢. ³±²¼ f 2 V 0¯°¥¤¥«¨¬ § ·¥¨¥ 'x(f ) = f (x). ·¥¢¨¤®, ·²® 'x | ½²® «¨¥©®¥ ®²®¡° ¦¥¨¥ V 0 ! K.°®¬¥ ²®£®, '(x1 + x2 ) = '(x1) + '(x2) ¨ '(x) = '(x). ®ª ¦¥¬, ·²® ' ¥±²¼ ¨§®¬®°´¨§¬. «¿½²®£® ¬ ³¦® ¤®ª § ²¼, ·²® ¨§ ³±«®¢¨¿ 'x = 0 ±«¥¤³¥², ·²® x = 0. ±«®¢¨¥ 'x = 0 ®§ · ¥²,·²® ¤«¿ «¾¡®£® ´³ª¶¨ « f 2 V 0 'x (f ) = 0, ².¥.