В.М. Мануйлов - Курс лекций по линейной алгебре и геометрии
Описание файла
PDF-файл из архива "В.М. Мануйлов - Курс лекций по линейной алгебре и геометрии", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
. . ³©«®¢³°± «¥ª¶¨© ¯®«¨¥©®© «£¥¡°¥ ¨ £¥®¬¥²°¨¨¥µ ¨ª®-¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨© ´ ª³«¼²¥²I-© ª³°±, 2-© ±¥¬¥±²°¯®²®ª ¬¥µ ¨ª®¢1¨¥©»¥ ¯°®±²° ±²¢ 1.1¨¥©®¥ (¢¥ª²®°®¥) ¯°®±²° ±²¢®¯°¥¤¥«¥¨¥ 1.1.1 ®¦¥±²¢® V §»¢ ¥²±¿ «¨¥©»¬ (¢¥ª²®°»¬) ¯°®±²° ±²¢®¬ ¤¥ª®²®°»¬ ¯®«¥¬ K , ¥±«¨ § ¤ » ®¯¥° ¶¨¿ + ±«®¦¥¨¿ ¤¢³µ ½«¥¬¥²®¢ ¬®¦¥±²¢ V ¨ ®¯¥° ¶¨¿³¬®¦¥¨¿ ½«¥¬¥²®¢ ¬®¦¥±²¢ V ½«¥¬¥²» ¯®«¿ K, ª®²®°»¥ ³¤®¢«¥²¢®°¿¾² ±«¥¤³¾¹¨¬³±«®¢¨¿¬ ( ª±¨®¬ ¬):(i) a + b = b + a 8a; b 2 V ,(ii) (a + b) + c = a + (b + c) 8a; b; c 2 V ,(iii) 90 2 V : a + 0 = a 8a 2 V ,(iv) 8a 2 V 9( a) : a + ( a) = 0,(v) (a + b) = a + b 8a; b 2 V , 8 2 K ,(vi) ( + ) a = a + a 8a 2 V , 8; 2 K ,(vii) ( a) = () a 8a 2 V , 8; 2 K,(viii) 1 a = a 8a 2 V .¥°¢»¥ 4 ±¢®©±²¢ ®¯°¥¤¥«¿¾² V ±²°³ª²³°³ ¡¥«¥¢®© £°³¯¯», ¯®±«¥¤¨¥ 4 ±¢®©±²¢ |±²°³ª²³°³ «£¥¡°» ¤ ¯®«¥¬ K.«¥¬¥²» ¬®¦¥±²¢ V ®¡»·® §»¢ ¾²±¿ ¢¥ª²®° ¬¨, ½«¥¬¥²» ¯®«¿ K | ±ª «¿° ¬¨ ¨«¨·¨±« ¬¨.
¡»·® ¬» ¡³¤¥¬ ®¯³±ª ²¼ § ª ³¬®¦¥¨¿ .¢®©±²¢ «¨¥©®£® ¯°®±²° ±²¢ :(i)(ii)(iii)(iv)(v)(vi)³«¥¢®© ½«¥¬¥² ¢ ¬®¦¥±²¢¥ V ®¯°¥¤¥«¥ ®¤®§ ·®,¤«¿ «¾¡®£® ½«¥¬¥² ®¡° ²»© ½«¥¬¥² ®¯°¥¤¥«¥ ®¤®§ ·®,0 a = 0 8a 2 V , 0 = 0 8 2 K,( a) = ( 1) a 8a 2 V ,¥±«¨ a = 0, ²® «¨¡® = 0, «¨¡® a = 0.®ª § ²¥«¼±²¢®.(i) ¥±«¨ 00 | ¤°³£®© ³«¥¢®© ½«¥¬¥², ²® 0 = 0 + 00 = 00 .(ii) ¥±«¨ b + a = 0, ²® ( a) = ( a) + 0 = ( a) + b + a = ( a) + a + b = 0 + b = b.(iii) 0 = a +( a) = 1a +( a) = (1 + 0)a +( a) = 1a + 0a +( a) = a + 0a +( a) = a +( a)+ 0a =0 + 0a = 0a.(iv) ¥±«¨ = 0, ²® ° ¢¥±²¢® 0 0 = 0 ¤®ª § ® ¢ ¯°¥¤»¤³¹¥¬ ¯³ª²¥; ¥±«¨ 6= 0, ²® a + a = 1a + 0 = ( 1a + 0) = ( 1a) = a, ¨ 0 = 0 ±«¥¤³¥² ¨§ ¥¤¨±²¢¥®±²¨ ³«¥¢®£®½«¥¬¥² .(v) a +( 1)a = 1a +( 1)a = (1 +( 1))a = 0a = 0, ¯®½²®¬³ ( 1)a = ( a) ¢ ±¨«³ ¥¤¨±²¢¥®±²¨®¡° ²®£® ½«¥¬¥² .(vi) ¯³±²¼ a = 0; ¥±«¨ 6= 0, ²® a = 1a = 10 = 0.°¨¬¥°» «¨¥©»µ ¯°®±²° ±²¢:2(i) ¬®¦¥±²¢®, ±®±²®¿¹¥¥ ¨§ ®¤®£® ½«¥¬¥² f0g ¿¢«¿¥²±¿ «¨¥©»¬ ¯°®±²° ±²¢®¬ ¤ «¾¡»¬ ¯®«¥¬,(ii) ¬®¦¥±²¢® ¢¥ª²®°®¢ ¯°¿¬®©, ¯«®±ª®±²¨, ¢ ¯°®±²° ±²¢¥,(iii) ¡®°» ¨§ n ·¨±¥«, V = fa1 ; : : : ; an : ai 2 Kg, £¤¥ ±«®¦¥¨¥ ¨ ³¬®¦¥¨¥ ±ª «¿°»®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ¯®ª®¬¯®¥²®,(iv) ¬®¦¥±²¢® Kn [t] | ¬®¦¥±²¢® ¬®£®·«¥®¢ ±²¥¯¥¨ ¥ ¢»¸¥ n ± ª®½´´¨¶¨¥² ¬¨ ¨§ ¯®«¿K ®² ¯¥°¥¬¥®© t,(v) ¬®¦¥±²¢® ´³ª¶¨© F (x), ®¯°¥¤¥«¥»µ ¥ª®²®°®¬ ¯°®¨§¢®«¼®¬ ¬®¦¥±²¢¥ X , ±® § ·¥¨¿¬ ¢ ¬®¦¥±²¢¥ K,(vi) ¬®¦¥±²¢® °¥¸¥¨© ®¤®°®¤®© ±¨±²¥¬» «¨¥©»µ ³° ¢¥¨©,(vii) R ¿¢«¿¥²±¿ «¨¥©»¬ ¯°®±²° ±²¢®¬ ¤ ¯®«¥¬ Q,(viii) C ¿¢«¿¥²±¿ «¨¥©»¬ ¯°®±²° ±²¢®¬ ¤ ¯®«¥¬ R.¯°¥¤¥«¥¨¥ 1.1.2 ³±²¼ ¤ ® «¨¥©®¥ ¯°®±²° ±²¢® V .
¨¥©®© ´³ª¶¨¥© («¨¥©»¬´³ª¶¨® «®¬) §»¢ ¾² ®²®¡° ¦¥¨¥ f : V ! K , ®¡« ¤ ¾¹¥¥ ±¢®©±²¢ ¬¨: f (a + b) = f (a)+ f (b)¨ f (a) = f (a) 8a; b 2 V; 2 K.(ix) ¬®¦¥±²¢® «¨¥©»µ ´³ª¶¨® «®¢ ¿¢«¿¥²±¿ «¨¥©»¬ ¯°®±²° ±²¢®¬ (®® §»¢ ¥²±¿¤¢®©±²¢¥»¬ ¯°®±²° ±²¢®¬ ª V ).¯°¥¤¥«¥¨¥ 1.1.3 ³±²¼ ¤ ® «¨¥©®¥ ¯°®±²° ±²¢® W , ¥£® ¥¯³±²®¥ ¯®¤¬®¦¥±²¢® V W §»¢ ¥²±¿ ¯®¤¯°®±²° ±²¢®¬, ¥±«¨ ®® § ¬ª³²® ®²®±¨²¥«¼® ®¯¥° ¶¨©, ®¯°¥¤¥«¥»µ ¢¯°®±²° ±²¢¥ W , ².¥., ¥±«¨ ¢»¯®«¥» ±«¥¤³¾¹¨¥ ±¢®©±²¢ :1) a + b 2 V 8a; b 2 V ,2) a 2 V 8a 2 V; 2 K.¥¬¬ 1.1.4 ®¤¯°®±²° ±²¢® V «¨¥©®£® ¯°®±²° ±²¢ W ± ¬® ¿¢«¿¥²±¿ «¨¥©»¬¯°®±²° ±²¢®¬ ¤ ²¥¬ ¦¥ ¯®«¥¬ ¨ ± ²¥¬¨ ¦¥ ®¯¥° ¶¨¿¬¨, ·²® ¨ W .®ª § ²¥«¼±²¢®.
±¥ ³±«®¢¨¿ ®¯°¥¤¥«¥¨¿ «¨¥©®£® ¯°®±²° ±²¢ ¢»¯®«¥», ².ª. ¢±¥½«¥¬¥²» V ¿¢«¿¾²±¿ ½«¥¬¥² ¬¨ W , ¤«¿ ½«¥¬¥²®¢ W ®¨ ¢»¯®«¥» ¯® ®¯°¥¤¥«¥¨¾.°¨¬¥°» ¯®¤¯°®±²° ±²¢. ³±²¼ ¯°®±²° ±²¢® W | ½²® ¬®¦¥±²¢® ¢¥ª²®°®¢ ¯«®±ª®±²¨, ²®£¤ ±«¥¤³¾¹¨¥ ¬®¦¥±²¢ ¡³¤³² ¯®¤¯°®±²° ±²¢ ¬¨:1) f0g,2) ¬®¦¥±²¢® ¢±¥µ ¢¥ª²®°®¢, ª®««¨¥ °»µ ¥ª®²®°®¬³ § ¤ ®¬³ ¢¥ª²®°³,3) ± ¬® ¯°®±²° ±²¢® W .1.2´´¨®¥ ¯°®±²° ±²¢®¯°¥¤¥«¥¨¥ 1.2.1 ´´¨»¬ ¯°®±²° ±²¢®¬ §»¢ ¥²±¿ ²°®©ª (A; V; +), ±®±²®¿¹ ¿ ¨§¬®¦¥±²¢ A, ¢¥ª²®°®£® ¯°®±²° ±²¢ V ¨ ®¯¥° ¶¨¨ ±«®¦¥¨¿ + : A V ! A, (².¥. ±ª« ¤»¢ ²¼¬®¦® ½«¥¬¥² ¬®¦¥±²¢ A ± ½«¥¬¥²®¬ ¢¥ª²®°®£® ¯°®±²° ±²¢ , ¯°¨ ½²®¬ ¢ °¥§³«¼² ²¥¯®«³· ¥²±¿ ½«¥¬¥² ¬®¦¥±²¢ A), ª®²®° ¿ ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ±«¥¤³¾¹¨¬ ±¢®©±²¢ ¬:1) ¤«¿ «¾¡»µ A; B 2 A ±³¹¥±²¢³¥² ¥¤¨±²¢¥»© ¢¥ª²®° v 2 V , ² ª®© ·²® B = A + v ;2) A + 0 = A ¤«¿ «¾¡®£® A 2 A, £¤¥ 0 | ³«¥¢®© ¢¥ª²®°;3) (A + v ) + w = A + (v + w) ¤«¿ «¾¡»µ A 2 A; v; w 2 V .3 ®¡®§ ·¥¨¨ ´´¨®£® ¯°®±²° ±²¢ · ±²® ®¯³±ª ¾² § ª ¯«¾± ¨ ¯¨¸³² ¯°®±²® (A; V ). ª¦¥, ¥±«¨ ¨§ ª®²¥ª±² ¯®¿²®, ª ª®¥ ¯°®±²° ±²¢® V ¨¬¥¥²±¿ ¢ ¢¨¤³, ²® ¨ ¥£® ¥ ³ª §»¢ ¾²¨ £®¢®°¿² ®¡ ´´¨®¬ ¯°®±²° ±²¢¥ A.
«¥¬¥²» ´´¨®£® ¯°®±²° ±²¢ (¨«¨ ¬®¦¥±²¢ A) §»¢ ¾² ²®·ª ¬¨. ¾¡ ¿ ¯ ° ²®·¥ª A; B 2 A ®¤®§ ·® ®¯°¥¤¥«¿¥² ¢¥ª²®° v ° ¢¥±²¢®¬B = A + v (±¢®©±²¢® 1) ¨ ² ª®© ¢¥ª²®° ®¡®§ · ¥²±¿ AB.°¨¬¥°»:1) A | ½²® ®¡»· ¿ ¯«®±ª®±²¼, V | ¤¢³¬¥°®¥ ¢¥ª²®°®¥ ¯°®±²° ±²¢® ¢¥ª²®°®¢ ¯«®±ª®±²¨,+ | ¯°¨«®¦¥¨¥ ¢¥ª²®° ª ²®·ª¥.2) ±±¬®²°¨¬ ±¨±²¥¬³ «¨¥©»µ ³° ¢¥¨© AX = B , £¤¥ A | ¬ ²°¨¶ , X; B | ±²®«¡¶».³±²¼ A | ¬®¦¥±²¢® °¥¸¥¨© ½²®© ±¨±²¥¬», V | ¬®¦¥±²¢® °¥¸¥¨© ±®®²¢²¥²±¢³¾¹¥© ®¤®°®¤®© ±¨±²¥¬» AX = 0, + | ±³¬¬¨°®¢ ¨¥ ±²®«¡¶®¢.
±«¨ XB 2 A ¨ X0 2 V , ²® XB + X0 2 A.3) ®§¼¬¥¬ ª ª®¥-¨¡³¤¼ ¢¥ª²®°®¥ ¯°®±²° ±²¢® V , ¢ ª ·¥±²¢¥ A ¢®§¼¬¥¬ ¥£® ¦¥, + | ®¯¥° ¶¨¿ ±«®¦¥¨¿ ¢ ½²®¬ ¢¥ª²®°®¬ ¯°®±²° ±²¢¥.®±«¥¤¨© ¯°¨¬¥° ¯®ª §»¢ ¥², ·²® ¨¬¥¥²±¿ ¥±²¥±²¢¥®¥ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ¬¥¦¤³ ¢¥ª²®°»¬¨ ¨ ´´¨»¬¨ ¯°®±²° ±²¢ ¬¨, ¨ ²¥®°¨¿ ´´¨»µ ¯°®±²° ±²¢ ¯®«®±²¼¾ ¯ ° ««¥«¼ ²¥®°¨¨¢¥ª²®°»µ ¯°®±²° ±²¢, ¯®½²®¬³ ¢ ¤ «¼¥©¸¥¬ ¬» ®£° ¨·¨¬±¿ ²®«¼ª® ±«³· ¥¬ ¢¥ª²®°»µ¯°®±²° ±²¢, ¯®±²®¿® ¯®¬¿, ·²® ¢±¥ °¥§³«¼² ²» ¬®£³² ¡»²¼ ±´®°¬³«¨°®¢ » ¢ ²¥°¬¨ µ²®·¥ª ¨ ¢¥ª²®°®¢ ´´¨®£® ¯°®±²° ±²¢ . ²®¦¤¥±²¢«¿¿ A ¨ V , ¬» ¡³¤¥¬ ¨®£¤ §»¢ ²¼½«¥¬¥²» ¢¥ª²®°®£® ¯°®±²° ±²¢ ²®·ª ¬¨.1.3 ª²®°¯°®±²° ±²¢®¯°¥¤¥«¥¨¥ 1.3.1 ³±²¼ ¤ ® «¨¥©®¥ ¯°®±²° ±²¢® W , ¥£® ½«¥¬¥² a 2 W ¨ ¥£® ¯®¤¯°®±²° ±²¢® V W .
¨¥©»¬ ¯®¤¬®£®®¡° §¨¥¬ §»¢ ¥²±¿ ¬®¦¥±²¢® ¢±¥µ ¢¥ª²®°®¢ ¢¨¤ a + v, £¤¥ v 2 V .«¿ «¨¥©»µ ¯®¤¬®£®®¡° §¨© ³¤®¡® ¯®«¼§®¢ ²¼±¿ ®¡®§ ·¥¨¥¬ a + V .¥¬¬ ±²° ±²¢ 1.3.2 ¨¥©®¥ ¯®¤¬®£®®¡° §¨¥W²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ a + V ¿¢«¿¥²±¿ «¨¥©»¬ ¯®¤¯°®±²° ±²¢®¬ ¯°®a2 V.®ª § ²¥«¼±²¢®.1) ¥±«¨ a 2 V , ²® a + V = 0 + V = V (±®¢¯ ¤ ¾² ª ª ¬®¦¥±²¢ ).2) ¯³±²¼ a + V ¿¢«¿¥²±¿ ¯®¤¯°®±²° ±²¢®¬.
.ª. a 2 a + V , ²® 2a 2 a + V , ·²® ° ¢®±¨«¼®±³¹¥±²¢®¢ ¨¾ ¥ª®²®°®£® b 2 V , ² ª®£® ·²® 2a = a + b, ® ²®£¤ ¯®«³· ¥¬, ·²® a = b, ².¥.a 2 V.¥¬¬ 1.3.3a1 + V = a2 + V () a1 a2 2 V .®ª § ²¥«¼±²¢®.): ¯³±²¼ a1 + V = a2 + V , ²®£¤ a1 2 a1 + V = a2 + V , § ·¨², ©¤¥²±¿ ² ª®© ¢¥ª²®° b 2 V ,·²® a1 = a2 + b, ².¥. a1 a2 2 V .(: ¯³±²¼ a1 a2 2 V , ².¥. a1 a2 = v 2 V . ®§¼¬¥¬ ¯°®¨§¢®«¼»© ½«¥¬¥² b 2 a1 + V .®£¤ b = a1 + b0 ¤«¿ ª ª®£®-²® ¢¥ª²®° b0 2 V . ®ª ¦¥¬, ·²® b 2 a2 + V . ¥©±²¢¨²¥«¼®,b = a1 + b0 = a2 + (v + b0), ¯°¨·¥¬ v + b0 2 V .¯°¥¤¥«¥¨¥ 1.3.4 ª²®°-¯°®±²° ±²¢®¬ W=V «¨¥©®£® ¯°®±²° ±²¢ W ¯®, ¯®¤¯°®±²° ±²¢³ V §»¢ ¥²±¿ ¬®¦¥±²¢® fa + V : a 2 W g | ¬®¦¥±²¢® ¢±¥µ «¨¥©»µ ¯®¤¬®£®®¡° §¨© ¯°®±²° ±²¢ W , § ¤ »µ ¯®¤¯°®±²° ±²¢®¬ V , ± ®¯°¥¤¥«¥»¬¨ ¥¬ ®¯¥° ¶¨¿¬¨±«®¦¥¨¿, (a + V ) + (b + V ) := (a + b) + V , ¨ ³¬®¦¥¨¿ ±ª «¿°», (a + V ) := a + V .¥¬¬ 1.3.5 ª²®°¯°®±²° ±²¢® «¨¥©®£® ¯°®±²° ±²¢ ± ¬® ¿¢«¿¥²±¿ «¨¥©»¬¯°®±²° ±²¢®¬.4®ª § ²¥«¼±²¢®.1) · « ¤®ª ¦¥¬, ·²® ¢¢¥¤¥»¥ ¬¨ ¢ ´ ª²®°¯°®±²° ±²¢¥ ®¯¥° ¶¨¨ ª®°°¥ª²», ².¥.ª ª¨¥ ¡» ¬» ¨ ¡° «¨ ½«¥¬¥²» ¯®¤¬®£®®¡° §¨© ¢ ª ·¥±²¢¥ a ¨ b, ¬» ¯®«³·¨¬ ®¤® ¨ ²® ¦¥¯®¤¬®£®®¡° §¨¥.
®ª ¦¥¬ ½²® ¤«¿ ±«®¦¥¨¿ (¤«¿ ³¬®¦¥¨¿ ¤®ª §»¢ ¥²±¿ «®£¨·®): ¥±«¨a1 + V = a2 + V , b1 + V = b2 + V ²® a1 a2 = v 2 V , b1 b2 = w 2 V , ¯®½²®¬³ (a1 + b1) + V =(a2 + b2 + v + w) + V = (a2 + b2) + (v + w) + V = (a2 + b2) + V , ².¥. ±«®¦¥¨¥ ®¯°¥¤¥«¥® ª®°°¥ª²®.2) °®¢¥°¨¬ ±¢®©±²¢ «¨¥©®£® ¯°®±²° ±²¢ . ¢¨¤³ ¯°®±²®²» ®£° ¨·¨¬±¿ ¯°®¢¥°ª®© ®¤®£® ¨§ ¢®±¼¬¨ ±¢®©±²¢, ¯°¨¬¥° 5).((a + V ) + (b + V )) = ((a + b) + V ) = (a + b) + V == (a + b) + V = (a + V ) + (b + V ) == (a + V ) + (b + V ):1.4¨¥© ¿ § ¢¨±¨¬®±²¼ ¢¥ª²®°®¢¯°¥¤¥«¥¨¥ 1.4.1 ³±²¼ ¤ ® «¨¥©®¥ ¯°®±²° ±²¢® V ¨ ¥ª®²®° ¿ ±¨±²¥¬ (¬®¦¥±²¢®)¢¥ª²®°®¢ fvi : i 2 I g V ½²®£® ¯°®±²° ±²¢ .
±«¨ ¬®¦¥±²¢® ¨¤¥ª±®¢ I ( , § ·¨², ¨ ±¨±²¥¬ ¢¥ª²®°®¢) ª®¥·® (I = f1; : : : ; ng), ¨µ «¨¥©®© ª®¬¡¨ ¶¨¥© §»¢ ¥²±¿ ¢»° ¦¥¨¥ ¢¨¤ 1v1 + : : : + nvn, £¤¥ i | ½²® ·¨±« (±ª «¿°») ¨§ ¯®«¿ K. ±«¨ ¬®¦¥±²¢® I ¡¥±ª®¥·®, «¨¥©®©¡¥±ª®¥·®© ±¨±²¥¬» ¢¥ª²®°®¢ §»¢ ¥²±¿ ¢»° ¦¥¨¥ «®£¨·®£® ¢¨¤ ,P vª®¬¡¨ ¶¨¥©,¢ª®²®°®¬«¨¸¼ ª®¥·®¥ ·¨±«® ±ª «¿°®¢ i ®²«¨·® ®² ³«¿.iii2I¯°¥¤¥«¥¨¥ 1.4.2 ¨¥©®© ®¡®«®·ª®© ±¨±²¥¬» ¢¥ª²®°®¢ «¨¥©®£® ¯°®±²° ±²¢ §»¢ ¥²±¿ ¬®¦¥±²¢® ¢±¥µ ¢¥ª²®°®¢, ¿¢«¿¾¹¨µ±¿ ¨µ «¨¥©®© ª®¬¡¨ ¶¨¥©.¨¥© ¿ ®¡®«®·ª ±¨±²¥¬» ¢¥ª²®°®¢ e1 ; : : : ; en · ±²® ®¡®§ · ¥²±¿ he1; : : : ; en i.¯°¥¤¥«¥¨¥ 1.4.3 ¨±²¥¬ ¢¥ª²®°®¢ fai : i 2PI g §»¢ ¥²±¿ «¨¥©® § ¢¨±¨¬®©, ¥±«¨±³¹¥±²¢³¾² ·¨±« i , ¥ ¢±¥ ° ¢»¥ ³«¾, ² ª¨¥, ·²® k2I i ai = 0, ¢ ¯°®²¨¢®¬ ±«³· ¥ ±¨±²¥¬ ¢¥ª²®°®¢ §»¢ ¥²±¿ «¨¥©® ¥§ ¢¨±¨¬®©.¥¬¬ 1.4.4 ±«¨ ±¨±²¥¬ ¢¥ª²®°®¢¥²±¿ «¨¥©®© ª®¬¡¨ ¶¨¥© ®±² «¼»µ.fai : i 2 I g «¨¥©® § ¢¨±¨¬ , ²® ®¤¨ ¨§ ¨µ ¿¢«¿-®ª § ²¥«¼±²¢®.
³±²¼ 1a1 + : : : + k ak = 0, ¯°¨·¥¬ ±³¹¥±²¢³¥² i 6= 0, ²®£¤ ¨¬¥¥¬iai = 1a1 : : : i 1ai 1 i+1 ai+1 : : :k ak , ³¬®¦¨¢ ®¡¥ · ±²¨ ½²®£® ° ¢¥±²¢ i 1,¯®«³·¨¬, ·²® ai ¥±²¼ «¨¥© ¿ ª®¬¡¨ ¶¨¿ ®±² «¼»µ ¢¥ª²®°®¢.¥¬¬ 1.4.5 ±«¨ ±¨±²¥¬ ¢¥ª²®°®¢ a1 ; : : : ; an «¨¥©® ¥§ ¢¨±¨¬ , ±¨±²¥¬ ¢¥ª²®°®¢a1 ; : : : ; an ; an+1 «¨¥©® § ¢¨±¨¬ , ²® an+1 ¿¢«¿¥²±¿ «¨¥©®© ª®¬¡¨ ¶¨¥© ¢¥ª²®°®¢ a1; : : : ; an .®ª § ²¥«¼±²¢®. «®£¨·® ¤®ª § ²¥«¼±²¢³ ¯°¥¤»¤³¹¥© «¥¬¬», ± ²¥¬ «¨¸¼ § ¬¥· ¨¥¬,·²® ¥±«¨ n+1 = 0, ²® ¥³«¥¢®© ª®½´´¨¶¨¥² i µ®¤¨²±¿ ±°¥¤¨ ¯¥°¢»µ n ±ª «¿°®¢, ® ²®£¤ ¯¥°¢»¥ n ¢¥ª²®°®¢ «¨¥©® § ¢¨±¨¬», ·²® ¯°®²¨¢®°¥·¨² ¯°¥¤¯®«®¦¥¨¾.e1; : : : ; en ¨ ¯³±²¼ ±³¹¥f ; : : : ; f 2 he ; : : : ; eni, ²®£¤ m 6 n.¥¬¬ 1.4.6 ³±²¼ ¤ «¨¥©® ¥§ ¢¨±¨¬ ¿ ±¨±²¥¬ ¢¥ª²®°®¢±²¢³¥² «¨¥©® ¥§ ¢¨±¨¬ ¿ ±¨±²¥¬ ¢¥ª²®°®¢ 1m15®ª § ²¥«¼±²¢®.