Домашняя контрольная работа 1
Описание файла
PDF-файл из архива "Домашняя контрольная работа 1", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
Å. Å. Òûðòûøíèêîâ11. Ïóñòü G ãðóïïà ñ åäèíèöåé e. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè a2 = e äëÿ ëþáîãî a ∈ G, òî ãðóïïà Gàáåëåâà.2. Ìàòðèöà A ïîðÿäêà n êîììóòèðóåò ñî âñåìè äèàãîíàëüíûìè ìàòðèöàìè ïîðÿäêà n: AB = BAäëÿ âñåõ äèàãîíàëüíûõ ìàòðèö B ïîðÿäêà n. Äîêàæèòå, ÷òî A äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ñ ðàâíûìè ýëåìåíòàìè íà äèàãîíàëè.13. Íàéòè âñå ïîäãðóïïû ãðóïïû öåëûõ ÷èñåë Z îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè ñëîæåíèÿ ÷èñåë.4. Äîêàæèòå, ÷òî â ëþáîé áåñêîíå÷íîé ãðóïïå ÷èñëî ðàçëè÷íûõ ïîäãðóïï áåñêîíå÷íî.5.
 êîíå÷íîé ãðóïïå G âûáðàíû ïîäãðóïïû H1 è H2 ïîðÿäêà n1 è n2 , ñîîòâåòñòâåííî. Äîêàæèòå,÷òî ÷èñëî ýëåìåíòîâ â ìíîæåñòâå H1 H2 = {g ∈ G : g = h1 h2 , h1 ∈ H1 , h2 ∈ H2 } ðàâíî n1 n2 /d, ãäåd ÷èñëî ýëåìåíòîâ â ïåðåñå÷åíèè H1 ∩ H2 .6. Êàêèå ñìåæíûå êëàññû ÿâëÿþòñÿ ïîäãðóïïàìè?7. Äîêàæèòå, ÷òî ëþáàÿ àáåëåâà ãðóïïà ïîðÿäêà pq, ãäå p è q ðàçëè÷íûå ïðîñòûå ÷èñëà, ÿâëÿåòñÿöèêëè÷åñêîé.8. Äîêàæèòå, ÷òî ãðóïïà ïîëîæèòåëüíûõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë îòíîñèòåëüíî óìíîæåíèÿ íå èçîìîðôíà ãðóïïå âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë ñ îïåðàöèåé ñëîæåíèÿ.9.
Íàéäèòå âñå ãðóïïû, èçîìîðôíûå ëþáîé ñâîåé íååäèíè÷íîé ïîäãðóïïå.10. Ïî çàäàííûì íåíóëåâûì ÷èñëàì a0 , . . . , a2n ñîñòàâëåíû ìàòðèöûa0a1Ak = a2 ...aka1a2a3...ak+1a2a3a4...ak+2...ak... ak+1 (k+1)×(k+1)... ak+2 ,∈R......... a2kk = 1, . . . , n,ïðè ýòîì ñòîëáöû êàæäîé èç íèõ ëèíåéíî çàâèñèìû.
Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò ÷èñëî q òàêîå,÷òî ak = a0 qk , 0 ≤ k ≤ 2n.11. Äëÿ êàæäîãî n íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà a, ïðè êîòîðûõ ñòîëáöû òðåõäèàãîíàëüíîéìàòðèöûa−1A=1a1... ... ...−1 a 1−1 aïîðÿäêà n ëèíåéíî íåçàâèñèìû.12. Ñèñòåìà ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé âèäàa0a1a2a1a0a1 a2x11a1 x2 = 0 .a0x30èìååò ðåøåíèå, ïðè÷åì x1 6= 0. Äîêàæèòå, ÷òî ñòîëáöû ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ ëèíåéíî íåçàâèñèìû.13. Äîêàæèòå, ÷òî âñå ìíîæåñòâî ïîäñòàíîâîê ñòåïåíè n ìîæíî óïîðÿäî÷èòü òàêèì îáðàçîì, ÷òîêàæäàÿ ñëåäóþùàÿ ïîäñòàíîâêà áóäåò ïîëó÷àòüñÿ èç ïðåäûäóùåé ïóòåì óìíîæåíèÿ ñïðàâà íàíåêîòîðóþ òðàíñïîçèöèþ.14.
Äîêàæèòå, ÷òî ëþáóþ ÷åòíóþ ïîäñòàíîâêó ñòåïåíè n ≥ 3 ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ öèêëîâ äëèíû 3.15. Äîêàæèòå, ÷òî ëþáàÿ ãðóïïà ïîðÿäêà n èçîìîðôíà íåêîòîðîé ïîäãðóïïå ãðóïïû âñåõ ïîäñòàíîâîê ñòåïåíè n.1 Òàêèå ìàòðèöû íàçûâàþòñÿñêàëÿðíûìè.216. Äîêàçàòü, ÷òî ëþáàÿ ïîäãðóïïà öèêëè÷åñêîé ãðóïïû ÿâëÿåòñÿ öèêëè÷åñêîé.17. Ïóñòü H ìíîæåñòâî âñåõ ýëåìåíòîâ ãðóïïû G, êîììóòèðóþùèõ ñ ëþáûì ýëåìåíòîì èç G.Äîêàçàòü, ÷òî H íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïà. Äîêàçàòü òàêæå, ÷òî åñëè ôàêòîð-ãðóïïà G/H öèêëè÷åñêàÿ, òî G ÿâëÿåòñÿ àáåëåâîé ãðóïïîé.18.
Ïóñòü G êîíå÷íàÿ ãðóïïà. Ýëåìåíòû a, b ∈ G íàçûâàþòñÿ, åñëè b = hah−1äëÿ íåêîòîðîãî h ∈ G. Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî ýëåìåíòîâ, ñîïðÿæåííûõ ñ a, ÿâëÿåòñÿ äåëèòåëåìïîðÿäêà ãðóïïû G.19. Íàéòè âñå îáðàòèìûå ìàòðèöû A ïîðÿäêà n, äëÿ êîòîðûõ âñå ýëåìåíòû A è A−1 íåîòðèöàòåëüíû.Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ òàêèõ ìàòðèö îáðàçóåò ãðóïïó îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè óìíîæåíèÿìàòðèö.20. Ïóñòü A, B ïðîèçâîëüíûå ìàòðèöû ïîðÿäêà n; I è 0 åäèíè÷íàÿ è íóëåâàÿ ìàòðèöû ïîðÿäêàn. Äîêàçàòü, ÷òî−1 ñîïðÿæåííûìèI0021.22.23.24.25.26.27.A 0I B0 II= 00−A ABI−B .0I(Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ëþáîé àëãîðèòì âû÷èñëåíèÿ îáðàòíîé ìàòðèöû ïîðÿäêà n ñ ÷èñëîì îïåðàöèé s(n) ïîðîæäàåò àëãîðèòì óìíîæåíèÿ ìàòðèö ïîðÿäêà n ñ ÷èñëîì îïåðàöèé s(3n)).ßâëÿåòñÿ ëè ãðóïïà íåâûðîæäåííûõ âåðõíèõ òðåóãîëüíûõ ìàòðèö íîðìàëüíûì äåëèòåëåì ãðóïïû âñåõ íåâûðîæäåííûõ ìàòðèö äàííîãî ïîðÿäêà?Äàíû ìàòðèöû-ñòîëáöû u1 , .
. . , uk , v1 , . . . , vk ∈ Rn è A = u1 v1> + ... + uk vk> . Äîêàçàòü, ÷òîdet A = 0, åñëè k < n.Ìàòðèöà B ñ îïðåäåëèòåëåì b = det B ïîëó÷åíà èç A ñ îïðåäåëèòåëåì a = det A ïðèáàâëåíèåì÷èñëà c 6= 0 ê êàæäîìó ýëåìåíòó. Íàéòè ñóììû àëãåáðàè÷åñêèõ äîïîëíåíèé âñåõ ýëåìåíòîâ(ïîäìàòðèö ïîðÿäêà 1) äëÿ A è äëÿ B .Äîêàæèòå, ÷òî ëþáóþ íåâûðîæäåííóþ ìàòðèöó ìîæíî ñäåëàòü âûðîæäåííîé, èçìåíèâ ëèøüîäèí èç åå ýëåìåíòîâ.Ïóñòü In è Im åäèíè÷íûå ìàòðèöû ïîðÿäêà n è m.
Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáûõ ìàòðèö Aðàçìåðîâ m × n è B ðàçìåðîâ n × m èç îáðàòèìîñòè Im − AB âûòåêàåò îáðàòèìîñòü In − BA.Äîêàæèòå, ÷òî det(I + F ) 6= 0, åñëè êàæäûé ýëåìåíò ìàòðèöû-âîçìóùåíèÿ F ïîðÿäêà n ïîìîäóëþ ìåíüøå 1/n.Ïóòü A n×n-ìàòðèöà ðàíãà k, à B ëþáàÿ íåâûðîæäåííàÿ ïîäìàòðèöà ïîðÿäêà k. Îáîçíà÷èì÷åðåç R ïîäìàòðèöó ðàçìåðîâ k × n, ñîñòîÿùóþ èç ñòðîê ìàòðèöû A, ñîäåðæàùèõ ïîäìàòðèöóB , à ÷åðåç C ïîäìàòðèöó ðàçìåðîâ n × k , ñîñòîÿùóþ èç ñòîëáöîâ, ñîäåðæàùèõ B . Äîêàçàòü,÷òî−1A = CBR.28.
Ïóñòü A è B ìàòðèöû ðàíãà 1. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè AB = BA, òî ðàíã ìàòðèöû A + B íåáîëüøå 1.29. Ìàòðèöà A èìååò r ñòîëáöîâ, à ìàòðèöà B èìååò r ñòðîê. Äîêàæèòå, ÷òîr ≥ rank(A) + rank(B) − rank(AB).30. Íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà è îáðàòíàÿ ê íåé ðàçáèòû íà áëîêè îäèíàêîâûõ ðàçìåðîâ:A=A11A21A12,A22A−1 =B11B21B12.B22Äîêàçàòü, ÷òî áëîê A11 íåâûðîæäåí òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà íåâûðîæäåí áëîê B22 .31. Âû÷èñëèòü îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ïîðÿäêà n ñ ýëåìåíòàìè (xi + yj )n−1 ..
