С.М. Гусейн-Заде - Программа экзамена по аналитической геометрии

Программа экзамена по аналитической геометрииЛектор — Сабир Меджидович Гусейн-Заде1 семестр, 2002, 2004 г.2004 г.1. Координаты на плоскости и в пространстве. Координаты точек и координаты векторов.2. Замена координат на плоскости и в пространстве.3. Скалярное произведение векторов. Скалярное произведение в координатах (в ортогональных и произвольных аффинных координатах).4. Ортогональные (сохраняющие ориентацию) замены координат на плоскости.5.

Деление отрезка в данном отношении.6. Прямая на плоскости. Параметрическое задание и задание уравнением.7. Задание полуплоскости неравенством. Системы линейных неравенств на плоскости.8. Расстояние от точки до прямой на плоскости. Нормальное уравнение прямой.9. Пучок прямых на плоскости. Собственные и несобственные пучки.10. Плоскость в пространстве. Параметрическое задание и задание уравнением.11. Расстояние от точки до плоскости.

Нормальное уравнение плоскости.12. Прямая в пространстве. Параметрическое задание и задание уравнением.13. Пучок плоскостей в пространстве. Условие принадлежности плоскости пучку, определенному двумя плоскостями.14. Связка плоскостей в пространстве. Условие принадлежности плоскости связке, определенной тремя плоскостями.15. Векторное произведение векторов. Определение и основные свойства.

Вычисление векторного произведения в ортогональных координатах.16. Ориентированная площадь параллелограмма на плоскости и ориентированный объем параллелепипеда впространстве. Выражение ориентированной площади и ориентированного объема через определитель.17. Выражение объема параллелограмма через скалярное произведение и векторное произведение (смешанноепроизведение).18. Свойства векторного произведения.19. Матричная запись замен координат на плоскости и в пространстве.20. Ортогональные замены координат на плоскости и в пространстве.21. Матрица Грама системы векторов. Связь с площадью и объемом.22.

Ортогональные замены координат в пространстве. Углы Эйлера.23. Алгебраические кривые на плоскости. Теорема «об отщеплении прямой».24. Плоские кривые второй степени. Аффинная классификация.25. Ортогональная классификация кривых второй степени. Приведение к каноническому виду.26. Квадратичные формы от двух и от трех переменных.

Матрица квадратичной формы и ее изменение призаменах координат.27. Инварианты кривой второй степени.28. Полуинвариант кривой второй степени.29. Определения канонического уравнения кривой второй степени через значения инвариант и полуинвариант.30. Сопряженные диаметры кривой второй степени. Касательные к кривой второго порядка.31. Эллипс и его геометрические свойства.32. Гипербола и ее геометрические свойства.33.

Парабола и ее геометрические свойства.34. Задание кривой второй степени в полярных координатах. Рациональная параметризация кривой второгопорядка.35. Поверхность второй степени. Аффинная классификация.136. Ортогональная классификация поверхностей второго порядка. Приведение уравнения к каноническомувиду.37. Инварианты поверхности второй степени. Частичная классификация поверхностей второй степени с помощью инвариантов.38.

Плоскость, сопряженная к направлению для поверхности второго степени. Касательные плоскости к поверхности второго порядка. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка.39. Кривые второго порядка как конические сечения.40. Аффинные преобразования.41. Изменение матрицы аффинного преобразования при замене координат. Определитель аффинного преобразования и его геометрический смысл.42. Ортогональные преобразования (изометрии) плоскости.43. Ортогональные преобразования (изометрии) пространства.44. Представимость любого аффинного преобразования в виде композиции изометрии и растяжений.45.

Соответствие между точками и пучками прямых на плоскости. Пополнение аффинной плоскости. Проективная плоскость.46. Проективные преобразования плоскости. Связь с проектированием в пространстве.47. Проективный инвариант четырех точек на прямой (двойное отношение).48. Проективные (однородные) координаты на проективной плоскости. Прямая на проективной плоскости.49. Двойственность точек и прямых на проективной плоскости. Двойственные утверждения.50. Кривые второго порядка на проективной плоскости.

Классификация.51. Кривые второго порядка, проходящие через пятерки и четверки точек на проективной плоскости.52. Двойственность кривых второй степени на проективной плоскости. Теорема Паскаля и Брианшона.53. Проективное пространство. Однородные координаты. Плоскости в проективном пространстве. Двойственность точек и плоскостей.54. Прямые в проективном пространстве. Плюккеровы координаты.22002 г.1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.40.41.42.43.Координаты.

Замена координат. Скалярное произведение. Ортогональные замены координат.Деление отрезка в заданном отношении.Прямая на плоскости.Задание полуплоскости системой линейных неравенств.Расстояние от точки до прямой. Нормальное уравнение прямой.

Пучок прямых.Плоскость в пространстве. Расстояние от точки до плоскости. Нормальное уравнение плоскости.Прямая в пространстве.Пучок плоскостей, условия принадлежности плоскости пучку. Связка плоскостей, условия принадлежности плоскости связке.Векторное произведение и его вычисление в ортогональных системах координат.Ориентированная площадь и объём.Выражение объема через векторное и смешанное произведение.Свойства векторного произведения.Матричная запись замен координат. Ортогональные замены координат и ортогональные матрицы.Матрица Грама и ее связь с площадью и объемом.Ортогональные системы координат в пространстве.

Углы Эйлера.Алгебраические кривые. Теорема об отщеплении прямой.Кривые второго порядка (КВП). Аффинная классификация.Ортогональная классификация КВП. Приведение к каноническому виду.Квадратичная форма и ее изменение при заменах координат.Инварианты КВП. Полуинвариант КВП.Определение канонического уравнения по инвариантам.Касательные, сопряженные диаметры КВП.Эллипс.

Гипербола. Парабола.Полярные уравнения КВП и их рациональная параметризация.Поверхности второго порядка (ПВП). Аффинная классификация.Ортогональная классификация ПВП.Приведение к каноническому виду.Инварианты ПВП. Частичная классификация ПВП.Плоскость, сопряжённая к направлению для ПВП. Касательные плоскости и образующие.Конические сечения.Аффинные преобразования и их матричная запись. Ортогональные аффинные преобразования.Изменение матрицы аффинного преобразования при замене координат.

Определитель матрицы преобразования и его геометрический смысл.Изометрия плоскости и пространства.Представление аффинного преобразования в виде изометрии и растяжения.Соответствие между точками и пучками. Пополнение плоскости несобственными точками. RP2 .Проективные преобразования плоскости и их связь с проектированием в пространстве.Двойное отношение - проективный инвариант.Однородные координаты. Прямая на RP2 .Двойственность точек и прямых.КВП на RP2 . Классификация КВП.КВП по 5 точкам.Двойственность КВП на RP2 .Теорема Паскаля и Брианшона.Последняя компиляция: 19 февраля 2006 г.Обновления документа — на сайте http://dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.3.