К.А. Постнов, А.В. Засов - Курс общей астрофизики, страница 5

ниже и Приложение).2.2.3. Спектр абсолютно черного телаВажнейший пример теплового излучения представляет собойизлучение абсолютно черного тела (АЧТ). Излучение АЧТ находится в полном термодинамическом равновесии со средой и потому называется равновесным излучением. Спектр АЧТ описываетсяфункцией Планка Iν = Bν (T ) и зависит только от температуры T .Поле равновесного излучения строго изотропно (т.е. полный поток через произвольно ориентированную площадку строго равеннулю). Излучение АЧТ неполяризовано.Напомним основные свойства функции Планка для равновесного излучения.

Эта функция может быть записана в виде удельной интенсивности в единичном интервале частот с размерностью[эрг/(см2 ·c·Гц·стер)]Bν (T ) =2hν 3 hν(e kT − 1)−1 ,c2(2.6)или длин волн ([эрг/(см3 ·c·стер)])Bλ (T ) =2hc2 hc(e λkT − 1)−1 .λ5(2.7)Функция Планка для разных температур изображена на рис. (2.3).Рассмотрим предельные случаи и свойства функции Планка.Глава 2. Излучение и поглощение ЭМ-волн в среде26λ (см)10610410210Z2110Z810Z1010Z12ν (Гц)10610810101012 10141016102210451012108 oK1040107 oK106 oK1010410351030105 oK1025104 oK1103 oK10Z410202 oK1010 oK10Z18101510101 oK10510Z12Bλ[эрг/(с·см3·стер)]8Bν[эрг /(с·см2·Гц·стер)]1018 1020110Z1610Z510Z2010Z101041061081010ν10610410211012 1014ν (Гц)10Z2101610Z410Z61018 102010Z810Z10102210Z12λ (см)Рис.

2.3. Спектр АЧТ1. Закон Рэлея–Джинса, hν kT :BνRJ (T ) =2ν 2kT.c2(2.8)Обратим внимание, что в выражение для интенсивности в этомслучае не вошла постоянная Планка, т.е. в этом пределе формулаописывает чисто классическое излучение. Попытка экстраполировать закон Рэлея–Джинсав областьболее высоких частот приводит к расходимости, IνRJ dν ∼ ν 2 dν → ∞ (“ультрафиолетоваякатастрофа”)2.2. Излучение абсолютно черного тела272. Закон Вина, hν kT :BνW =2hν 3 − hνe kT .c2(2.9)3. Монотонное изменение интенсивности с температурой:> 0 на всех ν. Это означает, что кривые функции Планка дляразных температур нигде не пересекаются друг с другом, планковская кривая с температурой T2 > T1 целиком лежит выше кривой стемпературой T1 .4. Закон смещения Вина.

Определим максимум в спектре АЧТ.Для интенсивности на единичный интервал частот Bν (T ) имеем∂Bν∂T∂Bν= 0 → hνmax ≈ 2.82kT.∂νМаксимум функции Bλ (T ) для интенсивности на единичный интервал длин волн будет иным:∂Bλ= 0 → λmax ≈ 0.29 (см)/T.∂λ(2.10)Подчеркнем, что λmax νmax = c !5. Закон Стефана–Больцмана. Полный поток энергии с площадки, излучающей как АЧТ, в полусферу пропорционален четвертой степени температуры.∞ Bν cos θdΩdν = πF =Bν dν = σB T 4 ,(2.11)062π k≈ 5.67 · 10−5 [эрг/(см2 ·c·град)] – постояннаягде σB = 15c5 h3Стефана–Больцмана.6. Плотность энергии и давление равновесного излучения.Плотность энергии АЧТ1ubb =c∞04πBν (T )dνdΩ =c∞Bν dν ,0(2.12)28Глава 2. Излучение и поглощение ЭМ-волн в средеили пользуясь результатом (2.11)ubb =4σB 4T = ar T 4 ,c(2.13)где ar ≡ 4σB /c ≈ 7.565 · 10−15 [эрг/(см3 ·град4 )] – постоянная излучения.

Давление равновесного излучения при этом равноar T 4,3pbb =(2.14)где множитель 1/3 учитывает равнораспределение энергии фотонов по трем пространственным координатам.7. Средняя энергия “чернотельного” фотона. По определению,это величина γ = u/nγ , где u – плотность энергии, nγ – средняя концентрация квантов.

Для АЧТ плотность энергии описывается уравнением (2.12), а средняя концентрация квантов4πnγ =c∞0Делая замену переменных x =Bν (T )Bν dν ∝ T 3 .hνhνkT(2.15)в интегралах, приходим к∞ x3 dxex −1 2.7kT.γ = kT 0∞x2 dx0(2.16)ex −1Полезное приближение для плотности числа фотонов чернотельного излучения получается с использованием приближенияВина для спектра АЧТ и закона смещения Вина (2.10):nγ 1 1,2 λ3maxгде λmax – длина волны, соответствующая максимуму в спектреАЧТ (2.10). Например, для реликтового излучения в современнуюэпоху во Вселенной T ≈ 2.7 K, λmax 0.1 см, поэтому среднее число реликтовых фотонов в единице объема nγ ∼ 500 см−3 .2.3.

Перенос излучения в среде и формирование спектра292.3. Перенос излучения в среде и формирование спектраПерейдем к описанию распространения излучения в среде. Взаимодействие излучения и вещества можно рассматривать на различных физических уровнях.

Для наших целей будет достаточновведения макроскопических коэффициентов излучения и поглощения света, хотя расчет самих коэффициентов в зависимости отчастоты фотона и физических характеристик среды представляетсамостоятельную задачу и проводится классическими электродинамическими и квантовыми методами.

Отметим, что фотоны изпучка, распространяющегося в определенном направлении, могутвыбывать не только из-за поглощения, но и за счет рассеяния. Например, рассеяние на свободных электронах очень важно для высокотемпературной плазмы (горячие короны звезд, ранняя Вселенная до рекомбинации).

Здесь мы подробно рассмотрим случай, когда рассеяние отсутствует. Некоторые вопросы о влиянии рассеяния на перенос излучения описаны в Приложении.2.3.1. Коэффициент излученияКоэффициентом излучения называется энергия, излучаемаяединицей объема среды за единицу времени в интервале частотν, ν + dν в направлении, характеризуемом элементом телесного угла dΩ:dEν = jν dV dΩdt .(2.17)Размерность jν − [эрг/(см3 ·c·стер)]. Для изотропных излучателейjν = Pν /4π, где Pν = dEν /dt − излучаемая единицей объема мощность.В излучающей среде без поглощения за время dt фотоны в заданном направлении проходят путь ds = cdt и добавка к интенсивности из элементарного объема dV = cdtdA (здесь dA − единичнаяплощадь сечения пучка) будет dIν = jν ds. Таким образом, уравнение переноса приобретает видdIν= jν .ds(2.18)30Глава 2.

Излучение и поглощение ЭМ-волн в средеС математической точки зрения dI/ds есть просто производная поля I по направлению, вдоль которого отсчитывается аффинный параметр s.В важном частном случае теплового излучения объемный коэффициент излучения пропорционален квадрату плотности среды, т.к. все элементарные процессы излучения как в непрерывномспектре, так и в линиях (свободно-свободное, свободно-связанное,связанно-связанное) – бинарные, т.е. требуют наличия двух взаимодействующих частиц (электронов и ионов): dE/dt/dV ∝ ne ni ∝ρ2 . Коэффициент пропорциональности является функцией температуры газа и подробнее будет обсуждаться далее в главе “Межзвездная среда”.2.3.2.

Коэффициент поглощения и оптическая толщаКоэффициент поглощения. При прохождении пути ds в поглощающей среде часть фотонов выбывает из пучка (поглощается), итакимобразомфеноменологическиможнозаписатьdIν = −αν Iν ds, где [αν ] = см−1 – коэффициент поглощения, зависящий от физических параметров среды. Интенсивность пучкауменьшается после прохождения расстояния x от точки x = 0 доточки x по экспоненциальному закону⎡ x⎤(2.19)Iν = Iν (0) exp ⎣− αν dx⎦ .0Иногда вводят коэффициент поглощения на грамм пройденноговещества, αν = ρκν . В этом случае коэффициент κν с размерностью [см2 /г] называется коэффициентом непрозрачности.

Физический смысл коэффициента поглощения прост. Отнесенный к одному атому, этот коэффициент αν /n ≡ σν зависит только от свойствсамого атома. Его величина имеет размерность см2 и носит название эффективного сечения поглощения. Поглощение можно представить себе так, будто каждый атом заменен неким малым непрозрачным диском, перпендикулярным к направлению пучка, попадая в который квант “застревает” (поглощается). Если площадь2.3. Перенос излучения в среде и формирование спектра31каждого диска σν , а их число в единице объема n, то полная площадь всех дисков в слое газа с площадью 1 см2 и толщиной ds равна nσν ds. Отсюда непосредственно получаем dIν = −nσν Iν ds.Замечание.

Коэффициент поглощения может быть как положительным (истинное поглощение), так и отрицательным, т.к. средиэлементарных процессов испускания и поглощения света атомамивсегда присутствует вынужденное (индуцированное) излучение,пропорциональное, как и поглощение, падающей интенсивности.Хорошо известный пример из оптики – квантовый генератор излучения (лазер). В космических условиях также возможно образование инверсной заселенности уровней (космические мазеры). Мыобсудим этот вопрос подробнее в главе, посвященной межзвезднойсреде.Оптическая толща. Это безразмерная характеристика, определяющая поглощение вдоль луча распространения света:dτν = αν ds,(2.20)или в пределах от s0 до ssτν =α(s )ds(2.21)s0(иногда отсчет расстояния ведется в обратном направлении от наблюдателя к источнику, тогда в определении оптической толщи появляется знак минус).

С учетом (2.20) изменение Iν в среде с поглощением выразится простым соотношением Iν = Iν (0) exp{−τν }.Если τν 1, то реализуется оптически толстый случай (среданепрозрачна для излучения); если τν 1 – оптически тонкий случай (среда прозрачна для излучения).Важность понятия оптической толщи вытекает из ее связи сдлиной свободного пробега фотона. Рассмотрим однородную средубез излучения. Средняя длина свободного пробега фотона определяется из условия τν = αν lν = 1,lν =11=,ανnσν(2.22)Глава 2.