Предел композиции функций

ПРЕДЕЛ КОМПОЗИЦИИ ФУНКЦИЙВы могли задуматься, почему вычислении пределовax − 1ln(1 + x)и limlimx→0x→0xxмы пользовались теоремой о непрерывности композиции функций и ни словом не обмолвилисьо кажущейся естественной теореме о пределе композиции функций.Дело в том, что правильно сформулировать теорему о пределе композиции функций несколько сложнее, чем теорему о непрерывности композиции функций, и, чтобы не запутаться, можновсегда обходиться построением соответствующих непрерывных функций и их композиции.Внимание! Сейчас будет сформулировано неверное утверждение!«Теорема». Пусть функция y = f (x) определена в некоторой проколотой окрестности точки x = a, причём limx→a f (x) = b.

Пусть функция z = g(y) определена в некоторой проколотойокрестности точки y = b, причём limy→b g(y) = c. Тогда 1) сложная функция F (x) ≡ g(f (x))определена в некоторой проколотой окрестности точки x = a и 2) limx→a F (x) = c. (НЕВЕРНО!!!)Задание. 1. Показать, что каждое из утверждений данной теоремы неверно.

Для этогорассмотреть примеры:а) f (x) = x sin x1 , g(y) =sin y,yб) f (x) = x sin x1 , g(y) = | sgn y|,в) f (x) = 0, g(y) = | sgn y|.Объяснить, в чём заключаются «проблемы» и каковы их «источники».2. Изменить формулировку «теоремы» так, чтобы утверждение стало верным.

Это можносделать двумя способами:1) потребовать, чтобы функция g(y) («внешняя») была непрерывной в точке y = b, и тогдабудет верно, что limx→a g(f (x)) = g(limx→a f (x));2) не изменять требования на функцию g(y), но наложить дополнительное требование на функцию f (x).Анализ приведённых в задании 1 примеров должен помочь вам правильно сформулироватьнужные условия и доказать верные утверждения. Требуется подробно доказать получившиесятеоремы.3. Пользуясь доказанными вами теоремами, подробно объяснить вычисление пределов:sin 5x 5xsin 5xsin tsin 5x= lim·= lim· 5 = lim·5=5x→0 5xx→0 5xt→0 tx→0xx(теорема из п. 2) части 2 задания);11lim sin x sin= sin lim x sin= sin 0 = 0x→0x→0xxlim(теорема из п. 1) части 2 задания).4.

Придумать свои примеры вычисления пределов типа двух предложенных, а также своиконтрпримеры в духе части 1 задания.1.