Программа экзаменов по высшей алгебре 1 и 3 семестры, страница 2

Прямая сумма колец.42. Модули над алгеброй (линейные представления алгебр). Интерпретация на языке линейных операторови матриц. Изоморфизм (эквивалентность) линейных представлений. Линейные представления конечныхгрупп как модули над групповой алгеброй. Регулярное представление алгебры (группы).43. Простые модули (неприводимые представления). Интерпретация приводимости на языке инвариантныхподпространств. Аннуляторы модуля n элементов модуля.

Циклические модули. Простые модули как фактормодули кольца по максимальному левому идеалу.44. Алгебра эндоморфизмов модуля. Лемма Шура. Неприводимые представления коммутативной алгебры(группы) над полем комплексных чисел.45. Полупростые модули (вполне приводимые представления), их характеризация. Полупростота подмодулейи фактормодулей полупростого модуля.46. Полупростые алгебры, полупростота модулей над ними.

Вхождение любого неприводимого представления в регулярное. Однозначная определенность кратностей вхождения простых модулей в разложениеполупростого модуля.47. Характеризация полупростых алгебр в терминах нильпотентных левых идеалов.48. Характеры линейных представлений. Сепарабельные алгебры и их полупростота. Теорема Машке.49. Ортогональные и унитарные представления групп.50. Теорема о кратности вхождения неприводимого комплексного представления в регулярное.51. Разложение полупростой алгебры над полем комплексных чисел в прямую сумму матричных алгебр. Числонеприводимых комплексных представлений.52.

Одномерные комплексные представления групп.53. Неприводимые комплексные представления групп S3 , S4 , A4 , Dn , Q8 .54. Характеры неприводимых комплексных представлений.Последняя компиляция: 19 февраля 2006 г.Обновления документа — на сайте http://dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.43 семестр (2003 г.)1. Нормальные подгруппы, факторгруппы, теорема о гомоморфизме. Соответствие между подгруппами вфакторгруппе и исходной группе. Теорема об изоморфизме для факторгрупп.2. Произведение подгрупп. Изоморфизм HK/K ∼= H/(H ∩ K). Группа автоморфизмов.

Внутренние автоморфизмы, центр группы. Классы сопряженных элементов. Сопряженные элементы в Sn и An .3. Свободная группа. Задание группы порождающими и соотношениями. Прямое произведение групп. Прямое произведение циклических групп. Приведение целочисленной матрицы к каноническому виду.4. Свободные абелевы группы и их подгруппы.

Строение конечно порожденных абелевых групп. Теоремаединственности для разложения конечно порожденной абелевой группы в прямую сумму бесконечных ипримарных циклических. Классификация конечных абелевых групп.5. Конечные подгруппы мультипликативной группы поля. Дискретные подгруппы в Rn . Нормальные ряды.Теорема Жордана – Гёльдера. Разрешимые группы. Коммутант. Примеры. Простота группы An при n > 5.Простота группы SO3 .6. Действие групп. Орбиты, стабилизаторы.

Приложение к классам сопряженных элементов и подгрупп.7. p-группы, их центр, разрешимость. Группы порядка р и р 3 . Три теоремы Силова. Группы порядка pq.8. Гомоморфизмы колец. Идеалы, факторкольца. Теорема о гомоморфизме для колец. Соответствие междуподкольцами, идеалами в кольце н факторкольце. Изоморфизм (K + I)/I ∼= K/(K ∩ I).9. Простые кольца.

Идеалы в кольце квадратных матриц. Кольца главных идеалов. Примеры.10. Понятие алгебры над полем. Конечномерные алгебры. Структурные константы. Неделители нуля в конечномерной алгебре с единицей.11. Факторкольцо кольца многочленов от одной переменной над полем. Существование расширения поля, вкотором данный многочлен имеет корень. Простые расширения поля.

Алгебраические и трансцендентныеэлементы. Размерность башни полей. Поле разложения многочлена.12. Конечные поля (число элементов, существование, неприводимые многочлены, единственность).13. Алгебры с делением (над полем комплексных чисел). Алгебра кватернионов. Теорема Фробениуса.14. Понятие модуле над кольцом (алгеброй): подмодули, гомоморфизмы, фактормодули.15. Теорема о гомоморфизме для модулей, прямая сумма модулей. Соответствие между подмодулями в модулеи его фактормодуле.

Простые (неприводимые) модули. Теорема Жордана – Гёльдера для модулей.16. Система порождающих модуля. Всякий простой модуль циклический. Свободные модули. Представлениеконечно порожденного модуля как фактормодуля свободного.17. Конечнопорожденные модули над кольцом многочленов от одной переменной над полем. Приложение ктеореме о жордановой форме.18. Прямое произведение колец (алгебр), его центр. Модули над прямым произведением колец (алгебр).19. Полупростые модули (эквивалентные условия). Полупростота подмодуля и фактормодуля полупростогомодуля.

Единственность разложения полупростого модуля в прямую сумму простых.20. Полупростые алгебры. Всякий конечномерный модуль над полупростой алгеброй полупрост. Всякий простой модуль над полупростой алгеброй изоморфен минимальному левому идеалу.21. Конечномерная простая алгебра является полупростой. Разложение полной матричной алгебры в прямуюсумму минимальных левых идеалов.22. Кольцо эндоморфизмов модуля.

Лемма Шура. Матричное описание кольца эндоморфизмов прямой суммымодулей. Полупростая алгебра над полем C является прямым произведением полных матричных алгебр.23. Следствия из теоремы о строении полупростых алгебр над полем C (сумма квадратов размерностей неприводимых модулей, центр алгебры и число неприводимых модулей).24. Неприводимые модули над коммутативной алгеброй над полем C.25.

Понятие линейного представления группы. Гомоморфизм и изоморфизм (эквивалентность) линейныхпредставлений. Приводимые, неприводимые и вполне приводимые представления. Описание этих понятий на языке матриц.26. Связь между линейными представлениями группы и модулями над ее групповой алгеброй. Теорема Машке.27. Унитарные и ортогональные представления. Число неприводимых представлений группы над полем C,кратность их вхождения в регулярное представление, сумма квадратов размерностей.28. Неприводимые представления конечной абелевой группы над полем C и разложение ее регулярного представления в прямую сумму неприводимых.

Одномерные представления группы и их число над полем C.29. Описание всех неприводимых комплексных представлений группы S3 , Dn и Q8 .30. Описание всех неприводимых комплексных представлений групп A4 и S4 .31. Связь между неприводимыми комплексными представлениями конечной группы и её нормальной подгруппы простого индекса. Характеры линейных представлений.Последняя компиляция: 19 февраля 2006 г.Обновления документа — на сайте http://dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.5.