Программа экзаменов по высшей алгебре 1 и 3 семестры

Программа экзаменов по высшей алгебреЛектор — Евгений Соломонович Голод1, 3 семестры1 семестр (2002 г.)1. Элементарные преобразования. Приведение к ступенчатому виду. Метод Гаусса.2. Множества и отображения. Композиция, обратное отображение, бином Ньютона. Бинарная операция,группа, обобщенный закон ассоциативности.3.

Группа Sn . Разложение перестановки на независимые циклы и транспозиции. Чётность перестановки.4. Определитель. Свойство полилинейности. Неизменность при транспонировании. Свойство кососимметричности. Поведение определителя при ЭП. Вычисление посредством приведения к треугольной матрице.Критерий det = 0 в терминах ступенчатого вида.5. Теорема и формулы Крамера. Случай однородной системы.6. Определитель с углом нулей. Разложение определителя по строке/столбцу.

Фальшивое разложение.7. Определитель Вандермонда. Приложение к задаче интерполяции.8. Линейная зависимость векторов и её свойства. Критерий det = 0 в терминах линейной зависимости.9. Основная лемма о линейной зависимости. Базис системы векторов. Существование и свойства. Стандартный базис в Rn . Алгоритм поиска базиса конечной системы векторов. Ранг системы векторов и его свойства.10. Подпространства. Линейная оболочка.

Свойства множеств решений СЛУ. Задание подпространства однородной СЛУ. Размерность и базис подпространства решений ОСЛУ. Фундаментальная система решений.11. Операции над матрицами и их свойства. Поведение произведения при транспонировании.12. Элементарные матрицы и их связь с ЭП. Представление невырожденной матрицы в виде произведенияэлементарных матриц. Определитель произведения матриц.

Аксиоматическое задание определителя.13. Матричное уравнение AX = B. Обратная матрица, существование и единственность, способы вычисления.14. Ранг матрицы. Совпадение его с рангом системы строк и столбцов. Ранг произведения матриц. Поведениеранга при ЭП. Ранг ступенчатой матрицы.

Выражение ранга через миноры. Теорема о ранге матрицы.15. Теорема Кронекера – Капелли (Критерий совместности и определенности в терминах ранга матрицы). Выбор главных и свободных неизвестных.16. Степени элементов в полугруппе и группе. Порядок элемента и его вычисление в Sn .17. Кольцо и его свойства. Группа обратимых элементов. Делители нуля. Поле и его характеристика.18. Построение поля C. Тригонометрическая форма комплексного числа. Формула Муавра.19. Изоморфизм групп и колец. Существование и единственность C. Комплексное сопряжение — изоморфизм.20. Корни из единицы. Порядок элемента в циклической группе.

Порождающие элементы. Изоморфизм циклических групп.21. Кольца и поля классов вычетов. Малая теорема Ферма.22. Кольцо многочленов от одной переменной над коммутативным кольцом. Старший член, степень, делителинуля, обратимые элементы. Деление с остатком в K[x].23. НОД в K[x] и в Z. Существование и единственность для произвольных евклидовых областей. Взаимнопростые элементы в Z и в K[x].

НОК.24. Неприводимые множители в Z и в K[x]. Однозначность разложения на на неприводимые множители.Представление НОД в виде линейной комбинации f и g. Китайская теорема об остатках.25. Дифференцирование в K[x]. Поведение кратности неприводимого множителя при дифференцировании.Отделение кратных множителей.126. Многочлен как функция. Теорема Безу. Кратность корня. Поведение кратности корня при дифференцировании. Отделение кратных корней.27. Число корней с учетом кратностей. Функциональное и алгебраическое равенство многочленов. Интерполяционный многочлен Лагранжа.28.

Многочлены над C как функции f : C → C. Лемма Даламбера. Алгебраическая замкнутость C.29. Разложение многочленов над C. Число корней многочлена из C[x] с учетом кратностей. Граница длякорней. Теорема Штурма.30. Поле частных области целостности. Разложение дробей в сумму простейших дробей и многочлена.31. Формулы Виета. Многочлены от n переменных. Лексико-графическо-степенной порядок на мономах.

Старший член и его свойства. Симметрические многочлены. Результант и дискриминант.32. Подгруппы циклических групп. Таблица Кэли и ее свойства. Теорема Кэли.33. Разложение группы на смежные классы по подгруппе H. Теорема Лагранжа. Нормальные подгруппы.Факторгруппы. Теорема о гомоморфизме.34. Факториальность K[x].

Лемма Гаусса и ее следствия. Признак неприводимости Эйзенштейна.35. Алгебраические и целые алгебраические числа.Последняя компиляция: 19 февраля 2006 г.Обновления документа — на сайте http://dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.23 семестр (2005 г.)1.

Понятие факторгруппы. Структура гомоморфизма групп. Теорема о гомоморфизме.2. Связь между подгруппами в группе и факторгруппе. Изоморфизм G/N ∼= G/H.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.H/NHK ∼ KH = K∩H .Произведения подгрупп. Нормализатор подгруппы. ИзоморфизмЦентр группы. Факторгруппы по центру.Группа автоморфизмов. Внутренние автоморфизмы. Группа автоморфизмов циклической группы.G1 ×...×Gn ∼Прямое произведение групп. Изоморфизм H= (G1 /H1 ) × .

. . × (Gn /Hn ).1 ×...×HnПорядок элемента в прямом произведении. Прямое произведение циклических групп.Системы порождающих в группах. Примеры (Sn , An ).Теорема о приведении целочисленной матрицы к диагональному виду.Свободные абелевы группы. Конечно порожденные абелевы группы как факторгруппы свободных групп.Теорема о согласованных базисах для конечно порожденной абелевой группы и ее подгруппы.

Разложения конечно порожденной абелевой группы и ее подгруппы в прямую сумму бесконечных и примарныхциклических (существование).Теорема единственности разложения конечно порожденной абелевой группы в прямую сумму бесконечныхи примарных циклических.Конечные подгруппы мультипликативной группы поля. Классификация конечных абелевых групп с точностью до изоморфизма.Дискретные подгруппы в конечномерном вещественном векторном пространстве.Коммутаторы и коммутанты, их свойства.Понятие разрешимой группы. Связь разрешимости группы с разрешимостью ее подгрупп и факторгруппы.Разрешимость группы невырожденных верхних треугольных матриц.Понятие классов сопряженных элементов.

Классы сопряженных элементов в GLn (K), K ⊂ C и Sn .Классы сопряженных элементов в An .Понятие простой группы. Простота группы An , n > 5.Простота группы SO3 .Действие группы н множестве (представление группы перестановками). Теорема Кэли. Орбиты, стабилизаторы, неподвижные точки. Число элементов в орбите.

Классы сопряженных элементов и классы сопряженных подгрупп как орбиты.Транзитивное действие. Эквивариантные отображения и изоморфизмы действий.Конечные p-группы. Центр и разрешимость конечных p-групп. Группы порядка p2 .Полупрямое произведение групп. Примеры групп порядка p3 .Силовские p-подгруппы. Существование p-подгрупп (первая теорема Силова).Теорема о сопряженности и число силовских p-подгрупп (вторая и третья теоремы Силова).Группы порядка pq (p, q — простые числа).Идеалы (левые, правые, двусторонние) в кольце.

Структура гомоморфизма кольца. Факторкольцо. Теорема о гомоморфизме для колец. Соответствие между подкольцами, идеалами в факторкольце и исходномK∼идеале. Изоморфизм K+I.= I∩KIГлавные левые (правые) идеалы. Тело как кольцо с единицей без нетривиальных левых идеалов. Коммутативные кольца главных идеалов (примеры).Понятие простого кольца. Идеалы в кольце квадратных матриц над кольцом с единицей.Понятие алгебры над полем. Случай алгебры с единицей. Гомоморфизм алгебр, идеалы в алгебре. Конечномерные алгебры, структурные константы. Конечномерные алгебры без делителей нуля.Факторалгебра алгебры многочленов от одной переменной над полем.

Когда она является полем? Полекомплексных чисел как такая факторалгебра.Существование расширение поля, в котором данный многочлен разлагается на линейные множители.34. Подалгебра, порожденная одним элементом алгебры. Алгебраические и и трансцендентные элементы. Минимальный многочлен алгебраического элемента. Случай алгебры с делением (тела).35. Расширение полей. Простое алгебраическое расширение. Размерность башни полей. Алгебраические итрансцендентные числа.

Поле алгебраических чисел.336. Конечные поля: число элементов, существование конечных полей, существование неприводимых многочленов заданной степени.37. Конечные поля: единственность конечного поля данного порядка.38. Построение алгебры кватернионов.39. Конечномерные алгебры с делением над полями комплексных и действительных чисел (теорема Фробениуса).40. Понятие модуля. Подмодули, гомоморфизм модулей, фактормодуль, теорема о гомоморфизме, связь между подмодулями в модуле и фактормодуле. Прямая сумма модулей.41. Произведение левого идеала и модуля. Произведение и степень левых идеалов. Свойство левого идеала,являющегося прямым слагаемым в кольце.