Задачи для подготовки к коллоквиуму №1 (В.Н. Чубариков)

Задачи для подготовки к коллоквиуму №1по математическому анализуЛектор — В. Н. ЧубариковI семестр, 2004 г.Набор текста: П. Рахмонов, вёрстка: DMVN Corporation.1. Пусть x, y ∈ [a, b]. Тогда |x − y| 6 b − a.2. Доказать равенствоx + y + |x − y|= max{x, y}.23. Пусть F (1) = 2, F (n) = F (n−1)+ 12 для всех натуральных чисел n, больших единицы.

Тогда F (n) = 2+ n−12 .4. Построить такие множества B ⊂ A ⊂ X и отображение F : X → X, чтоF (A r B) 6= F (A) r F (B)5. Пусть F : X → Y . Тогда следующие утверждения эквивалентны:а) F – вложение (инъективное отображение);б) F −1 (F (A)) = A для любого подмножества A ⊂ X;в) F (A ∩ B) = F (A) ∩ F (B) для любой пары подмножеств A, B в X.г) F (A) ∩ F (B) = ∅ для любой пары подмножеств A, B в X для которой A ∩ B = ∅.д) F (A r B) = F (A) r F (B) для любой пары подмножеств A, B в X для которой B ⊂ A.6.

Рассмотрим отображения f : A → B, g : B → C и h : C → D. Пусть отображения f ◦ g и g ◦ h биективны.Доказать, что отображения f , g и h сами биективны.7. Множество всех конечных подмножеств натуральных чисел N счетно.8. Для того, чтобы X было бесконечно, необходимо и достаточно, чтобы для каждого отображения f : X → Xсуществовало такое непустое подмножество A ⊂ X, что A 6= X и f (A) ⊂ A.Указание: Если бы f обладало этим свойством и X было бы бесконечным, то X было бы счетным.

Тогдаможно считать, что X = N и f (n) > n при n > 0; это приводит к противоречию).9. Пусть E — бесконечное множество, D ⊂ E, D — не более чем счетное множество и E r D. Тогда множестваE r D и D равномощны.10. Множество всех иррациональных чисел равномощно множеству всех вещественных чисел R.11. Доказать, что [a, b] ∼ (a, b), [a, b] ∼ [a, b).12. Доказать, что sup A = − inf(−A), sup A ∪ B = max(sup A, sup B).13. Пусть определены выражения в правых частях соотношений. Тогда справедливы следующие утверждения:а) inf (−f (x)) = − sup f (x);x∈Ax∈Aб) sup (f (x) + g(x)) ≤ sup f (x) + sup g(x);x∈Ax∈Ax∈Aв) sup (f (x) + g(x)) > sup f (x) + inf g(x), если sup g(x) существует;x∈Ax∈Ax∈Aг) sup (f (x) + c) = c + sup f (x) для любого вещественного числа c;x∈Ax∈Af (x1 , x2 );д) supsup f (x1 , x2 ) =supx1 ∈A1 x2 ∈A2(x1 ,x2 )∈A1 ×A2е)supf (x1 ) + f (x2 ) = sup f (x1 ) + sup f (x2 ).(x1 ,x2 )∈A1 ×A2x1 ∈A1x1 ∈A114. Пусть B — непустое ограниченное множество вещественных чисел, b = sup B и b ∈/ B.

Тогда b являетсяпредельной точкой множества B.115. Пусть {xn } — бесконечно малая последовательность отрицательных вещественных чисел. Тогда для каждого натурального числа m существует бесконечно много номеров n > m таких, что xn 6 xm .nknn→∞ 216. Доказать, что а) lim= 0, где k — постоянная; б) lim n(a1/n − 1) = ln a, a>0.n→∞17.

Пусть lim xn = +∞. Тогда limn→∞x1 +...+xnn= +∞.18. Пусть pn >0 для всех n ∈ N и lim (p1 · . . . · pn )1/n = p.n→∞n19. Исходя из равенства lim 1 + n1 = e, доказать, что lim (n!)n1/n = e.n→∞n→∞1 n+p20. Доказать, что последовательность an = 1 + nстрого убывает тогда и только тогда, когда p > 12 .21. Для любого рационального числа r с условием |r| < 1 справедливо неравенство 1 + r 6 er 6 1 +111+ n+2+ . . .

+ 2n= ln 2.22. Доказать, что lim n+1r1−r .n→∞23. Пусть xn — последовательность с ограниченным изменением, т.е. существует такое c > 0, что для всехn ∈ N справедливо неравенствоn−1X|xk+1 − xk | < c.k=1Тогда последовательность xn сходится.24. Пусть 0 6 xm+n 6 xm + xn . Тогда существует предел limn→∞xnn .25. а) lim (an + bn ) ≤ lim an + lim bn , если последние пределы существуют.n→∞n→∞n→∞б) Если lim an = a и lim bn = b, то lim an bn = ab.n→∞n→∞n→∞в) lim an = − lim (−an )n→∞n→∞26.

Пусть lim an = +∞. Тогда существует min an .n→∞n∈N27. Пусть lim an = a. Тогда последовательность {an } имеет либо наибольший, либо наименьший элемент,n→∞либо тот и другой.28. Пусть sn = a1 + a2 + . . . + an → +∞, ak > 0, lim an = 0. Тогда множество предельных точек дробныхn→∞частей {sn } совпадает с отрезком [0; 1].29. Пусть lim (sn+1 − sn ) = 0 и не существует ни конечного, ни бесконечного предела lim sn , и пустьn→∞n→∞l = lim sn ,n→∞L = lim sn .n→∞Тогда последовательность sm расположена всюду плотно на отрезке [l; L].30. a) Пусть an > 0 и lim an = 0.

Тогда существует бесконечно много номеров n таких, чтоn→∞an > max(an+1 , an+1 , an+1 , . . .).б) Пусть an > 0 и lim an = 0. Тогда существует бесконечно много номеров n таких, чтоn→∞an < min(a1 , a2 , . . . an−1 ).Последняя компиляция: 27 октября 2005 г.Обновления документа — на сайте http://dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.2.