С.А. Богатый - Программа экзамена по аналитической геометрии

Программа экзамена по аналитической геометрииЛектор — Семеон Антонович Богатый1 семестр, 2002 г.1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.40.Понятие свободного вектора. Операции над векторами.Линейная зависимость. Геометрический смысл линейной зависимости двух, трех, четырех векторов.Простое отношение (А, В, С ).

Формула для радиуса вектора точки С . Теорема Менелая.Центр масс — различные описания. Дипольный момент.Медианы и бимедианы тетраэдра. Теорема Чевы.Теоремы ван Обеля и Жергона.Момент инерции. Теорема Лагранжа.Теорема Якоби. Длина медианы тетраэдра.Проекции и координаты (точек и векторов).Определение скалярного произведения и его свойства.Скалярное произведение в координатах.Уравнения прямой на плоскости.Взаимное расположение прямых на плоскости. Полуплоскости.Уравнения плоскости.Взаимное расположение плоскостей. Полупространства.Прямая в пространстве.Угол между прямыми и плоскостями.Переход от одного базиса к другому.

Матрица перехода.Преобразование координат при переходе к другой системе координат.Ориентация прямой, плоскости, пространства.Ориентированная площадь параллелограмма и ориентированный объем параллелепипеда. Единственностькосокоммутативного трилинейного функционала.Векторное и смешанное произведения, их свойства. Теорема Минковского.Расстояние от точки, прямой до прямой, плоскости.Кривая II-ого порядка.

Инвариантность порядка кривой.Расширенная матрица квадратичной функции и её преобразование при переходе к другому базису.Ортогональные матрицы, их связь с переходами между ортонормированными базисами. Двумерные ортогональные матрицы.Ортогональные инварианты квадратичной функции.Существование системы координат, в которой a12 = 0.Существование канонической системы координат для кривой II-ого порядка.Определение канонического уравнения кривой II-ого порядка.Определение канонической системы координат кривой II-ого порядка.Директориальное свойство эллипса, гиперболы и параболы.Фокальное свойство эллипса, гиперболы и параболы.Уравнение кривой II-ого порядка в полярных координатах.

Фокальный параметр.Пересечение кривой II-ого порядка с прямой. Асимптотическое направление.Диаметр, сопряженный к неасимптотическому направлению.Центр кривой II-ого порядка.Взаимно сопряженные направления. Особое направление. Описание диаметров.Существование и единственность кривой II-ого порядка, проходящей через 5 точек.Пучок кривых II-ого порядка. Равнобокость гиперболы, описанной вокруг треугольника и проходящейчерез ортоцентр.141.42.43.44.45.46.47.48.49.50.51.52.53.54.55.56.57.58.59.60.61.Определение аффинного преобразования. Группа аффинных преобразований.Аналитическая запись аффинного преобразования.Аффинная классификация кривых II-ого порядка.Определение и свойства изометрических преобразований.Классификация движений плоскости.Поверхность II-ого порядка.

Каноническое уравнение.Эллипсоиды и их сечения.Конус и его сечения. Шары Данделена.Однополостный гиперболоид и его сечения.Двуполостный гиперболоид и его сечения.Эллиптический параболоид и его сечения.Гиперболический параболоид и его сеченияАффинная классификация поверхностей II-ого порядка.Пополненная плоскость и понятие проективной плоскости.Связка и перспективное соответствие.Однородные координаты и прямолинейность трех точек (уравнение прямой).

Принцип двойственности.Теорема Дезарга.Проективные системы координат.Переход от одной проективной системы координат к другой.Проективные преобразования. Аналитическая запись.Сложное отношение четырех точек на прямой (А, В, С , D) и его инвариантность при проективном преобразовании. Дробно-линейные отображения.62. Кривая II-ого порядка в однородных координатах.

Проективная классификация.63. Теорема Паскаля.64. Теорема Паскаля для треугольника.Последняя компиляция: 19 февраля 2006 г.Обновления документа — на сайте http://dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.2.