Программа экзамена по линейной алгебре 2 семестр

Программа экзамена по линейной алгебреЛектор — Е. Г. СкляренкоII семестр, 2003 г.1. Векторные пространства, примеры. Подпространства и линейные подмногообразия. Факторпространства.2. Линейная зависимость и независимость векторов. Свойства разложения векторов по линейно независимымсистемам, признаки зависимости векторов.3. Ранг множества векторов, его свойства.

Размерность, базисы, координаты. Размерность факторпространства.4. Теоремы об изоморфизме векторных пространств. Изоморфизм факторпространства дополнительномупространству.5. Суммы и пересечения подпространств. Размерность суммы.6. Прямые суммы двух и более подпространств. Внешняя прямая сумма.7. Аффинные пространства, их однородность. Координатный репер. Координаты точек и векторов.8.

Переход к новым координатам: преобразование координат точек и векторов. Формулы и матрицы перехода.9. Подпространства аффинного пространства, способы задания. Параллелепипеды. Подпространства какмножества решений систем линейных уравнений.10. Взаимное расположение двух подпространств в аффинном пространстве (пересечение, параллельность,скрещиваемость).11.

Деление отрезка в заданном отношении, координаты делящей точки.12. Теоремы об изоморфизме аффинных пространств. Эквивалентность понятий аффинного и векторногопространства.13. Скалярное произведение векторов. Евклидовы векторные и точечные пространства. Линейная независимость ортогональных векторов. Процесс ортогонализации. Ортонормированные базисы и реперы.14. Теоремы об изоморфизме для евклидовых векторных и точечных пространств.

Следствия (длина вектораи расстояние между точками, неравенство треугольника, угол между векторами, перпендикулярность ортогональных векторов, теорема Пифагора, неравенство Коши – Буняковского). Примеры. Изоморфизмыкак изометрии.15. Ортогональное дополнение к векторному подпространству, его свойства. Угол между вектором и подпространством, расстояние от вектора до подпространства.16. Проектирование вектора на подпространство.

Коэффициенты Фурье. Метод наименьших квадратов.17. Нормальный вектор к гиперплоскости, расстояние от точки до гиперплоскости и между параллельнымигиперплоскостями.18. Объём k-мерного параллелепипеда и определитель Грама, свойства определителя Грама.19. Линейные отображения векторных пространств, координатная запись. Векторное пространство линейныхотображений.

Композиция линейных отображений, матрица композиции.20. Ядро и образ линейного отображения, их размерности. Условия изоморфизма.21. Линейные операторы, координатная запись. Зависимость матрицы от выбора базиса (в том числе в тензорной записи).22. Кольцо линейных операторов, изоморфизм кольцу матриц. Условия невырожденности.23. Инвариантные подпространства, влияние на вид матрицы.

Инвариантные подпространства над полямидействительных и комплексных чисел. Ступенчатый вид матрицы оператора.24. Собственные векторы и значения оператора. Собственные подпространства, в том числе для различныхсобственных чисел.25. Характеристический многочлен. Кратность корня и размерность собственного подпространства. Условиядиагонализируемости матрицы оператора. Свойства жордановых клеток.26.

Существование и единственность жордановой (нормальной) формы матрицы оператора над алгебраическизамкнутым полем.127. Корневые подпространства, свойства и связь с жордановой формой.28. Аннулирующие многочлены, минимальный многочлен. Теорема Гамильтона – Кэли.29. Комплексификация пространства и линейного отображения. Нормальная форма матрицы вещественногооператора.30. Матричная интерпретация рекуррентных формул и жорданова форма.31. Линейные отображения и преобразования аффинных пространств, аналитическая запись. Частные случаи.Аффинные преобразования и понятие об аффинной классификации.32. Пространство линейных функций.

Дуальный (сопряжённый) базис. Переход к другому базису и преобразование координат линейных функций.33. Взаимная сопряжённость пространства и пространства линейных функций на нём.34. Дуальные линейные отображения и операторы в пространствах линейных функций.

Взаимная дуальностьс основными отображениями.35. Билинейные функции, их координатная запись. Полуторалинейные функции. Базисные функции, отвечающие базису подпространства.36. Зависимость матрицы билинейной (полуторалинейной) функции от выбора базиса (в том числе в тензорнойзаписи).37. Билинейные функции и линейные отображения векторного пространства в пространство линейных функций.38. Симметричные, кососимметричные и эрмитовы функции. Совпадение ядер.39. Ортогональность векторов и подпространств относительно симметричных, кососимметричных и эрмитовых функций.

Свойства ортогональных дополнений.40. Нормальный вид симметричных, кососимметричных и эрмитовых функций.41. Единственность нормального вида, симметрической кососимметрической и эрмитовой функций. Законинерции для симметричных и эрмитовых функций.42. Квадратичные функции и их связь с билинейными, нормальный вид. Приведение к нормальному видувыделением полных квадратов.43.

Метод Грама приведения к нормальному виду и теорема Якоби.44. Положительно определённые симметричные и эрмитовы функции. Критерий Сильвестра.45. Симметричные, антисимметричные и эрмитовы скалярные произведения. Псевдоевклидовы, эрмитовы исимплектические векторные пространства. Теоремы об изоморфизме. Ортонормированные и симплектические базисы, связь с координатами векторов.46.

Естественный изоморфизм пространства со скалярным произведением своему пространству функций (общий вид линейной функции на пространстве со скалярным произведением).47. Изотропные векторы и подпространства. Линейная независимость ортогональных неизотропных векторов.Ортогональное дополнение. Определитель матрицы Грама. Процесс ортогонализации.48. Симплектические векторные пространства. Гамильтоновы базисы. Изотропные подпространства.49. Унитарное пространство. Неравенство Коши – Буняковского, неравенство треугольника.50.

Переход к новым ортонормированным или симплектическим координатам. Специальные группы матриц(ортогональных, псевдоортогональных, унитарных, псевдоунитарных, симплектических).51. Операторы, сохраняющие скалярные произведения (ортогональные, псевдоортогональные, симплектические, унитарные, псевдоунитарные), их матрицы. Изометрии.

Группы операторов.52. Канонический вид ортогонального и унитарного операторов, его единственность. Собственные подпространства. Ортогональные преобразования точечных пространств.53. Группы O(1), O(2), U (1), Sp(2), O(1, 1). Псевдовращения плоскости. Трёхмерное псевдоевклидово пространство.54. Овеществление комплексного пространства и оператора.

Псевдоевклидова и симплектические структуры,определяемые эрмитовым пространством.55. Овеществление псевдоунитарного оператора. Группа U (p, q) как пересечение O(2p, 2q) ∩ Sp(2p + 2q).56. Существование и единственность сопряжённого оператора в пространстве со скалярным произведением,его свойства. Сопряжённость для оператора, сохраняющего скалярное произведение. Связь с дуальнымиоператорами в пространстве линейных функций.57.

Самосопряжённые операторы в евклидовом и унитарном пространстве. Канонический вид. Свойства собственных векторов и подпространств.258. Естественный изоморфизм пространству операторов пространств билинейных и полуторалинейных функций на пространствах со скалярным произведением. Канонический вид симметрической (эрмитовой) функции на евклидовом (унитарном) пространстве. Приведение к каноническому виду уравнения гиперповерхности второго порядка.59.

Полярные разложения оператора в композиции самосопряжённых и ортогональных (унитарных).60. Инварианты пары квадратичных форм, одна из которых положительно определена. Их каноническийбазис.61. Тензоры. Примеры. Тензоры и полилинейные функции. Пространства тензоров.62. Умножение тензоров. Базисы и координаты в пространствах тензоров.63. Свёртка тензоров. Примеры.64. Опускание и поднятие индексов тензора для пространства со скалярным произведением. Примеры.65. Симметрия и косая симметрия тензоров и их координат.

Операции симметрирования и альтернирования.66. Кососимметричные тензоры. Операция внешнего умножения, свойства.67. Простые поливекторы (и внешние формы), их координаты. Примеры. Плюккеровы координаты подпространства.68. Базис и размерность пространства поливекторов (внешних форм).Последняя компиляция: 28 октября 2005 г.Обновления документа — на сайте http://dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.3.