Программа экзамена по линейной алгебре

Программа экзамена по линейной алгебреЛектор — Э. Б. ВинбергII семестр, 2003 г.1. Базис и размерность векторного пространства.2. Преобразования координат в векторном пространстве.3. Подпространства как множества решений систем однородных линейных уравнений.4. Связь между размерностями суммы и пересечения двух подпространств.5. Линейная независимость подпространств. Базис и размерность прямой суммы.6.

Линейные отображения, их запись в координатах. Образ и ядро линейного отображения, связь между ихразмерностями.7. Линейные функции, их запись в координатах. Сопряжённое пространство и сопряжённые базисы.8. Канонический изоморфизм V ∼= V ∗∗ при dim V < ∞.9. Билинейные функции, их запись в координатах. Изменение её матрицы при переходе к другому базису.10. Ортогональное дополнение к подпространству относительно симметрической или кососимметрической билинейной функции.11.

Связь между симметрическими билинейными и квадратичными функциями. Существование ортогонального базиса для симметрической билинейной функции.12. Нормальный вид вещественной квадратичной функции. Закон инерции.13. Процесс ортогонализации. Нахождение индексов инерции квадратичной функции методом Якоби.14. Критерий Сильвестра.15.

Существование симплектического базиса для кососимметрической билинейной функции.16. Евклидовы пространства. Длина вектора и угол между векторами.17. Матрица и определитель Грама системы векторов евклидова пространства.18. Ортонормированные базисы евклидова пространства и ортогональные матрицы.19. Расстояние от вектора до подпространства в евклидовом пространстве, его выражение через определителиГрама.20. Объем параллелепипеда в евклидовом пространстве (две формулы).21.

Полуторалинейные функции, их запись в координатах. Изменение матрицы полуторалинейной функциипри переходе к другому базису. Эрмитовы и косоэрмитовы полуторалинейные функции, связь между ними.22. Нормальный вид эрмитовой функции. Закон инерции.23. Эрмитовы пространства. Ортонормированные базисы эрмитова пространства и унитарные матрицы.24. Линейные операторы, их запись в координатах.

Изменение матрицы линейного оператора при переходе кдругому базису. Ранг и определитель линейного оператора. Невырожденные линейные операторы.25. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.26. Собственные подпространства линейного оператора, их свойства. Достаточное условие существования собственного базиса.27. Инвариантные подпространства линейного оператора.

Существование одномерного или двумерного инвариантного подпространства для линейного оператора в вещественном векторном пространстве.28. Связь между линейными операторами и билинейными (полуторалинейными) функциями в евклидовом(эрмитовом) пространстве. Сопряженные операторы.29. Существование ортонормированного собственного базиса для симметрического оператора. Приведениеквадратичной функции в евклидовом пространстве к каноническому виду.30.

Приведение к каноническому виду матрицы ортогонального оператора.31. Существование ортонормированного собственного базиса для эрмитова (унитарного) оператора.132. Полярное разложение невырожденного линейного оператора в евклидовом (эрмитовом) пространстве.33. Корневые подпространства линейного оператора и разложение пространства в их прямую сумму.34.

Нильпотентные операторы. Разложение пространства в прямую сумму циклических подпространств нильпотентного оператора.35. Приведение матрицы линейного оператора к жордановой форме. Минимальный многочлен. Теорема Гамильтона – Кэли. Критерий существования собственного базиса.36. Аффинные пространства.

Векторизация. Аффинные системы координат. Барицентрические линейныекомбинации точек.37. Плоскости аффинного пространства, их задание системами линейных уравнений. Аффинная оболочкасистемы точек.38. Взаимное расположение плоскостей в аффинном пространстве.39. Выпуклые множества. Выпуклая оболочка системы точек. Симплексы.40. Полупространства. Выпуклые многогранники, их грани.

Грани симплекса и параллелепипеда.41. Теорема о том, что всякий ограниченный выпуклый многогранник есть выпуклая оболочка своих вершин.Задача линейного программирования.42. Аффинные отображения, их свойства. Аффинные преобразования. Существование и единственность аффинного преобразования, переводящего один заданный репер в другой.

Координатный признак равенствафигур в аффинной геометрии.43. Дифференциал как гомоморфизм аффинной группы в линейную. Параллельные переносы и гомотетии.44. Квадрики в аффинном пространстве. Центральные, конические и цилиндрические квадрики.45. Аффинная классификация невырожденных вещественных квадрик.46. Евклидовы аффинные пространства. Расстояние между точками и между плоскостями.47. Движения. Дифференциал как гомоморфизм группы движений в ортогональную группу.

Собственные инесобственные движения.48. Ось движения. Геометрическое описание движений плоскости и трехмерного пространства.49. Прямоугольные системы координат в евклидовом аффинном пространстве. Свойство максимальной подвижности и координатный признак равенства фигур в евклидовой геометрии.50. Приведение уравнения невырожденной квадрики в евклидовом пространстве к каноническому виду (бездоказательства единственности в случае параболоида).51. Проективные пространства, их аффинные карты.

Однородные и неоднородные координаты.52. Плоскости в проективном пространстве, их взаимное расположение.53. Проективные преобразования. Существование и единственность проективного преобразования n-мерногопроективного пространства, переводящего одну заданную систему n+2 точек общего положения в другую.54. Двойное отношение четверки точек, лежащих на одной прямой. Его инвариантность при проективныхпреобразованиях.55. Квадрики в проективном пространстве, их аффинные изображения.

Проективная классификация невырожденных вещественных квадрик, ее сопоставление с аффинной классификацией.56. Векторные модели сферической и гиперболической геометрий. Плоскости, расстояние между точками идвижения в этих моделях.57. Свойство максимальной подвижности в сферической и гиперболической геометриях.58. Сумма углов сферического и гиперболического треугольника.59. Тензорная алгебра векторного пространства.60. Симметрическая алгебра векторного пространства (char K = 0), ее связь с алгеброй многочленов.61.

Внешняя алгебра векторного пространства (над полем нулевой характеристики).62. Разложимые поливекторы и подпространства векторного пространства.63. Канонический вид и критерий разложимости бивектора.64. Определитель как единственная кососимметрическая n-линейная функция в n-мерном пространстве.Последняя компиляция: 22 июня 2005 г.Обновления документа — на сайте http://www.dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.2.