Вопросы к Экзамену по Аналитической геометрии, страница 2

Выведите формулы, выражающие фокальные радиусы произвольной точки гиперболы через её абсциссу. Сформулируйте идокажите директориальное свойство гиперболы.9. Выведите уравнение касательной к гиперболе.10. Сформулируйте и докажите оптическое свойство гиперболы.11. Сформулируйте определение параболы и выведите её каноническое уравнение.12.

Выведите уравнение касательной к параболе.13. Сформулируйте и докажите оптическое свойство параболы.14. Запишите уравнение эллипса, гиперболы, параболы в полярнойсистеме координат и сформулируйте условия, при которых этоуравнение имеет место.15. Что такое центральная линия второго порядка? Перечислите типы центральных линий. При каком условии линия второго порядка X T AX + 2BX + c = 0 является центральной? Запишитеуравнения центра линии второго порядка.716. Что такое нецентральная линия второго порядка? Перечислитетипы нецентральных линий. При каком условии кривая второгопорядка X T AX + 2BX + c = 0 является нецентральной?17.

Используя ортогональные инварианты, определите тип кривой,заданной уравнением 2x2 − 4xy + 5y 2 + 8x − 2y + 9 = 0. Нужнонайти каноническое уравнение кривой.18. Используя ортогональные инварианты, определите тип кривой,заданной уравнением 4xy − 3y 2 − 4x + 10y − 6 = 0. Нужно найтиканоническое уравнение кривой.19. Используя ортогональные инварианты, определите тип кривой,заданной уравнением 9x2 − 24xy + 16y 2 − 8x + 19y + 4 = 0. Нужнонайти каноническое уравнение кривой.20. Используя ортогональные инварианты, определите тип кривой,заданной уравнением x2 − xy + y 2 + x + y = 0. Нужно найтиканоническое уравнение кривой.21.

Используя ортогональные инварианты, определите тип кривой,заданной уравнением xy+2x+y = 0. Нужно найти каноническоеуравнение кривой.22. Используя ортогональные инварианты, определите тип кривой,заданной уравнением x2 − 2xy + y 2 − 10x − 6y + 25 = 0. Нужнонайти каноническое уравнение кривой.23. Используя ортогональные инварианты, определите тип кривой,заданной уравнением 5x2 + 12xy + 10y 2 − 6x + 4y − 1 = 0. Нужнонайти каноническое уравнение кривой.24. Используя ортогональные инварианты, определите тип кривой,заданной уравнением 8x2 + 6xy + 6x + 3y + 1 = 0. Нужно найтиканоническое уравнение кривой.25. Используя ортогональные инварианты, определите тип кривой,заданной уравнением 4x2 + 12xy + 9y 2 − 8x − 12y − 5 = 0.

Нужнонайти каноническое уравнение кривой.26. Используя ортогональные инварианты, определите тип кривой,заданной уравнением x2 + 2xy + y 2 − 5x − 5y + 4 = 0. Нужнонайти каноническое уравнение кривой.27. Используя ортогональные инварианты, определите тип кривой,заданной уравнением 5x2 − 6xy + 5y 2 + 2x − 14y + 13 = 0.

Нужнонайти каноническое уравнение кривой.28. Используя ортогональные инварианты, определите тип кривой,заданной уравнением x2 − 2xy + y 2 + 8x − 8y + 22 = 0. Нужнонайти каноническое уравнение кривой.29. Используя ортогональные инварианты, определите тип кривой,заданной уравнением 15x2 + 24xy + 15y 2 + 30x − 24y + 20 = 0.Нужно найти каноническое уравнение кривой.830.

Используя ортогональные инварианты, определите тип кривой,заданной уравнением 15x2 − 16xy + 15y 2 − 62x − 44y − 13 = 0.Нужно найти каноническое уравнение кривой.1.7. Поверхности второго порядка.1. Семейство поверхностей задано в прямоугольной системе координат уравнением λx2 + y 2 + z 2 = 1, содержащим параметр λ.Определите тип поверхности при всевозможных значениях λ.2. Семейство поверхностей задано в прямоугольной системе координат уравнением λx2 + y 2 + z 2 = λ, содержащим параметр λ.Определите тип поверхности при всевозможных значениях λ.3.

Семейство поверхностей задано в прямоугольной системе координат уравнением x2 + y 2 − z 2 = λ, содержащим параметр λ.Определите тип поверхности при всевозможных значениях λ.4. Семейство поверхностей задано в прямоугольной системе координат уравнением x2 + λ(y 2 + z 2 ) = 1, содержащим параметр λ.Определите тип поверхности при всевозможных значениях λ.5. Семейство поверхностей задано в прямоугольной системе координат уравнением x2 + λ(y 2 + z 2 ) = λ, содержащим параметр λ.Определите тип поверхности при всевозможных значениях λ.6. Семейство поверхностей задано в прямоугольной системе координат уравнением λx2 + y 2 = z, содержащим параметр λ.

Определите тип поверхности при всевозможных значениях λ.7. Семейство поверхностей задано в прямоугольной системе координат уравнением λ(x2 +y 2 ) = z, содержащим параметр λ. Определите тип поверхности при всевозможных значениях λ.8. Семейство поверхностей задано в прямоугольной системе координат уравнением x2 + y 2 = λ, содержащим параметр λ. Определите тип поверхности при всевозможных значениях λ.9. Семейство поверхностей задано в прямоугольной системе координат уравнением x2 − y 2 = λ, содержащим параметр λ. Определите тип поверхности при всевозможных значениях λ.10.

Сечения поверхности x2 + 2y 2 − 3z 2 − 1 = 0 плоскостями x = 0,x = 1, x = 2 спроектированы на плоскость Oyz. Как называетсяповерхность? Изобразите поверхность и указанные проекции.11. Сечения поверхности x2 + 2y 2 − 3z 2 = 0 плоскостями x = 0,x = 1, x = 2 спроектированы на плоскость Oyz. Как называетсяповерхность? Изобразите поверхность и указанные проекции.12. Сечения поверхности 2x2 − y 2 = 2z плоскостями x = 0, x = 1,x = 2 спроектированы на плоскость Oyz. Как называется поверхность? Изобразите поверхность и указанные проекции.913. Сечения поверхности 2x2 − y 2 = 2z плоскостями y = 0, y = 1,y = 2 спроектированы на плоскость Oxz.

Как называется поверхность? Изобразите поверхность и указанные проекции.14. Сечения поверхности 2x2 − y 2 = 2z плоскостями z = −1, z = 0,z = 1 спроектированы на плоскость Oxy. Как называется поверхность? Изобразите поверхность и указанные проекции.15. Как называется поверхность, заданная уравнением x2 − y 2 = 1?Изобразите поверхность и найдите уравнения ее прямолинейныхобразующих, проходящих через точку (x0 , y0 , z0 ) поверхности.16. Как называется поверхность, заданная уравнением x2 +y 2 −z 2 = 0?Изобразите поверхность и найдите уравнения ее прямолинейныхобразующих, проходящих через точку (x0 , y0 , z0 ) поверхности.17.

Сформулируйте определение прямолинейной образующей поверхности второго порядка. Перечислите и изобразите поверхности второго порядка, являющиеся (а) 1-линейчатыми; (б) 2линейчатыми. Запишите канонические уравнения этих поверхностей.1.2.3.4.5.6.7.8.1.8. Системы линейных уравнений. Ранг матрицы.Докажите, что однородная система линейных уравнений имеетнетривиальное решение тогда и только тогда, когда столбцы еёосновной матрицы линейно зависимы.Докажите, что если X1 , X2 — два решения однородной системылинейных уравнений AX = 0, то любая их линейная комбинациятакже является решением этой системы.Сформулируйте определение фундаментальной совокупностирешений (ФСР) однородной системы линейных уравнений.

Найдите ФСР системы x1 + x2 + x3 = 0 и запишите общее решениесистемы с помощью ФСР.Докажите следующее утверждение: если X1 , X2 — решениянеоднородной системы линейных уравнений AX = B, то X1 −X2— решение соответствующей однородной системы AX = O.Найдите общее решение неоднородной системы x1 + x2 + x3 = 1.Ответ представьте в виде суммы частного решения неоднородной системы и общего решения соответствующей однородной системы.Опишите алгоритм Гаусса—Жордана.Опишите алгоритм вычисления обратной матрицы при помощиалгоритма Гаусса—Жордана.

Обоснуйте этот алгоритм.Сформулируйте определение подпространства P пространстваRn , определение базиса подпространства P , размерности подпространства P .109. Докажите, что размерность линейной оболочки строк матрицыне меняется при элементарных преобразованиях строк.10. Докажите, что размерность линейной оболочки столбцов матрицы не меняется при элементарных преобразованиях строк.11. Сформулируйте определение ранга матрицы. Сформулируйте идокажите теорему Кронекера—Капелли.12.

На плоскости заданы две прямые A1 x+B1 y = C1 , A2 x+B2 y = C2 .Сформулируйте в терминах рангов условия на коэффициентыуравнений прямых, необходимые и достаточные для того, чтобыэти прямые 1) совпадали; 2) были параллельны, но не совпадали;3) пересекались в единственной точке.13. В пространстве заданы две плоскости A1 x + B1 y + C1 z = D1 ,A2 x + B2 y + C2 z = D2 . Сформулируйте в терминах рангов условия на коэффициенты уравнений плоскостей, необходимые и достаточные для того, чтобы эти плоскости 1) совпадали; 2) былипараллельны, но не совпадали; 3) имели единственную общуюпрямую.11Третий и четвёртый вопросы к экзамену.Продвинутая часть.1.2.3.4.5.6.7.2.1.