Вопросы к Экзамену по Аналитической геометрии

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯЛекторы А. В. Овчинников и М. О. КорпусовПервый и второй вопросык экзамену. Базовая часть.1.1. Векторы.1. Сформулируйте определение линейных операций над векторами. Перечислите свойства линейных операций над векторами.2. Сформулируйте определение коллинеарных (компланарных)векторов. Сформулируйте и докажите необходимое и достаточное условие коллинеарности (компланарности) векторов.3.

Сформулируйте определения базиса на плоскости (в пространстве), разложения вектора по базису, координат вектора в базисе. Сформулируйте и докажите теорему о единственности разложения по базису.4. Найдите радиус-вектор точки A2 , симметричной точке A1 (r 1 )относительно точки C(r0 ).5. Пусть A1 (r 1 ) и A2 (r2 ) — две данные точки. Докажите, что точка B(r) лежит на отрезке [A1 A2 ] тогда и только тогда, когдаr = αr 1 + βr 2 , где α, β ∈ [0; 1] и α + β = 1.6. Точки A1 (r 1 ), A2 (r 2 ), A3 (r 3 ), не лежащие на одной прямой, являются последовательными вершинами параллелограмма. Найдите радиус-вектор r4 четвёртой вершины A4 этого параллелограмма.7. Даны три точки A1 (r1 ), A2 (r2 ), A3 (r 3 ), не лежащие на однойпрямой.

Найдите радиус-вектор точки пересечения медиан треугольника A1 A2 A3 .8. В треугольнике ABC проведена медиана [AD]. Найдите коорди−−→−→ −→наты вектора AD в базисе, образованном векторами AB и AC.9. Сформулируйте определение скалярного произведения векторов.

Сформулируйте и докажите его свойства.1210. Выведите формулу для вычисления скалярного произведениявекторов, заданных своими координатами в ортонормированномбазисе.11. Сформулируйте определение векторного произведения векторов. Запишите формулу для вычисления векторного произведения векторов, заданных своими координатами в ортонормированном базисе.12. Сформулируйте и докажите свойства векторного произведения.13. Запишите формулу для двойного векторного произведения.

Запишите и докажите тождество Якоби.14. Упростите выражения: (а)[a−b, a+b]; (б) [a−b+c, a−2b+3c].15. Сформулируйте определение смешанного произведения векторов. Каков геометрический смысл смешанного произведениявекторов? Сформулируйте и докажите свойства смешанногопроизведения.16. Выведите формулу для вычисления смешанного произведениявекторов, заданных своими координатами в ортонормированномбазисе.17. Что такое правая (левая) тройка векторов? Как определить ориентацию тройки векторов, заданных своими координатами?18.

Докажите тождество (a, c) (a, d) .([a, b], [c, d]) = (b, c) (b, d) 1.2.3.4.5.6.7.8.1.2. Матрицы.Сформулируйте определение линейных операций над матрицами. Перечислите свойства линейных операций над матрицами.Сформулируйте определение линейной комбинации столбцов илинейной оболочки столбцов. Приведите примеры.Сформулируйте определение линейно зависимых и линейнонезависимых столбцов. Приведите примеры.Сформулируйте и докажите теорему о свойствах линейно зависимых столбцов.Сформулируйте определение следа матрицы.

Докажите равенство tr(A + B) = tr A + tr B.Сформулируйте определение произведения матриц. Приведитепримеры.Известно, что произведение двух матриц равно нулевой матрице. Следует ли отсюда, что один из сомножителей представляетсобой нулевую матрицу? Ответ обоснуйте.На какую матрицу нужно умножить матрицу A, чтобы в результате получить (а) первый столбец A; (б) первую строку A?39. Сформулируйте и докажите теорему о свойствах произведенияматриц.10. Пусть A, B — матрицы, для которых определено произведениеC = AB. Докажите, что i-й столбец матрицы C представляетсобой линейную комбинацию столбцов матрицы A с коэффициентами, равными элементам i-го столбца матрицы B.11. Пусть A, B — матрицы, для которых определено произведениеC = AB.

Докажите, что i-й столбец матрицы C представляетсобой произведение матрицы A на i-й столбец матрицы B.12. Пусть A, B — матрицы, для которых определено произведениеC = AB. Докажите, что i-я строка матрицы C представляетсобой линейную комбинацию строк матрицы B с коэффициентами, равными элементам i-й строки матрицы A.13. Пусть A, B — матрицы, для которых определено произведениеC = AB. Докажите, что i-я строка матрицы C представляетсобой произведение i-й строки матрицы A на матрицу B.14.

Сформулируйте определение операции транспонирования матриц. Сформулируйте и докажите теорему о свойствах операциитранспонирования.15. Сформулируйте определение обратной матрицы. Всегда ли существует обратная матрица? Докажите, что если обратная матрица существует, то она единственна.16. Запишите и докажите формулу вычисления обратной матрицыдля (2×)-матрицы.17. Сформулируйте и докажите теорему о свойствах обратной матрицы.18.

Докажите формулу (P −1 AP )k = P −1 Ak P , где A, P — квадратные матрицы.1.3. Определители второго и третьего порядков.1. Сформулируйте определение определителя второго порядка.Сформулируйте и докажите основные свойства определителявторого порядка.2. Докажите формулы Крамера для системы двух уравнений с двумя неизвестными.3. Сформулируйте и докажите критерий равенства нулю определителя второго порядка.4.

Сформулируйте определение определителя третьего порядка.Сформулируйте и докажите основные свойства определителятретьего порядка.45. Запишите формулы разложения определителя третьего порядкапо любому столбцу. Запишите полное разложение определителятретьего порядка.6. Что такое минор элемента определителя? Что такое алгебраическое дополнение элемента определителя? В чём различие междуэтими понятиями?7. Сформулируйте и докажите теорему о фальшивом разложенииопределителя третьего порядка.8.

Сформулируйте и докажите критерий равенства нулю определителя третьего порядка.9. Сформулируйте и докажите теорему об определителе произведения матриц для определителей третьего порядка.10. Сформулируйте и докажите теорему о существовании обратнойматрицы для (3 × 3)-матриц.1.2.3.4.5.6.7.1.4. Уравнения прямых и плоскостей.Запишите векторное параметрическое уравнение прямой наплоскости; параметрическое уравнение прямой на плоскости вкоординатном виде; каноническое уравнение прямой на плоскости в виде пропорции; каноническое уравнение прямой на плоскости с помощью определителя.

Опишите геометрический смыслвсех входящих в эти уравнения постоянных величин.Запишите векторное нормальное уравнение прямой на плоскости, проходящей через заданную точку. Запишите нормальноеуравнение прямой на плоскости, проходящей через заданнуюточку, в прямоугольных координатах. Запишите нормированное уравнение прямой на плоскости.

Опишите геометрическийсмысл всех входящих в эти уравнения постоянных величин.Выведите формулу для вычисления расстояния от точки до прямой.Выведите формулу для нахождения точки, являющейся проекцией данной точки на данную прямую (на плоскости).Выведите формулу для нахождения точки, симметричной данной точке относительно данную прямой (на плоскости).Запишите векторное параметрическое уравнение плоскости; параметрическое уравнение плоскости в координатном виде; каноническое уравнение плоскости (с помощью определителя).

Опишите геометрический смысл всех входящих в уравнение постоянных величин.Запишите векторное нормальное уравнение плоскости; нормальное уравнение плоскости в прямоугольных координатах; нормированное уравнение плоскости; уравнение плоскости в отрезках.58.9.10.11.Опишите геометрический смысл всех входящих в уравнение постоянных величин.Выведите формулу для вычисления расстояния от точки доплоскости.Выведите формулу для нахождения точки, являющейся проекцией данной точки на данную плоскость.Выведите формулу для нахождения точки, симметричной данной точке относительно данную плоскости.Запишите векторное параметрическое уравнение прямой в пространстве; параметрическое уравнение прямой в пространстве вкоординатном виде; каноническое уравнение прямой в пространстве.

Опишите геометрический смысл всех входящих в уравнение постоянных величин.1.5. Составление уравнений прямых и плоскостей.1. Составьте векторное параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку M0 (r0 ) перпендикулярно плоскости(r, n) = D.2. Составьте каноническое уравнение прямой, проходящей черезточку M0 (x0 , y0 , z0 ) перпендикулярно плоскости Ax+By+Cz = Dв прямоугольной декартовой системе координат.3. Составьте векторное нормальное уравнение плоскости, проходящей через точку M1 (r1 ) перпендикулярно прямой r = r0 + ta.4. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точкуx − x0y − y0z − z0M1 (x1 , y1 , z1 ) перпендикулярно прямой==.a1a2a35.

Составьте векторное нормальное уравнение плоскости, проходящей через прямую r = r0 + ta и точку M1 (r 1 ), не лежащую наэтой прямой.6. Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую, заx − x0y − y0z − z0данную каноническим уравнением==,иa1a2a3точку M1 (x1 , y1 , z1 ), не лежащую на этой прямой.7. Составьте векторное нормальное уравнение плоскости, проходящей через прямую r = r 0 + ta перпендикулярно плоскости(r, n) = D.8. Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую, заx − x0y − y0z − z0данную каноническим уравнением==,a1a2a3перпендикулярно плоскости Ax + By + Cz = D в прямоугольнойдекартовой системе координат.69. Составьте векторное нормальное уравнение плоскости, проходящей через прямую r = r 0 + ta параллельно прямой r = r 1 + sbпри условии, что прямые не параллельны (т.е.

[a, b] 6= 0).10. Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую, заx − x0y − y0z − z0данную каноническим уравнением==,a1a2a3y − y1z − z1x − x1==при условии, чтопараллельно прямойb1b2b3прямые не параллельны.1.6. Линии второго порядка.1. Сформулируйте определение эллипса и выведите его каноническое уравнение.2. Запишите параметрические уравнения эллипса. Каков геометрический смысл параметра?3. Выведите формулы, выражающие фокальные радиусы произвольной точки эллипса через её абсциссу.

Сформулируйте и докажите фокальное свойство эллипса.4. Выведите уравнение касательной к эллипсу.5. Сформулируйте и докажите оптическое свойство эллипса.6. Сформулируйте определение гиперболы и выведите её каноническое уравнение.7. Докажите, что гипербола в канонической системе координатимеет наклонные асимптоты.8.