Программа экзаменов 1-4 семестры (Т.П. Лукашенко)

Программы экзамена по математическому анализуЛектор — Т. П. Лукашенко1–4 семестры, 2003–2004 г.1 семестр1. Множества и операции над ними. Свойства операций. Законы Моргана. Декартово произведение множестви его свойства.2. Натуральные, целые и рациональные числа, их свойства. Аксиоматика действительных чисел. Бесконечные десятичные дроби как модель действительных чисел.3. Принципы полноты действительных чисел. Их эквивалентность.4. Эквивалентные множества.

Счетные множества и их свойства. Несчётные множества. Сравнение мощностей. Теорема Кантора – Бернштейна.5. Открытые и замкнутые множества и их свойства.6. Теоремы о конечных подпокрытиях и о существовании предельной точки.7. Предел последовательности и его свойства.8. Предел монотонной ограниченной последовательности. Число e. Критерий Коши сходимости последовательности.9.

Частичные пределы последовательности, их свойства. Числовые ряды.10. Два определения предела функции, их эквивалентность. Свойства предела функции.11. Критерий Коши существования предела функции. Односторонние пределы и их свойства.12. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва.13. Предел функции по базе и его свойства.14. Функции, непрерывные на отрезке, и их свойства (теоремы Больцано – Коши, Вейерштрасса, Кантора).Теорема об обратной функции. Модуль непрерывности.15. Элементарные функции, их свойства. Замечательные пределы.16. Производная, касательная, дифференциал и их связи.17. Правила вычисления производных.

Производные элементарных функций. Производные и дифференциалывысших порядков.18. Теоремы Ферма. Ролля, Лагранжа, Коши и Бонне. Следствия теоремы Лагранжа.19. Свойства производной. Правила Лопиталя.20. Формула Тейлора с различными формами остаточного члена Ряды Тейлора. Разложения некоторых элементарных функций.21. Достаточные условия локального экстремума. Глобальные экстремумы функции на отрезке.22. Выпуклость, точки перегиба. Свойства выпуклых функций. Неравенство Иенсена.23. Свойства односторонних производных выпуклых функций. Условия выпуклости.24.

Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Основные неопределенные интегралы. Интегрирование рациональных дробей, различных иррациональностей. тригонометрических и некоторых другихвыражений.12 семестр1. Определенные интегралы Римана, Мак-Шейна и Курцвейля – Хенстока. Основная лемма о существовании разбиений. Простейшие свойства интегралов. Критерии Коши интегрируемости. Интегрируемость наподотрезках.2. Необходимое условие интегрируемости по Риману. Аддитивность интегралов по отрезкам. Интегрируемость производных по Курцвейлю – Хенстоку. Формула Ньютона – Лейбница и следствие из нее.3.

Верхняя мера Лебега и ее свойства. Множества меры нуль по Лебегу. Интегрируемость ограниченных инепрерывных почти всюду функций по Риману и по Мак-Шейну.4. Ограниченность и непрерывность почти всюду интегрируемых по Риману функций. Связь интеграловРимана и Мак-Шейна. Критерий Лебега интегрируемости по Риману и следующие из него дополнительныесвойства интеграла Римана.5. Интеграл с переменным верхним пределом. Принадлежность к классу Липшица при условии ограниченности. Дифференцируемость в точке. Существование первообразных.

Интегрируемость по Мак-Шейнуфункции, равной нулю почти всюду.6. Два определения измеримых на отрезке функций, их эквивалентность. Интегрируемость по Мак-Шейнуограниченных измеримых функций.7. Слабая и сильная леммы Хенстока. Непрерывность интеграла Курцвейля-Хенстока с переменным верхнимпределом. Интегрируемость по модулю функций, интегрируемых по Мак-Шейну.8. Покрытие в смысле Витали. Теоремы Витали.

Дифференцируемость почти всюду интеграла Курцвейля-Хенстока с переменным верхним пределом.9. Определенные интегралы Римана – Стилтьеса, Мак-Шейна – Стилтьеса и Курцвейля – Хенстока – Стилтьеса; их простейшие свойства. Критерии Коши интегрируемости. Интегрируемость на подотрезках.10. Аддитивность интегралов Стилтьеса по отрезкам. Функции ограниченной вариации их свойства.

Функцииограниченной вариации, как разность неубывающих функций.11. Интегрируемость в смысле Римана – Стилтьеса непрерывных функций по функциям ограниченной вариации. Интегрирование по частям в интеграле Римана – Стилтьеса.12. Сведение интегралов Римана – Стилтьеса к интегралу Римана. Интегрирование по частям и замена переменной в интеграле Римана. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.13. Первая и вторая теоремы о среднем.14.

Несобственные интегралы. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов. Абсолютная и условнаясходимости. Признаки сходимости.15. Метрические пространства. Нормированные пространства. Пространство Rn , норма и метрика в нем. Открытые и замкнутые множества, их свойства.16. Компакты, их свойства. Критерий компактности в Rn . Теорема Больцано – Вейерштрасса о существованиипредельной точки.17.

Последовательности в метрических, нормированных пространствах и в Rn , их пределы, свойства. Полныеметрические пространства. Принцип вложенных шаров. Полнота Rn .18. Предел функции и его свойства (в метрических и нормированных пространствах).19. Непрерывные функции и их свойства (в метрических и нормированных пространствах). Принцип сжимающих отображений.20. Связные множества в метрических и нормированных пространствах и их свойства.21.

Кривые, длина кривой и ее свойства в метрических, нормированных пространствах и в Rn .22. Дифференцируемость отображений нормированных пространств. Дифференцируемость функций нескольких переменных. Дифференциал. Частные производные. Достаточные условия дифференцируемости. Геометрический смысл дифференцируемости функций нескольких переменных.23. Производная по направлению.

Градиент. Правила дифференцирования. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Равенство смешанных производных.24. Формула Тейлора функции нескольких переменных с остаточным членом в форме Лагранжа, интегральнойи Пеано.25. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условие его существования.26.

Теоремы о существовании и дифференцируемости неявной функции.27. Условный экстремум. Метод неопределенных множителей Лагранжа его отыскания.23 семестр1. Числовые ряды. Критерий Коши. Операции над рядами. Абсолютная и условная сходимости. Ряды снеотрицательными членами. Признаки сходимости: ограниченность частичных сумм, сравнения.2. Признаки Д’Аламбера, Коши, интегральный Коши – Маклорена, Куммера, Раабе и Гаусса.3. Ряды с членами произвольных знаков и ряды комплексных чисел.

Признак Лейбница. ПреобразованиеАбеля. Последовательности ограниченной вариации и их свойства. Признаки Абеля и Дирихле.4. Теоремы Коши и Римана о перестановках членов ряда. Умножение рядов. Теоремы Коши и Мертенса.5. Бесконечные произведения. Условия сходимости. Разложение функции sin x в бесконечное произведение.6. Метод суммирования Чезаро (средних арифметических), его вполне регулярность и необходимое условиесуммируемости. Метод суммирования Абеля.

Теорема Фробениуса о суммируемости методом Абеля рядов,суммируемых по Чезаро. Вполне регулярность метода Абеля.7. Критерий Маркова – Гордона перестановки предельных переходов. Функциональные последовательностии ряды. Равномерная сходимость и операции с нею. Критерий Коши равномерной сходимости.8. Признаки Вейерштрасса, Дини. Лейбница, Абеля и Дирихле равномерной сходимости.9. Теорема об изменении порядка пределов и следствия из неё. Полнота пространства C(K) непрерывных накомпакте функций.

Почленное дифференцирование и интегрирование функциональных последовательностей и рядов.10. Критерий компактности Хаусдорфа. Равностепенная непрерывность. Теорема Арцела – Асколи.11. Степенные ряды. Теорема Коши – Адамара. Непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость суммы степенного ряда.12. Степенной ряд как ряд Тейлора своей суммы. Теорема единственности. Теорема Абеля.

Функции комплексного переменного. Формула Эйлера. Пример непрерывной нигде не дифференцируемой функции.13. Функции, зависящие от параметра; равномерное стремление к пределу; связь с равномерной сходимостьюпоследовательностей. Критерий Коши. Свойства равномерной сходимости.14. Перестановка пределов, дифференцирование и интегрирование пределов функций, зависящих от параметра.15. Собственные интегралы с параметром. Их свойства: переход к пределу, непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость.16.

Несобственные интегралы с параметром, их равномерная сходимость. Критерий Коши. Признаки равномерной сходимости Вейерштрасса, Дини, Абеля и Дирихле.17. Свойства несобственных интегралов с параметром: переход к пределу, непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость (собственная и несобственная).18. Интеграл Дирихле. Интегралы Эйлера и их свойства. Формула Эйлера и формула дополнения для гамма-функции. Интеграл Пуассона.19. Связь функций Эйлера B(x) и Γ(x). Формула Стирлинга.20.