1 (Аналитическая геометрия (Кузнецов Л.А.))

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-1Условие задачиНаписать разложение векторапо векторамРешениеимеет вид:Получаем:аносИли в виде системы::anИскомое разложение вектораtigtu.ruСкачано с http://antigtu.ruСкачК третьей строке прибавим вторую умноженную на:tigtu.ruИскомое разложение:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 2-1Условие задачии, построенные по векторамиРешениеПолучаем:Значит векторыаносВекторы коллинеарны если существует такое число такое, чтоколлинеарны если их координаты пропорциональны.Находим:и- не коллинеарны.ачЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 3-1Условие задачиСкНайти косинус угла между векторамиРешениеНайдем?anКоллинеарны ли векторыи:и..

Т.е. векторымежду векторамиии следовательно угол:anТ.е. косинус угла:tigtu.ruНаходим косинус углаУсловие задачианосЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 4-1РешениеачВычислить площадь параллелограмма, построенного на векторахСкПлощадь параллелограмма, построенного на векторахпроизведения:Вычисляемии, численно равна модулю их векторного, используя его свойства векторного произведения:Вычисляем площадь:.tigtu.ruТ.е. площадь параллелограмма, построенного на векторахЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 5-1Условие задачиКомпланарны ли векторы,и?равнаanРешениеи.Для того чтобы три вектора были компланарны (лежали в одной плоскости или параллельныхТак каканосплоскостях), необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение, то векторы,ибыло равно нулю.не компланарны.Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 6-1Условие задачиСкачВычислить объем тетраэдра с вершинами в точкахвершинына грань.РешениеИз вершиныпроведем векторы:и его высоту, опущенную изtigtu.ruВ соответствии с геометрическим смыслом смешанного произведения имеем:anВычислим смешанное произведение:аносПолучаем:Так какСогласно геометрическому смыслу векторного произведения:СкачВычислим векторное произведение:Получаем:Тогда:Высота:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 7-1Условие задачидо плоскости, проходящей через три точкиanНайти расстояние от точкиtigtu.ruОбъем тетраэдра:Решение:аносНаходим уравнение плоскости, проходящей через три точки.ачПроведем преобразования:от точкиСкРасстояниеНаходим:до плоскости:Условие задачиtigtu.ruЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 8-1Написать уравнение плоскости, проходящей через точкуРешение:.anНайдем векторперпендикулярно векторуаносперпендикулярен искомой плоскости, то его можно взять в качестве вектораТак как векторнормали.

Поэтому уравнение плоскости будет иметь вид:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 9-1Условие задачиРешениеачНайти угол между плоскостями:СкДвугранный угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Нормальныевекторы заданных плоскостей:Уголмежду плоскостями определяется формулой:Условие задачи, равноудаленной от точекРешениеи.:аносНайдем расстояниеиanНайти координаты точкиtigtu.ruЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 10-1Так как по условию задачиач, тоТаким образом.Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 11-1СкУсловие задачиПусть - коэффициент преобразования подобия с центром в начале координат. Верно ли, что точкапринадлежит образу плоскости ?Решениеtigtu.ruПри преобразовании подобия с центром в начале координат плоскостьи коэффициентомпереходит в плоскость. Находим образ плоскостиПодставим координаты точкиТак как, то точкав уравнение:не принадлежит образу плоскости.anЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 12-1:Условие задачиРешениеаносНаписать канонические уравнения прямой.Канонические уравнения прямой:,ачгде- координаты какой-либо точки прямой, а- ее направляющийвектор.Так как прямая принадлежит одновременно обеим плоскостям, то ее направляющий векторортогонален нормальным векторам обеих плоскостей.

Нормальные вектора плоскостей:СкНайдем направляющий вектор:tigtu.ru. Пусть, тогдааносanНайдем какую-либо точку прямойСледовательно, точкапринадлежит прямой.Получаем канонические уравнения прямой:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 13-1Условие задачиСкРешениеачНайти точку пересечения прямой и плоскости.Запишем параметрические уравнения прямой.tigtu.ruПодставляем в уравнение плоскости:anНайдем координаты точки пересечения прямой и плоскости:Получаем:Условие задачиНайти точкуРешениеаносЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 14-1симметричную точкеотносительно прямой.ачНаходим уравнение плоскости, которая перпендикулярна данной прямой и проходит через точкуТак плоскость перпендикулярна заданной прямой, то в качестве ее вектора нормали можно взятьнаправляющий вектор прямой:СкТогда уравнение искомой плоскости:Найдем точкупересечения прямой и плоскости.Запишем параметрические уравнения прямой..tigtu.ruПодставляем в уравнение плоскости:anНайдем координаты точки пересечения прямой и плоскости:Так каканосПолучаем:является серединой отрезкаСкачПолучаем:, то.