Автореферат (Эллипсоидальные методы в решении задач достижимости и синтеза управлений для систем с запаздыванием)

Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èìåíè Ì. Â. ËîìîíîñîâàÔàêóëüòåò âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è êèáåðíåòèêèÍà ïðàâàõ ðóêîïèñèÂîñòðèêîâ Èâàí Âàñèëüåâè÷Ýëëèïñîèäàëüíûå ìåòîäû â ðåøåíèè çàäà÷äîñòèæèìîñòè è ñèíòåçà óïðàâëåíèé äëÿ ñèñòåìñ çàïàçäûâàíèåì01.01.02 äèåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ, äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìûè îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèåÀÂÒÎÅÔÅÀÒäèññåðòàöèè íà ñîèñêàíèå ó÷åíîé ñòåïåíèêàíäèäàòà èçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÌîñêâà2016àáîòà âûïîëíåíà íà êàåäðå ñèñòåìíîãî àíàëèçà àêóëüòåòà âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è êèáåðíåòèêèåäåðàëüíîãî ãîñóäàðñòâåííîãî áþäæåòíîãî îáðàçîâàòåëüíîãî ó÷ðåæäåíèÿ âûñøåãî ïðîåññèîíàëüíîãîîáðàçîâàíèÿ ¾Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èìåíè Ì.Â.Ëîìîíîñîâà¿.Íàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü Êóðæàíñêèé Àëåêñàíäð Áîðèñîâè÷,äîêòîð èçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, àêàäåìèê,çàâåäóþùèé êàåäðîé ñèñòåìíîãî àíàëèçààêóëüòåòà âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è êèáåðíåòèêèåäåðàëüíîãî ãîñóäàðñòâåííîãî áþäæåòíîãî îáðàçîâàòåëüíîãîó÷ðåæäåíèÿ âûñøåãî ïðîåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ¾Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èìåíè Ì.Â.Ëîìîíîñîâà¿.Îèöèàëüíûå îïïîíåíòû Àíàíüåâñêèé Èãîðü Ìèõàéëîâè÷,äîêòîð èçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, ïðîåññîð,çàâåäóþùèé ëàáîðàòîðèåéåäåðàëüíîãî ãîñóäàðñòâåííîãî áþäæåòíîãî ó÷ðåæäåíèÿ íàóêè¾Èíñòèòóò ïðîáëåì ìåõàíèêè èì.

À.Þ.Èøëèíñêîãîîññèéñêîé àêàäåìèè íàóê¿,Áîðòàêîâñêèé Àëåêñàíäð Ñåðãååâè÷,äîêòîð èçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, äîöåíò,âåäóùèé íàó÷íûé ñîòðóäíèêåäåðàëüíîãî ãîñóäàðñòâåííîãî áþäæåòíîãî îáðàçîâàòåëüíîãîó÷ðåæäåíèÿ âûñøåãî îáðàçîâàíèÿ¾Ìîñêîâñêèé àâèàöèîííûé èíñòèòóò(íàöèîíàëüíûé èññëåäîâàòåëüñêèé óíèâåðñèòåò)¿.Âåäóùàÿ îðãàíèçàöèÿ Ôåäåðàëüíîå ãîñóäàðñòâåííîå áþäæåòíîå ó÷ðåæäåíèå íàóêè¾Ìàòåìàòè÷åñêèé èíñòèòóò èì. Â.À.Ñòåêëîâàîññèéñêîé àêàäåìèè íàóê¿.Çàùèòà ñîñòîèòñÿ 25 ìàÿ 2016 ãîäà â 15:30 íà çàñåäàíèè äèññåðòàöèîííîãî ñîâåòà Ä 501.001.43 â Ìîñêîâñêîì ãîñóäàðñòâåííîì óíèâåðñèòåòå èìåíè Ì.

Â. Ëîìîíîñîâà ïî àäðåñó: 119991, ÑÏ-1, Ìîñêâà, Ëåíèíñêèåãîðû, ÌÓ èìåíè Ì. Â. Ëîìîíîñîâà, 2-é ó÷åáíûé êîðïóñ, àêóëüòåò ÂÌÊ, àóä. 685.Ñ äèññåðòàöèåé ìîæíî îçíàêîìèòüñÿ â íàó÷íîé áèáëèîòåêå Ìîñêîâñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòàèìåíè Ì. Â. Ëîìîíîñîâà ïî àäðåñó: 119192, Ìîñêâà, Ëîìîíîñîâñêèé ïðîñïåêò, ä. 27;íà ñàéòå http://www.s.msu.su.Àâòîðååðàò ðàçîñëàí2016 ã.Ó÷åíûé ñåêðåòàðü äèññåðòàöèîííîãî ñîâåòàäîêòîð èçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, ïðîåññîðÅ. Â. ÇàõàðîâÎáùàÿ õàðàêòåðèñòèêà ðàáîòûÄèññåðòàöèîííàÿ ðàáîòà ïîñâÿùåíà ýëëèïñîèäàëüíûì ìåòîäàì â çàäà÷àõ óïðàâëåíèÿ äëÿ ëèíåéíûõ óïðàâëÿåìûõ ñèñòåì ñ çàïàçäûâàíèåì.Àêòóàëüíîñòü òåìûÈññëåäîâàíèå ñèñòåì ñ çàïàçäûâàíèåì îáóñëîâëåíî ñóùåñòâîâàíèåì ïðîöåññîâ, çàêîíû ðàçâèòèÿ êîòîðûõ âêëþ÷àþò â ñåáÿ íå òîëüêî òåêóùåå ñîñòîÿíèå, íî è ïðåäûñòîðèþ.

Ïîäîáíûå ïðîöåññû âîçíèêàþò â ìåõàíèêå, ýëåêòðîäèíàìèêå, õèìèè, áèîëîãèè, ìåäèöèíå.Âîçíèêàåò çàïàçäûâàíèå â çàäà÷àõ óïðàâëåíèÿ ïî ðåçóëüòàòàì íàáëþäåíèé. Çàïàçäûâàòü ìîãóò êàê ñàìè èçìåðåíèÿ, òàê è ïåðåäà÷à ñèãíàëîâ íàáëþäåíèé. ìåõàíèêå ñèñòåìàìè ñ çàïàçäûâàíèåì îïèñûâàþòñÿ ñîñòîÿíèÿ íàïðÿæåííîé äåîðìàöèè ðÿäà ìàòåðèàëîâ. Ýòî çàäà÷è íàñëåäñòâåííîé óïðóãîñòèèëè âÿçêîóïðóãîñòè. À òàêæå çàäà÷è àýðîàâòîóïðóãîñòè, èçó÷àþùèå äâèæåíèÿ òåë ñ ó÷åòîì âçàèìîäåéñòâèÿ ñ îêðóæàþùåé ñðåäîé. áèîëîãèè çàäà÷è ñ ïîñëåäåéñòâèåì âîçíèêàþò ïðè îïèñàíèè ýâîëþöèèðàçëè÷íûõ áèîëîãè÷åñêèõ ñèñòåì, â ìåäèöèíå - ïðè îïèñàíèè óíêöèîíèðîâàíèè ñèñòåì æèçíåäåÿòåëüíîñòè îðãàíèçìà (íàïðèìåð êðîâîîáðàùåíèÿ).Àêòèâíîå èçó÷åíèå óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì íà÷àëîñü â 50-å ãîäà 20ãî âåêà.

Èññëåäîâàíèåì òàêèõ óðàâíåíèé íà÷àëè çàíèìàòüñÿ À.Ä. Ìûøêèñ[36-38℄ è Á.Ñ. àçóìèõèí [32℄.  ýòèõ ðàáîòàõ òåêóùåå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû ðàññìàòðèâàëîñü òîëüêî â êîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå. ×òî ñóùåñòâåííî îãðàíè÷èâàëî êðóã ðåøàåìûõ çàäà÷.Íà÷àëî ïðèíöèïèàëüíî íîâîãî ýòàïà ðàçâèòèÿ òåîðèè äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì ñâÿçàíî ñ èìåíåì Í.Í. Êðàñîâñêîãî [11-17℄.Îí ïåðâûì ïðåäëîæèë èñïîëüçîâàòü óíêöèîíàëüíóþ ñòðóêòóðó ðåøåíèéóðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì [12℄. Ýòî ïîçâîëèëî âûâåñòè òåîðèþ óðàâíåíèé ñçàïàçäûâàíèåì íà óðîâåíü ñ òîé æå ñòåïåíüþ äåòàëèçàöèè êàê ó òåîðèè äëÿîáûêíîâåííûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.3Äàëüíåéøåå èçó÷åíèå ñèñòåì ñ çàïàçäûâàíèåì ïðîäîëæèëèñü â ðàáîòàõ.

Áåëëìàíà, Ê. Êóêà [4, 39℄, Äæ. Õåéëà [35, 40℄. Ìåòîäû óïðàâëåíèÿ ñèñòåìàìè ñ çàïàçäûâàíèåì ðàçâèòû â ðàáîòàõ Ñ.Í. Øèìàíîâà [37℄, Þ.Ñ. Îñèïîâà [29℄, À.Á. Êóðæàíñêîãî [18-20℄, Â.Á. Êîëìàíîâñêîãî [2℄, .Ô. àáàñîâà,Ô.Ì. Êèðèëëîâîé [5℄, Í.Â. Àçáåëåâà [1℄, Ë.Ý. Ýëüñãîëüöà, Ñ.Á. Íîðêèíà [38℄,.À. Êàìåíñêîãî [8℄, A.M. Çâåðêèíà [6℄, À.Â. Êèìà [9℄, Í.Þ. Ëóêîÿíîâà [22℄. ïîäõîäå Í.Í. Êðàñîâñêîãî èññëåäóåìóþ ñèñòåìó ìîæíî ðàññìàòðèâàòüêàê ýâîëþöèîííîå óðàâíåíèå â óíêöèîíàëüíîì ïðîñòðàíñòâå, ýëåìåíòàìèêîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ çíà÷åíèÿ óíêöèé ñ ïðåäûñòîðèÿìè.

Ýòî ïîçâîëÿåò âîñïîëüçîâàòüñÿ ìåòîäîì äèíàìè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ, îñîáåííîñòüþ ïðèìåíåíèÿ êîòîðîãî áóäåò ÿâëÿòüñÿ ñòðóêòóðà äàííîãî ïðîñòðàíñòâà.Âîçíèêàþùèå ïðè ýòîì óðàâíåíèÿ, ðàññìàòðèâàþùèåñÿ â óíêöèîíàëüíîì ïðîñòðàíñòâå, òðåáóþò ââåäåíèÿ îáîáùåííûõ ðåøåíèé â äàííîì ïðîñòðàíñòâå è ñîîòâåòñòâóþùèõ óíêöèîíàëüíûõ ïðîèçâîäíûõ. àçëè÷íûå ïîäõîäû ê ââåäåíèþ ýòèõ ïðîèçâîäíûõ ìîæíî ïîñìîòðåòü â [2, 9, 22℄.Äðóãîé ïðîáëåìîé ïðè ðàññìîòðåíèè äàííûõ çàäà÷ ÿâëÿåòñÿ íåêîððåêòíîñòü ïîñòàíîâêè çàäà÷è âîññòàíîâëåíèÿ íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ.

Ïîäõîäû äëÿðåøåíèÿ äàííîé ïðîáëåìû õîðîøî èçâåñòíû äëÿ ñèñòåì ñ ðàñïðåäåëåííûìèïàðàìåòðàìè - ìåòîä ðåãóëÿðèçàöèè À.Í. Òèõîíîâà [34℄, ìåòîä êâàçèðåøåíèéÂ.Ê. Èâàíîâà [7℄, ìåòîä êâàçèîáðàùåíèÿ Æ.-Ë. Ëèîíñà . Ëàòòåñà [21℄ èäð.Ïðè îáðàùåíèè ðåøåíèÿ â ñèñòåìàõ ñ çàïàçäûâàíèåì ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ìåòîäîì ïðÿìûõ [18℄, à òàêæå ñâåäåíèåì ê óðàâíåíèþ íåéòðàëüíîãî òèïà [4℄.  ïåðâîì ñëó÷àå âîçíèêàåò ñèñòåìà îáûêíîâåííûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, êîòîðàÿ àïïðîêñèìèðóåò èñõîäíóþ ñèñòåìó. Äëÿ íåå ïðèðåøåíèè çàäà÷ óïðàâëåíèÿ õîðîøî ðàçâèò ìåòîä ýëëèïñîèäàëüíîãî îöåíèâàíèÿ [55-58℄.

Ñ ïîìîùüþ ýëëèïñîèäîâ îöåíèâàþòñÿ ìíîæåñòâà äîñòèæèìîñòè èðàçðåøèìîñòè. Ýòî ïîçâîëÿåò ïîëó÷àòü ïàðàëëåëüíûå àëãîðèòìû äëÿ íàõîæäåíèÿ èñêîìûõ ìíîæåñòâ è ïîçâîëÿåò ñòðîèòü ñèíòåç óïðàâëåíèÿ â ðåæèìå4ðåàëüíîãî âðåìåíè. Èçâåñòíî ìíîæåñòâî àëãîðèòìîâ äëÿ ðàçëè÷íûõ êëàññîâçàäà÷. àñøèðåíèå ãðàíèö ïðèìåíåíèÿ äàííîãî ìåòîäà äëÿ çàäà÷ ïîçâîëèòðåøàòü áîëåå øèðîêèé êëàññ çàäà÷, âêëþ÷àÿ è çàäà÷è ñ çàïàçäûâàíèåì.Öåëü ðàáîòûÏðèìåíèòü ìåòîä äèíàìè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ äëÿ çàäà÷è öåëåâîãî óïðàâëåíèÿ. Ïîñòðîèòü òðåáóåìûå óíêöèîíàëû öåíû è ïîëó÷èòü äëÿíèõ ñîîòâåòñòâóþùèå óðàâíåíèÿ òèïà àìèëüòîíà-ßêîáè-Áåëëìàíà. Âûïèñàòü ïðèíöèï îïòèìàëüíîñòè.Ïîñòðîèòü ýëëèïñîèäàëüíûå îöåíêè ìíîæåñòâà äîñòèæèìîñòè äëÿ çàäà÷ñ çàïàçäûâàíèåì.Ñîâìåùàÿ ìåòîä ïðÿìûõ è ýëëèïñîèäàëüíîå èñ÷èñëåíèå ïîëó÷èòü àëãîðèòì âû÷èñëåíèÿ ñèíòåçà äëÿ çàäà÷ ñ çàïàçäûâàíèåì.

Ïðè ýòîì èñõîäíàÿñèñòåìà ñ çàïàçäûâàíèåì àïïðîêñèìèðóåòñÿ ñèñòåìîé îáûêíîâåííûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, äëÿ êîòîðîé ñòðîèòñÿ ñèíòåç óïðàâëåíèÿ ñ ïîìîùüþýëëèïñîèäàëüíûõ ìåòîäîâ îöåíèâàíèÿ.Íàó÷íàÿ íîâèçíàÏîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ÿâëÿþòñÿ íîâûìè.Ïîëó÷åíû ÿâíûé âèä óíêöèîíàëà öåíû è óðàâíåíèå äèíàìè÷åñêîãîïðîãðàììèðîâàíèÿ äëÿ ëèíåéíîé óïðàâëÿåìîé ñèñòåìû ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì. àññìîòðåíû ñëó÷àè íàõîæäåíèÿ ìíîæåñòâ äîñòèæèìîñòè è ðàçðåøèìîñòè.Ïîëó÷åíû íîâûå îðìóëû èñ÷åðïûâàþùèõ ýëëèïñîèäàëüíûõ îöåíîê äëÿìíîæåñòâà äîñòèæèìîñòè â êîíå÷íîìåðíîì è óíêöèîíàëüíîì ïðîñòðàíñòâàõ.Ñ ïîìîùüþ ýëëèïñîèäàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ ïîñòðîåí àëãîðèòì âû÷èñëåíèÿ ñèíòåçà óïðàâëåíèÿ â ðåàëüíîì âðåìåíè äëÿ àïïðîêñèìèðóþùåé ëèíåéíîé óïðàâëÿåìîé ñèñòåìû, îïèñûâàåìîé îáûêíîâåííûìè äèåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè.Òåîðåòè÷åñêàÿ è ïðàêòè÷åñêàÿ öåííîñòüàáîòà íîñèò â îñíîâíîì òåîðåòè÷åñêèé õàðàêòåð.

Ìåòîäû, ðàçâèòûå â5ðàáîòå, ïîçâîëÿþò ïîëó÷àòü îöåíêè ìíîæåñòâ, êîòîðûå àêòèâíî èñïîëüçóþòñÿ ïðè ðåøåíèè çàäà÷ óïðàâëåíèÿ. Êàæäàÿ îöåíêà ñ÷èòàåòñÿ íåçàâèñèìîîò äðóãîé, ÷òî ïîçâîëÿåò àêòèâíî ïîëüçîâàòüñÿ ñóïåðêîìïüþòåðíûìè âû÷èñëåíèÿìè. Àëãîðèòìû ñèíòåçà óïðàâëåíèÿ ïîçâîëÿþò ðàáîòàòü â ðåàëüíîìâðåìåíè, ÷òî ñóùåñòâåííî ïðè ðåøåíèè ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷.Ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ.Èñïîëüçîâàí ìåòîä äèíàìè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ äëÿ ïîñòðîåíèÿóíêöèîíàëà öåíû è âûâîäà óðàâíåíèÿ òèïà àìèëüòîíà-ßêîáè-Áåëëìàíà. Ñïîìîùüþ ìåòîäîâ âûïóêëîãî àíàëèçà ïîëó÷åí àíàëèòè÷åñêèé âèä èñêîìîãîóíêöèîíàëà.

Ñ ïîìîùüþ ìåòîäîâ ýëëèïñîèäàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ ïîëó÷åíûîðìóëû èñ÷åðïûâàþùèõ ýëëèïñîèäàëüíûõ îöåíîê äëÿ ìíîæåñòâà äîñòèæèìîñòè è ñèíòåç óïðàâëåíèÿ äëÿ àïïðîêñèìèðóþùåé ñèñòåìû.Àïðîáàöèÿ ðàáîòûåçóëüòàòû ðàáîòû äîêëàäûâàëèñü íà íàó÷íîì ñåìèíàðå Ïðèêëàäíûåçàäà÷è ñèñòåìíîãî àíàëèçà ïîä ðóêîâîäñòâîì àêàäåìèêà À. Á. Êóðæàíñêîãîíà êàåäðå ñèñòåìíîãî àíàëèçà àêóëüòåòà ÂÌÊ ÌÓ èìåíè Ì.Â.

Ëîìîíîñîâà, íà ìåæäóíàðîäíûé ñåìèíàðå Òåîðèÿ óïðàâëåíèÿ è òåîðèÿ îáîáùåííûõ ðåøåíèé óðàâíåíèé àìèëüòîíà-ßêîáè (CGS'2005, Åêàòåðèíáóðã, 2005),íà ñèìïîçèóìå Óïðàâëåíèå óïðóãèìè êîëåáàíèÿìè (Ïåðåñëàâëü-Çàëåññêèé,2006), íà êîíåðåíöèè Ëîìîíîñîâñêèå ÷òåíèÿ-2013 (Ìîñêâà, 2013), íà ÕÕÌåæäóíàðîäíîé êîíåðåíöèÿ ïî àâòîìàòè÷åñêîìó óïðàâëåíèþ Àâòîìàòèêà- 2013, (Íèêîëàåâ, Óêðàèíà, 2013), íà êîíåðåíöèè Ëîìîíîñîâñêèå ÷òåíèÿ2014 (Ìîñêâà, 2014)Ïóáëèêàöèè.åçóëüòàòû äèññåðòàöèè îïóáëèêîâàíû â 3-õ ðàáîòàõ [45-47℄, ñïèñîê êîòîðûõ ïðèâåäåí â êîíöå àâòîðååðàòà.

Âñå îíè îïóáëèêîâàíû â æóðíàëàõ èçïåðå÷íÿ ÂÀÊ.àáîòû [45, 47℄ ïîäãîòîâëåíû àâòîðîì ñàìîñòîÿòåëüíî.àáîòà [46℄ ïîäãîòîâëåíà ñîâìåñòíî ñ À.Í. Äàðüèíûì è À.Á Êóðæàí6ñêèì. Èäåÿ èññëåäîâàíèé ïðèíàäëåæèò íàó÷íîìó ðóêîâîäèòåëþ àâòîðà, àêàäåìèêó À. Á. Êóðæàíñêîìó. Àâòîðîì ïîëó÷åíû îðìóëû ýëëèïñîèäàëüíûõîöåíîê è ýëëèïñîèäàëüíîãî ñèíòåçà óïðàâëåíèé. À.Í. Äàðüèí ïðîâåë ÷èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå.Ñòðóêòóðà è îáúåì äèññåðòàöèè.Äèññåðòàöèÿ ñîñòîèò èç ââåäåíèÿ, ÷åòûðåõ ãëàâ, çàêëþ÷åíèÿ è ñïèñêàëèòåðàòóðû.Ñîäåðæàíèå ðàáîòûÏåðâàÿ ãëàâà ïîñâÿùåíà ïðèìåíåíèþ ìåòîäà äèíàìè÷åñêîãî ïðîãðàì-ìèðîâàíèÿ äëÿ çàäà÷, îïèñûâàåìûõ ëèíåéíûìè äèåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè ñ çàïàçäûâàíèåì.

Îñíîâíîå ñîäåðæàíèå äàííîé ãëàâû îïóáëèêîâàíîâ ðàáîòå [47℄.àññìàòðèâàåòñÿ ëèíåéíàÿ óïðàâëÿåìàÿ ñèñòåìà ñ çàïàçäûâàíèåì:ẋ(τ ) = A0 (τ )x(τ ) + A1(τ )x(τ − h) + B(τ )u(τ ),xt (τ ) = x∗(τ ),τ ∈ [t0, t1],τ ∈ [−h, 0].ñ ãåîìåòðè÷åñêèì îãðàíè÷åíèåì íà óïðàâëåíèå:u(τ ) ∈ P (τ )ãäåïðèτ ∈ [t0, t1 ]P (τ ) íåïðåðûâíàÿ ïî ìåòðèêå Õàóñäîðà óíêöèÿ, çíà÷åíèÿìè êîòîðîéÿâëÿþòñÿ âûïóêëûå êîìïàêòû â ïðîñòðàíñòâåRn .Ñòàâèòñÿ çàäà÷à öåëåâîãî óïðàâëåíèÿ èç çàäàííîãî ìíîæåñòâà÷àëüíûõ ñîñòîÿíèé íà ìíîæåñòâîX0íà-M.Ââîäèòñÿ ïîíÿòèå òåêóùåé ïîçèöèè.Îïðåäåëåíèå 1.Òåêóùàÿ ïîçèöèÿ {t, xt(·)} ñèñòåìû åñòü ïàðà, ñîñòîÿ-ùàÿ èç òåêóùåãî ìîìåíòà âðåìåíè t è óíêöèè xt (·) ðåøåíèÿ â òåêóùèéìîìåíò âðåìåíè âìåñòå ñ ïðåäûñòîðèåé íà èíòåðâàëå [t − h, t).7 ñèëó óíêöèîíàëüíîé ïðèðîäû òåêóùåãî àçîâîãî ñîñòîÿíèÿ (äëÿïðîäîëæåíèÿ ðåøåíèÿ â òåêóùèé ìîìåíò âðåìåíè òðåáóåòñÿ çíàòü ïðåäûñòîðèþ íà îòðåçêå[t − h, t])âîçìîæíû äâå ïîñòàíîâêè - óíêöèîíàëüíàÿ èêîíå÷íîìåðíàÿ. ïåðâîì ñëó÷àå òðåáóåòñÿ ïîïàñòü â öåëåâîå ìíîæåñòâîçàäàííûõ â óíêöèîíàëüíîì ïðîñòðàíñòâåM(·) ñîñòîÿíèé,H = L2[−h, 0] × Rn :  ÷àñòíîñòè,åñëè òðåáóåòñÿ ïðèâåñòè ñèñòåìó â ñîñòîÿíèå ïîêîÿ, òî íåîáõîäèìî óäåðæèâàòü ñèñòåìó â ýòîì ñîñòîÿíèè â ïðîñòðàíñòâåâðåìåíè äëèòåëüíîñòüþh.Rnâ òå÷åíèè âñåãî îòðåçêà ýòîì ñëó÷àå ìíîæåñòâîâîé óíêöèè èç ïðîñòðàíñòâàM(·)H.Âî âòîðîì ñëó÷àå òðåáóåòñÿ ïîïàñòü âî ìíîæåñòâîãî ïðîñòðàíñòâàRn .ñîñòîèò èç íóëå-Mêîíå÷íîìåðíî-Çäåñü îòñóòñòâóåò òðåáîâàíèå óäåðæàòü ñèñòåìó â ýòîììíîæåñòâå ïîñëå ïîïàäàíèÿ â íåãî.