Топологические инварианты алгебраических аналогов цепочки Тода и геодезических потоков с квадратичными по импульсам интегралами, страница 2

— К~ИТИЧ8СЕИ8 ТОЧКИ Ц~ЛКЦИИ Я~1). условно гладкости ~~е~=[а+а~13]/~' ~1- т~ Функц~л ~~'3 в боско- НС'.ИОСТИ Г3~1ЯН,'И';у 8'Г, ЧТО КСЛИЧ8СТБО' ЗКСТР8М~ИОБ фуИКЦИИ Я~ 1 ~ КОНОЧНО 287~/ДНО НЛ';:3".:,'ЛТЬ, ЧТО Я'~3 ЕМ887 ВИД, ИЗООРЗК8НЫМЙ БВ РИС.2. ЛЫ;-.~'~~,' ф~;:Н;ЦИИ ~; ~фСДС~ЯО~СЯ с1Н8ЛО~"ИЧНО ИОДУ ЗЦ'~ ф7ЕКЕИИ ~', СЬк, х-'ИС.:~. ОПР8Д8Л8БИ8 1.~С "Ь ~Ь ... ° ,Ь 3 — ПРОЛЗВОАЬНВЯ СВЯЗНАЯ ПОДПОСЛ8ДОБат8ЛЬНОСТЬ а Я~~,М ИЛИ В Б7~~, Т8КаЯ, ЧТО Ь, = Ь Ь > Ь, ~1=2,...,1~--! 3. 3;"1МИН8 ('Ь~,...,Ь„~ — ~Ь„,Ь„,...,Ь, ~ а Я,~ Ь3 ИЛИ В 5( Я,~ НЗЗИБВбТСЯ З,Ы!ЯВЯИЯЯММ ЙРООфСЗО6~ййИМ БООИ ЛВВ ХОАВ НВЗНБВВ1СЯ ЗАбЯВЯХЕКЙИ44М, 8СЛИ ОДИН ИОЛ~'ЧОСТСЯ ИЗ Д~ф- тищяицие 3 слоаиям (0.2с, б), задают тополот'ячески экаиазлентеие ГеодеЗические потоки мет~'як Вида (0.2) Ба сф~~36 Б~, если и тОль- ко если их коды Я~„~,Ь,) и а(,/ ',Ь' » экБиаалеетни.

2) Функции Марса ~1)--Ц' ~~) и д,«~.)=.1/',~'.,) задают топологлчески маиьалеи".'ые геодезические потоки метрик Вида (0.1 ) нв сфере Я~, есл~'"; и только если Гк коды '~(я ,) и Ь~я ~ акаиВалеБтнн. Как и следоиало О я.дать, тополОГически неэкВиВалеитнне ГеоДе аЦЦЕ гаКИЕ ПОТО~„И ~» а гз~~Р,.ОР ОДР~~ ~УУУ~~ ДИСКРЕ Т, ~Ос Удоже СТВО Бю~ ходящееся ВО Взаимно Одвоаначном сООТВетстВиж с множестВОм кОдОВ 8Я,)~ Рассмач~)иаае~~'л с точностью ДО экВКВалйктности. ВпданОВО мноГООорззие У БааиБЗетсЯ ~~С-,жйоеооб~хВиВм, если суп~естаует такое число 7>О, что все геодемчвские яюиются простыми, т.е. ие соыопересекаюцщися, замкнутьъи криаыми длины 1.

НЯТВГРЩЦ~ВМЦХ РВОДЗЗИЧВСКИХ ПОТОКОВ НЗ 0ф8Д8. $8 1ЮОВЯИ~ВН ОбЗОР7 НВОбХОДИМЫХ СВВДВНИЙ О 1ЮЛИНОМБЗЛЬИНХ ЦЩВГРЗЛЗХ ГВОДВЗИЖСаж ДОУОНОЭ, ПОЧЕРПНУтНХ Иа РабОт В.Е.КОДОКОЛЬЦОаЗ 130-32). ВИЛИМОВ СХОДСтао КНтЕГРИРУЕМХ~ МЕтРИК НЗ СфВР8 И НЗ ТОР8, ДОПУОКЗБПЩИ ДОПОЛНИТСЛЬНИИ БВТРИНИЗЛЬНМЙ КЭЗДРЗТИЧНЫЙ ПО И(ПУЛЬСЗМ ИНТВГРЗЛ, ПОДСКЗЗЗЛО НЗМ ИДИО ВОСПОЛЬЗОВЗТЬСЯ ПОЩЧОЫЖИЙ РЗИВВ КЛ.ГВЛИВЗНОВОЙ ~363 ~83УЛЬТЗТЗМИ КЛЗС— СИфИКЗЦИИ ЛИ,"у'ВИЛЛВИ~Х ГВОДВЗИЧВСЮП ПОТОКОВ НЗ ТОРО ~ ДЛЯ КЛЗССИфИКЗЩИ ГВОДВЗИЧВСКИХ 1Ю'1'ОКОВ 14ВТРИКИ ЗИДЗ ~0.2) НЗ СЯВРВ Я доло и том, что присутствующая в условии (О.о > $о функди вейВрштрвсся рс83в~вуст рсосОтоливюв ЛВу~о~стиов н1врытио с:2' -~ а И ЙОЭВОЛЯВ'Г ВВВСТИ ЕЯ КОН~~~КГЯ1БП7ЛБЙОЙ СфЮРВ С ВБКОЛОТБМЛ ТОЧКЗ'.

ИИ ОК$$ГЛВНЫ (ЕО~~'.","..М".;*;::Ит$ЯАРНОЯ НЗЭЫБЗЮГСЯ О6~3ЗЗН Щ~И О7ОбрЗ- йВКйИ $~:7 —;- ЧВ:Р;.,:~м.~, '.~О-1~ К ~~В~~уДВ~И~ ЯЗ ~ООВ Т') КОО~ЗДИИЗ~~ СООТВОТС7Б/БОЖЕВ КОО~ЭДИБЗТМ4 «Б, У3 НМЦ;у'АЬСЦ ф, Р,у ОЩнЭДВЛВНБ ВСВД7 НЗ СфОРВ Ь „КР',МФЗ ЧОТЩЮХ ТОЧВК ОК07ГЛВНИЯ- ГЯМЫЛЬТОЕИЗН УУ И ДОПОЗ'МХВЛЬБ~Й ИБТВГ~ЗА Р ГВОДВЗИМВСКОГО ПОТОКЗ НЗ Сф3~26 Б В КОО~~~ЫЗтЗ~ ~~, т~, ~ т ~ ~ (а ОбЛЗСТИ, ГДВ ЗтИ КООРД~~З~й ОПРВДВЛВНЫ ), ИМВЮ7 СЛВД7'П~ИЙ ВИД СИИ Метрикам вида ~0.3 ); 2) ~ш,ай=~6,41 ИЛИ вЂ” +ЖЛ я-2, Гдв Иаб, и=4й+2„п=21, й,1 й 2 979 ОбЛЯСТЬ, ОТМОЧОНИОЯ Н8 РИС.4 Ч9~~3НЫМИ КРЯЖОЧХВМИ, ОТВ8Ч667 ПОСЛЕДНИЙ $11 ГММж 2 ПОСНИФН ВИЧМОЛЕНИВ СЛОЖИОС~И.

ИВ~8 ~уИРУ8МИХ РВОДВЗИЧВСИИХ ПОТОКОВ И6 С46Р8 8 ЩрРема. ЙИ8РРЩ>У8МЫ8 Г8ОДОЗКЧЭСИВ ПОТ0КИ БЙ. С$8Р~ ~~~ М8~РИКОй ВИДа (0.1 ) Ж (О.2~ ЗаПОЛНаоУ НЬ МОЛ9КУЛЯРНОЙ ~8бЛИЦ6 СЛОМЯОСТИ С4ЮДЗЧЗЩУЮ ОбЛВЖЬ: $) «'В,ПЖ2~1,) ИЛИ вЂ” +ЛЯ~Я-1, РД6 ФВ6, И-"41+Я, 7М.'1+1, Й~ М4 г Э$'3 ОбЛЗС'УЬ| ОЙ48Ч6ЯНЙЯ Н8 РИС.4 68ЛБМИ К~фКОЧКЙМИ, О7ВВЧ86'Р (Т.В. ОбЛЗСТИ НЭ МОЛВБУЛЯРНОЙ 78бЛИЦВ ФОМВНКО) бЫЛИ ПОЛНОСТЬВ ИЩЧВНЫ НГУВН ТЬВЕ ЗУНХЫ И А.Т.ФОМЕНКО а 1ЗТ,283.

ВП ВИДНО ИЗ РИС.4, "ФИЗИЧВСЫЗЯ ЗОНЭ" Н3111ИХ ПОТОКОВ ПРВДСТЗБЛЯВТ СОбОЙ "СВ- ТОЧНОВ ПОДМНОЖВСТВО" В ЯР~-ОбЛЗСТИ. ГИПОТВЗЗ (А.Ч'.ФОМВНКО). ПУСТЬ ДИНО ПРОИЗВОЛЬНВЯ МВТ~ИБ9 Я.. НВ С48РВ Я , ГВОДВЗИЧВСКИИ ПОТОК КОТО~ЮЙ ГНТВГРИ~ЗУВМ ТОР- Дй ОТВВЧЯЩ88 ВЙ МВСТО Нй МОЛЭКУЛЯРНОЙ ТВбЛИЦВ СЛОЖНОСТИ НАРКО ДИТСЯ И1~ТДИ УБВ ИЗВВСТНСЛ: НЯМ ООЛЗСТИ, ОТМВЧВРПтой Нв РИС.4 бе- ЛЫМИ И Ч6~1НУМИ ЕД~БОЧКВМИ. МЯВЧВ: С ТОЧКИ 3~16НЫЯ СЛОКНОСТИ ГВОДВЗИЧВСКИВ ПОТОКИ С ЛИНВЙ7ЛХМ И КВЗД1МТИЧНЬМ ДО1ИАИИТВЛЬНЫМ ИЯТВГРВЛОМ ИСЧВРПБЗ81ОТ '"ПОЧТИ ВСВ" ИНТВГРИД'ВМЯВ ГВОДВЗИЧВСКИВ ПОТОКИ НЗ Сф6~36 ЗЗМВЧЯНКВ. АНЗЛО':1Ч 1211 ГЕ11ОТВЗВ А*ЛЯ СфЭ~ЗМ~ЛИРОВВНЗ А ° ~.ФО- менко и для Г~;,,116~'ч--с1;.1.:~ .1ото~~в нй то~~- Т' й обсуждеется в РвбоТ "1~ Р.Л. С~':..~;1~611;:~~ ..~~!..

ОЩЭВДВАВБИВ ° '.1.'.1 ЗОЬЭМ ИЯТ61 Ир,'~ВМ710 МВТРИКУ Я . БЯ ДВУМВР- .3, КОМ МНОГОО~.~Бейб Ю Г1 Л1;~""й.'1"ДВ.1012, ОСЛИ ВСВ СВДЛОВНВ КРИТИЧВСЕИВ ОКРУМБОСТИ СООТВВТСТВ';1!11ЦВЙ ГВМЖЛЬТОБОВОЙ СЯСТВМБ ИМВИТ БРИВНТИРУВМЦВ С611ВДЗТ~1ИСББВ ДИЗГ~ЗВММЫ « Ркс. Ф, ГдО белые и че~ние жр7яни отВечЗВт Реоде3ичесни~ пот%%Им с линейнБм и еВэд~итични4 по иип~льсек доиолнктельннм иятеГ~илом, а белые Б7укхк с точкой соотаетстауют еегзаестнцм поки (или яе сущестВ71щРи ВОВсе ) Рклильтоноии оястемем.

В Зйкеиченйе ЯВтор ВьЦикйет 1'л7бокУБ бли"ОДЗ~жость сВООм~ Бйучном3" РУМОВодитеАЙ цзОфОссору А..~.й)менко 33 ВнБмяйке к ~иботе и полеенБ6 яя$нчян~л~. В 1867 году кюнский Физик Моршацу Тода исследовал маиюДейстВие зтомОВ В Кристаллической решетке и Обнаружил Отсутствие стсхаатизаи)и и Одномерной бесконечной цепочке частиц единичной иассы с акспоненциалыщм Взаи4одеистмем между соседними частицами.

Система частиц, поедложе~~~ая для Рассмотрения И.ТОда, онРеделяется потенциалом 7 —: е ех~э х. — х, Где х — отклОнение $-Й частицы от положения ~иВБОБесия 117). дическую (нбзамкнуТую) цсночку ц частиц Ба прямой, коГда перВая и последняя частицы не ВзаимодейстВуют друГ с друГом, и не~)иодд- ческую ~замкнут~'В ~~ цепочку й частмц на Гц)ямой» ко1 да педаая и РдсАедняя частиК1 В,"~а~У."одейстаует так ке, как и Всб остальиые ° В 1974 Го~'.

в -.аботе Хенона ~181 ДЛЯ конечной непериодической ЦеГОчке Тода„оостоЯ~цей из й частиц~ били Найдены б~' фУБИ4кОнзльно незызесиьих к.нтеГ~алоВ дВиженкЯ. В этом жс Году Б Работах Флашки 11% и ЧанакоВа 12С'; была подобрана подхоДЯЩВЯ пара Лакса для этОЙ це11очки и доказана инаолюТкнюсть найден$нх ХВноном ИБ- ТЕГ~ЗЛОВ. В Работе О.И,БОГОЯвлвнско1о 121 1 (см. Также книгу 122)) фЯЛИ РаССМОТР6НЫ ГаУУ~Л". ТОНОРН СИСТРУ~ т «» ЭКСПОРдНЦИаЛ ЩР~ РЗаИМО~ дейстВием, Обобца1а~ие периодическуз цепочку Тода и сВязаВнне с К фйщеаа.

РВССМОТРИМ СМОТ6Щ О ~цувгралам (3.2) (соатвотот РИС.йб) . ПОЛЖО_#_ЯЧЕЙ Заа~НОЙ ;-'Ф-::.-' р)ф~фИЦЖВБЙЫ У Р (СОГЯВС уедьными) в оиражении Я-7) 7ОУДа СИСТВйз (К-Т) ПЕРОйДЕ + Р, ф1)Н=: ' ' +е + й ДИК)ЛЕИТОГЫПИ ЕБТОГ~ИЛСИ (5.2) Р= р,р., + '".р,е, + 2рРв, + 2р,р, [о,в,+ о,в,*) ~ 2о,е,в, *+ ж й +21~.б',6., + 49,6' 1 Уе-~ бе гдв в,= вхруст,), в„= вакф,). е,= ехр~- ' * ) = в "*е,'", в ~~О Ов1~~У~~ й:~ Л~~~~ 2.1) ~йЕО~Ы, ЧТО У > О, 8 Π— ЛЮбО8 В8ЩОСТВСНИО ЧИСЛО НОВ"м 1'ДЯДРВР:Г ф"ч'~Бкй Ы И Р -46- Ф - Р Р (",~.+~~а~.)+ ~Р,е,- 2и е е+ 4е е — айте'- зи ю е- Ре, ::";.'Ф-" - Р,Р, ~",~.+~",~4+ Ф,*~,— ~у,е,е+ 4е,е,- аде,'- аи,о,~е- Ое*, . Иэ ~Юежени" <5.8) следует. что у'а2 0 = О, если и только й З а Вси Р~= Р~ О~ ~~ ~~= ~~ ~ ~~~~ 0„+ у 6' = 2. ОчеВидноа последнее уузВнени~е л4еет еденстВеннов рмекие 6, бальам нуля.

Обозначим соответст~зузЖую кРетическую точку через г и вычислим россиян Фуякцпи Н В этой точке: С О О С= бв О О У 9 О О е'+ о е.'+ 3 2 Э РЯДЯ87 ЖРИ'ГИЧВСКУИ ОБ~37ЖНОС7Ь. ЛОДУЧВЯНОО РЦЦ~Е рцр-.~рЩ~~ 7 = Н' — 4У ЛВ'Э7 Л$ИЬ ЧЗСТЬ 6йфУРК81УОЦЯОД ДЩ~РРЫИ~. РЭССМО7~дРП4 7ВП6~3Ь СЛ,'~"ЧЗЙ йР'~.

УУ~~ДД~Р (~~. ~ ~ ) ЦД ('О+~ ~ Ц Й В„,' Й'~„У 6 + '«~„Р + 6' — В ~1 Р + У В вЂ” О. ВВЗДЕМ НОВЬБ О6ОЫИЧ8:ИЯ. П.'"СТЬ Е =-,~Е „ГДа ~>О. ТОГДЗ е,=(е,~К ~ и Р'~~я':'.ство 15.12~ заиишетоя в вило: БУДЭМ ~ЙССМЬТ~,.'КЯ;-. 7';: С,.~~~'ЧВЙ Обй(ОГО ПОЛОЗ!~!БАНКЯ (7.6. 7ЯКОЙ, Ч70 Й ~ +1,,~ ~ — й,;~ у'. ~Х ). 76М СЯ%~М КЫ ЫСР'ЛБЧЙАь1 СЛ~ЧЙЙ й У=~у Ы И1 НЛЧЕМ и':. ОТЛМЧБЕТСЯ О7 ООЦЗТО, К ОГО МОЯКО бНЛО бН ~ЗССМ67Р8'ТЬ 07Д~=.-...Л .'~О ° К2 РЯВВНС7ВВ ("э ° 1 ~ ~ БЗУЛДКИ: рда у, ~5 - ТАКОВЫ, Ч7О ')' ~ = '~ е Р ~3 = ~ .

ТОГД8 НЗШЭ СИЬИВТДИЧ~уц ц~удуц~д ЦВ~ОЙДС7 Б СКС76М7 С ГВМИЛЪ7ОНИЯИОМ Р' '..Р: К = — +~ + «~~ +~~+:=-~9 +б~ а,~ У, ДОПОЛИУСЛИИМ ИЯ. 1-.'Г~~ЯЛОМ ~% 21 " = р, Р, ' ~: (~те, + Ре.) + 2р р е + р' ~г~е + ее*1 ~ ~е е,= ар(- ~, — х', ~. е,=- ехр[х, ), е,= ехрЦ, в коэффициенте '~ - ТВКОБМ, ЧТС.",В~60 ~)=О, '~>О, ЛИбО ~3>О, 8 "~' — ЛКбОВ В6ЦОСТЮННО8 ЧИСЛО. БЦЧИСЫМ ГРаДЛЕЧТЧ ф)ЧИ1."Ий 0 И Р-" (6.6) Р,Р, + Р.е, + Р, ~~7е, + 0е,) = ХР,. (6.7( — Р Р е ~ Р ~7е + Ре ) — в ~ Р е'в' + Я7®в (6З) — Р,Р,е, + Р, (7в, ~ 1е,) — в, + 0 е,е, ~ Г7*в,е,— УЧЛХЫВЕЯ в ч~'."'й ~" И ~) ОЙЗЭЦВ!ОТО В НУЛЬ ОДИВ~38М6ККО, НМДВм КОВи8 ОСЙЗнзчбы1'': Р =- йр = Йр, ГД6 сФО.

Тсс'Дз Яз Ур'1ВИВнкй (6.5), (6.6) $и68ы: 1 (6„9( Х =. ~ар* + ае + ~27в + вв ) — Р' + — е, + [27в ~ РеД Й— (6.10( ~У вЂ” Р') вР = 27~с — е ) + Д~в* ,- е,) + — 6', ° аа 1 у~и~т.рИ+МоГж,уц ~тЛ ~ = ~„э, + ~ ° Рда о.. а. - танка воааоаа~щоа доотоянныа, чао ~- 27~ > о,:~~ра а; ~~ рЯТВЕТОТВЕННО ВЕЙЕСТВЕННЭЯ И щцщвя. ащещ" щ„ЕО(~ ой 1~ а ~о~" 1до У ФуыФю нойориараооа о ииаариаа ТИМИ 8' Я, И ПЩИЙ ПО~ИОЛОВ ЩЦР «а~ И Д а а ~ в И Й вЂ” ф~'НКПфю КЛЕООа ~,' ТеКИе,,ТО 3ы а Ж, о~ у~М=~и — — *) ~ ° Ю) р и Р г 63, И Б8ТСТВВНБО, И йХ ЗнаЧЕНИЯ Нй ОТ~ЖЗКВХ ~ —,~д ) „~ — ~ у .у Х ~ й Ю И Олредер'ЦОтся Ч1'Г)ез их значения на оюурезках 1а — 3 Р— 3 '2 ' 'г ПО ~С~М~"ЛЭЫ: В сайзи с тонологтческой класси4йкайией ГеОЖэи*Яских пото- МВ естественным Ос~азом всчникает яопрос колирОБэния пэР ФункЖ О',М (или же Функции „~ух" +р' ~, ь случае мотРе Виде Р.~ )) '®~~ ОЯ~ИЗОМ, ЧТОби тО11ОЛОГИЧЕски ЕКВИВЗЛентНЫМ Р~~МР"'И~Е~:киМ ~~~4ии саответстаоаали эквивалентйи Б каком-7О смцо~е ПОР~ 76ЩЭ6КЯ 7, ~, Лф" ,'1'-фЫ ф~~ККИ;ДЙ МО~ЗГЯ ~,~",Й,~ И ~,~",Ь' ~, УДОВЛ67ВСРЯ:ОЦЛ6 ~'..'..ГО!'-':Р'Г~ ',, 20, о ), 38Д6%2 7ОПОЛОГЙЧ6СК11 ИЫ2ВВЛ6НТ- ЯЫ6 Г6СД63$И6ГК:Я6 7ЮТОКГ НВ Сф6ДВ Ь', 6СЛБ й ТОЛЬКО 8ОХН ИК ЕОДБ й.~зМ» И БЦ~',Ь' 3 6БгЗМВВА6БИ1И.

Б СЛУЧ66 Ы6Т1~ККИ РЕЛЯ Л.1), Залаиа6й Г6ОДЕЗИЧ6СКИй ИМОЕ С ЛИН6ЙНБМ ПО ИМГ~ЛЬОЯМ ИКГ61'~)ЗЛОМ, ВИВСТО ФУБРЦКК,~'~13 /ДООЧО РЗОСМЗ'Г~)ИВЗТЬ ф~'ИЩ~~Н ф1,)=~,/"~ ~ ~, ЕОТОР7!О В ДВЛЬН6ЙЫМ ЬЯ б,'Щ6М врвдиолвгввь Фунвцквй Марав. условие глвлкосвк ЛИв~ооЖ)~~ ~$ -+ ЕФ.~ ФУНИ~Й УЙ3' В бЕСКОН6ЧНОа%% ГаРаЕТКРУЕтл ЧТО ЖМИЧВОТВО экстремумов ФУнижи я~И Конечно; Ветров южймть, что яй1 имеет ия пэобрэеенний нз Йи.34. Код я~~ Функции 8 опред84Й- ЕТСЯ 8ЯЯЛОГИЧНО КОДУ ЗЦ'3 ФУНКЦИИ ~"в СМ.