Синтез управлений при двойных и разнотипных ограничениях

Московский государственный университет им. М.В. ЛомоносоваНа правах рукописиДарьин Александр НиколаевичСинтез управлений при двойных и неоднотипных ограничениях01.01.02 — дифференциальные уравненияАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукМосква 2004 г.Работа выполнена в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова накафедре системного анализа факультета Вычислительной математики и кибернетики.Научный руководитель — доктор физико-математических наук,академик РАН А. Б.

Куржанский.Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук,профессор М. С. Никольский;доктор физико-математических наук,профессор Н. Х. Розов.Ведущая организация — ИММ УрО РАН.Защита состоится 20 мая 2004 года в 14 часов на заседании специализированного СоветаД 002.022.02 при Математическом институте РАН им. В. А.

Стеклова по адресу: 117966,Москва, ГСП-1, ул. Губкина, д. 8, конференц-зал.С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотекеМатематического института РАН.Автореферат разослан “Ученый секретарьспецсовета,доктор физ.-мат. наук” апреля 2004 г.Ю. Н. ДрожжиновОбщая характеристика работыАктуальность темы. Диссертация посвящена задачам нелинейного синтеза гарантирующих управлений в системах с исходно линейной структурой при неопределенности.Подобные проблемы актуальны в математических моделях высоких технологий.

От гарантирующего управления требуется привести систему на заранее заданное целевое множество, невзирая на воздействие неизвестных помех. Составляющими частями решения задачи при этом являются множество разрешимости, состоящее из всех точек, из которыхцель действительно может быть достигнута; функция цены, равная минимальному гарантированному расстоянию до целевого множества в конечный момент; синтез управлений,указывающий управляющие воздействия в каждом из возможных положений системы.Альтернированный интеграл Л. С. Понтрягина [17, 18] позволяет свести вычислениемножества разрешимости к интегрированию многозначных отображений; ему посвященыработы Е. Ф. Мищенко, М.

С. Никольского, Е. С. Половинкина, Н. Х. Розова.В теории, разработанной Н. Н. Красовским и его сотрудниками [4–6, 21, 28] указывается способ построения синтезирующей стратегии, удерживающей траекторию системывнутри «стабильного моста» и обеспечивающую таким образом попадание на целевоемножество.Метод динамического программирования, разработанный Р. Беллманом [2] и примененный к игровым задачам Р. Айзексом [1], позволяет представить функцию цены какрешение уравнения в частных производных (т.н.

уравнение Гамильтона–Якоби–Беллмана–Айзекса, HJBI), а синтезирующую стратегию — как множество управлений, на которых достигается экстремум в этом уравнении. Поскольку функция цены очень часто бывает не всюду гладкой, используются различные понятия обобщенного решения уравненияБеллмана, например, вязкостные решения, введенные М. Г.

Крэндаллом и П.-Л. Лионсом[27], или минимаксные решения, введенные А. И. Субботиным [19]; см. также [22].Использование соединения перечисленных подходов позволяет расширить рассматриваемый круг задач и построить конструктивную теорию, направленную на решение задач до конца, то есть до практически реализуемого алгоритма, чему посвящены работыА. Б. Куржанского [8, 9, 29–33]. При этом аппарат эллипсоидального исчисления [29] позволяет свести задачу синтеза к интегрированию системы обыкновенных дифференциальныхуравнений для параметров эллипсоидальной аппроксимации множества разрешимости, тоесть к эффективному численному алгоритму.Игровым задачам механики посвящена монография Ф. Л.

Черноусько и А. А. Меликяна [24].В принятой теории предполагается, что управление и возмущения принадлежат однотипным классам. В упомянутых выше работах об альтернированном интеграле управление и помеха стеснены геометрическими ограничениями. Системы с интегральнымиограничениями рассматривались в работах [13, 20, 23, 26].Однако на практике возникают ситуации, когда необходимо налагать на управлениеодновременно несколько ограничений различных типов, а также выбирать для управления и помехи различные классы ограничений.

Постановка задачи с двойным (геометрическим и интегральным) ограничением на управление рассматривалась в статье [11], однакорешение было получено только для случая регулярной дифференциальной игры, когдазадача сводится к чисто программным конструкциям. Несколько другая постановка рассматривалось в работе [3].Цель работы состоит в получении теоретического обоснования решения задач синтеза гарантирующих управлений при двойных и неоднотипных ограничениях, так, чтобы в3дальнейшем можно было перейти к эффективным численным алгоритмам решения этихзадач.Основные результаты работы.1.

Решена задача синтеза для системы с двойным ограничением на управление. В частности, получено явное выражение для функции цены.2. Для системы с нелинейной зависимостью геометрического ограничения от интегрального доказаны теоремы о существовании и единственности оптимальногоуправления. Получено явное выражение для функции цены.3.

Решена задача синтеза для системы с двойным ограничением на управление приналичии помех, стесненных геометрическим ограничением. В частности, построенаналог схемы альтернированного интеграла Л. С. Понтрягина; получена верхняяоценка для функции цены; указана синтезирующая стратегия, разрешающая задачу.4. Решена задача синтеза для системы, в которой управление и помеха выбираются вразличных классах (геометрические и интегральные ограничения, соответственно).В частности, построен аналог схемы альтернированного интеграла Л. С.

Понтрягина; получена верхняя оценка для функции цены; указана синтезирующая стратегия,разрешающая задачу.Научная новизна работы. Полученные результаты являются новыми.В работе рассмотрены ранее мало изученные задачи синтеза гарантирующих управлений: задачи с двойным ограничением на управление и задача с геометрическим ограничением на управление и интегральным — на помеху. Для задачи с двойным ограничениемпри неопределенности в отличие от [11] рассмотрен общий случай.В задачах с неопределенностью построен аналог альтернированного интегралаЛ. С. Понтрягина, записано уравнение Гамильтона–Якоби–Беллмана–Айзекса, полученаоценка для функции цены, указана разрешающая синтезирующая стратегия.Теоретическая и практическая ценность работы.

Работа носит в основном теоретический характер. Полученные результаты могут служить основой для дальнейшихисследований и позволят далее перейти к практически реализуемым численным алгоритмам, то есть решить задачи до конца. В частных случаях (одномерный случай для задачис разнотипными ограничениями и случай автономной системы для задачи с зависимостьюгеометрического ограничения от интегрального) решение получено в явном виде.Методы исследования.

Решение рассматриваемых в диссертации задач было получено в рамках упомянутого выше подхода, основанного на сочетании динамическогопрограммирования, альтернированного интеграла и теории Н. Н. Красовского. При этомиспользовались методы выпуклого анализа, теория негладких экстремальных задач, принцип максимума Л. С. Понтрягина.Апробация работы.

Результаты работы были представлены в виде докладов на семинаре кафедры системного анализа факультета ВМиК МГУ (рук. академик РАН А. Б. Куржанский), на семинаре отдела дифференциальных уравнений МИРАН (рук. академикРАН Д. В. Аносов), а также на следующих конференциях:• международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам«Ломоносов-2001», Москва, МГУ, апрель 2001;• 5th IFAC Symposium on Nonlinear Control Systems (NOLCOS-01), Санкт-Петербург,июль 2001;4• совместный французско-русский семинар «Control under Uncertainty and DifferentialGames», Москва, МГУ, январь 2003;• 4-я международная конференция «Tools for Mathematical Modelling» (MathTools-03),Санкт-Петербург, июнь 2003.Публикации.

По теме диссертации опубликовано 4 работы.Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав,заключения и библиографии. Общий объём диссертации 141 страница. Библиографиявключает 80 наименований.Краткое содержание работы. Во введении раскрываются цели работы, ее актуальность, а также кратко описаны основные результаты, полученные в диссертации.В первой главе диссертации рассматривается задача синтеза управлений для линейной системы без неопределенности при наличии двух ограничений на управление —геометрического и интегрального. Ограничения могут задаваться как независимо друг отдруга (раздел 1.2), так и с зависимостью геометрического ограничения от резерва управления по интегральному ограничению (раздел 1.3).В разделе 1.1 описывается в общем виде задача, которой посвящены последующие двараздела.Управляемая система задается дифференциальными уравнениями(ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u,t ∈ T = [t0 , t1 ].(1)k̇(t) = −kuk2R(t) ,Здесь x(t) ∈ Rn — положение системы, u ∈ Rnp — управление, k(t) ∈ R1 — текущий запасэнергии управления.

Матрицы A(t), B(t) и R(t) > 0 считаются известными.Предполагается, что управление стеснено двумя ограничениями. Во-первых, оно может принимать значения только из заранее определенного множества:u ∈ µP(t).(2)Такое ограничение называется геометрическим, или «жестким». В зависимости от способавыбора числа µ > 0 можно рассматривать различные задачи. В данной работе анализируются два случая: когда µ — постоянное число (тогда считается µ ≡ 1), и когда онозависит от текущего резерва (µ = µ(k(t))).Во-вторых, управление обязано следить за значением резерва k(t) и не допускать егопадения ниже определенного уровня.

Это «мягкое», или интегральное ограничение. Сочетание геометрического и интегрального ограничений будем называть двойным ограничением. Чтобы обеспечить существование управлений, удовлетворяющих двойному ограничению, предполагается выполненным включение 0 ∈ P(t).Используются два класса управлений: программные управления UOL (измеримыефункции u(t)) и позиционные стратегии UCL (многозначные отображения U (t, x, k), полунепрерывные сверху по фазовым переменным).