Синтез управлений при двойных и разнотипных ограничениях (1104822), страница 4
Текст из файла (страница 4)
В разделе 3.3производится построение альтернированного интеграла. Непосредственному применениюстандартной схемы мешает то, что помеха не содержится ни в каком множестве и, соответственно, непонятно, какое множество должно участвовать в операции геометрической разности, входящей в выражение для программных множеств разрешимости. В диссертацииуказанная трудность преодолевается, вычислив множество разрешимости при каждомвозможном значении переменной k в конечный момент √(при этом множество возможныхзначений интеграла от помехи является эллипсоидом k − γS(t, t1 )) и взяв затем пересечение этих множеств (поскольку помеха имеет возможность выбрать наихудшее дляуправления значение k(t1 )):Z t1\ p+W (k, t; t1 , M(·)) =M(γ) −P(τ ) dτ −̇ k − γS(t, t1 ) .t06γ6kВ разделе 3.4 вводится функция цены для экстремальной переформулировки задачи3.1 и доказывается, что при предположении о ее гладкости она является решением уравнения Гамильтона–Якоби–Беллмана–Айзекса∂V∂V2 ∂V+ min maxn, u + v − kvkS= 0, t0 6 t 6 t1 , k > 0u∈P(t) v∈R∂t∂x∂kс граничным условием ∂V /∂t + minu∈P(t) h∂V /∂x, ui k=0 = 0 и начальным условиемV (t1 , x, k) = d2 (x, M(k)), и не превосходит квадрата расстояния до сечения множестваразрешимости (теорема 3.17).Если Z[k, t] — слабо инвариантное многозначное отображение, то экстремальной стратегией к нему будет 2∂d (x, Z[k, t]),u .UZ (t, x, k) = Arg min∂xu∈P(t)12Эта стратегия гарантирует, что траектории системы, начинающиеся в трубке Z, в последующие моменты не выходят за ее пределы (теорема 3.19).В разделе 3.5 подробно рассматривается случай одномерного пространства переменнойx (фазовое пространство системы (12) при этом двухмерное, потому что кроме x имеетсяпеременная k).
Получены явное выражение для альтернированного интеграла (теорема3.22). Доказано, что функция цены принадлежит классу функций вида (d(x, [a, b]) + h)2 ,т.е. определяется всего тремя параметрами (при этом [a, b] = W[k, t], если h = 0).В разделах 1.2.6, 1.3.7, 2.6, 3.6 собраны примеры, иллюстрирующие полученные теоретические результаты.В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.Автор приносит искреннюю благодарность своему научному руководителю Александру Борисовичу Куржанскому за постановку задач, постоянное внимание к работе и ценные советы.Работа выполнена при частичной финансовой поддержке программы «Университеты России — Фундаментальные исследования» (грант № УР.3.3.07), РФФИ (грант №03-01-00663) и гранта Президента России по поддержке ведущих научных школ (№НШ-1889.2003.1).13Литература1.
Айзекс Р. Дифференциальные игры. М.: Мир, 1967.2. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: ИЛ, 1960.3. Бондаренко В. И., Красовский Н. Н., Филимонов Ю. М. К задаче об успокоениилинейной системы // ПММ. 1965. Т. 29. № 5. с. 828–834.4. Красовский Н. Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.5. Красовский Н.
Н. Игровые задачи о встрече движений. М.: Наука, 1970.6. Красовский Н. Н. Дифференциальная игра сближения-уклонения I, II // ИзвестияАН СССР. Техническая кибернетика. 1973. № 2, 3.7. Куржанский А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.8. Куржанский А. Б. Альтернированный интеграл Понтрягина в теории синтеза управлений // Труды МИАН.
1999. Т. 224. с. 234–248.9. Куржанский А. Б., Мельников Н. Б. О задаче синтеза управлений: альтернированный интеграл Понтрягина и уравнение Гамильтона–Якоби // Математический сборник. 2000. Т. 191. № 6. с. 69–100.10. Куржанский А. Б., Никонов О. И. Эволюционные уравнения для пучков траекторийсинтезированных систем управления // Доклады РАН. 1993. Т. 333. № 4.
с. 578–581.11. Ледяев Ю. С. Регулярные дифференциальные игры со смешанными ограничениямина управления // Труды МИАН. 1985. Т. 167. с. 207–215.12. Мищенко Е. Ф., Понтрягин Л. С. Линейные дифференциальные игры // ДокладыАН СССР. 1967. Т. 174. № 1. с. 27–29.13. Никольский М. С.
Прямой метод в линейных дифференциальных играх с общимиинтегральными ограничениями // Дифференциальные уравнения. 1972. Т. 8. № 6. с.964–971.14. Никольский М. С. Об альтернированном интеграле Л. С. Понтрягина // Математический сборник. 1981. Т. 126 (158). № 1 (9). с. 136–144.15. Половинкин Е. С. Неавтономные дифференциальные игры // Дифференциальныеуравнения. 1979.
Т. 15. № 6. с. 1007–1017.16. Пономарев А. П., Розов Н. Х. Устойчивость и сходимость альтернированных суммПонтрягина // Вестник МГУ. Сер. вычисл. матем. и киберн. 1978. Т. 1. с. 82–90.17. Понтрягин Л. С. О линейных дифференциальных играх II // Доклады АН СССР.1967. Т. 175. № 4. с. 910–912.18. Понтрягин Л. С. Линейные дифференциальные игры преследования // Математический сборник. 1980. Т.
112 (154). № 3 (7). с. 307–330.19. Субботин А. И. Обобщенные решения уравнений в частных производных первогопорядка. Перспективы динамической оптимизации. М., И.: Институт компьютерныхисследований, 2003.1420. Субботин А. И., Ушаков В. Н. Альтернатива для дифференциальной игры сближения-уклонения при интегральных ограничениях на управления игроков // ПММ.1975. Т.
39. № 3. с. 387–396.21. Субботин А. И., Ченцов А. Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981.22. Субботина Н. Н. Метод динамического программирования для класса локально-липшицевых систем // Доклады РАН. 2003. Т. 389. № 2. с. 1–4.23. Ушаков В. Н. Экстремальные стратегии в дифференциальных играх с интегральнымиограничениями // ПММ. 1972. Т. 36.
№ 1. с. 15–23.24. Черноусько Ф. Л., Меликян А. А. Игровые задачи управления и поиска. М.: Наука,1978.25. Aubin J.-P., Frankowska H. Set-valued Analysis. Boston: Birkhäuser, 1990.26. Başar T., Bernhard P. H ∞ Optimal Control and Related Minimax Design Problems.SCFA. Boston: Birkhäuser, 2nd edition, 1995.27. Crandall M. G., Lions P.-L. Viscosity solutions of Hamilton–Jacobi equations //Transactions of American Mathematical Society. 1983. V. 277. p. 1–41.28.
Krasovski N. N., Subbotin A. I. Positional Differential Games. Springer Verlag, 1988.29. Kurzhanski A. B., Vályi I. Ellipsoidal Calculus for Estimation and Control. SCFA.Boston: Birkhäuser, 1997.30. Kurzhanski A. B., Varaiya P. Ellipsoidal techniques for reachability analysis. Internalapproximation // Systems and Control Letters. 2000.
V. 41. p. 201–211.31. Kurzhanski A. B., Varaiya P. Dynamic optimization for reachability problems // Journalof Optimization Theory and Applications. 2001. V. 108. N. 2. p. 227–251.32. Kurzhanski A. B., Varaiya P. Ellipsoidal techniques for reachability analysis. Part I:External approximations. Part II: Internal approximations. Box-valued constraints //Optimization methods and software. 2002. V. 17. p. 177–237.33. Kurzhanski A. B., Varaiya P. On reachability under uncertainty // SIAM Journal onControl. 2002.
V. 41. N. 1. p. 181–216.34. Varaiya P., Lin J. Existence of saddle points in differential games // SIAM Journal onControl an Optimization. 1969. V. 7. N. 1. p. 142–157.Публикации по теме диссертации35. Дарьин А. Н. Об управлении при двойном ограничении с зависимостью геометрического ограничения от интегрального // Известия РАН. Теория и системы управления.2003. № 4. с. 21–29.36. Дарьин А. Н., Куржанский А.
Б. Управление в условиях неопределенности при двойных ограничениях // Дифференциальные уравнения. 2003. Т. 39. № 11. с. 1474–1486.37. Дарьин А. Н., Куржанский А. Б. Нелинейный синтез управления при двойных ограничениях // Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37. № 11. с. 1476–1484.38. Daryin A. Nonlinear synthesis for uncertain systems with diverse types of constraints //Proc. NOLCOS-01.
V. 2. IFAC, Elsevier Science, St. Petersburg, 2001.15.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
