Применение проекционных методов к исследованию волноведущих и резонансных систем с особенностями, страница 3

Для случая регулярной сетки,получаются следующие оценки для решения ! сеточной задачи − ! − !!≤ ℎ! ℜ!!!!, −!!!!!! !!≤ ℎ! ,      ≤ ℎ! .!! !(16)  (17)В §2.3 рассматривается решение задачи (13) неполным методом Галеркина.Приближенное решение ! ищется в виде! =!!!! ! ! () , ∈ 0; ,(18)где ! () – ортонормированные собственные функции оператора Лапласа длясечения ! . После подстановки выражения (18) в краевую задачу (13) получаетсякраевая задача для определения коэффициентов разложения:!!!!!! + !! = 0, = 1, … , ,!!!!!!  0 = 2!! !! !!! − !! ! !" !" ! 0 ,!!!!! =!!!!    ! ! !" !!!!!!!где !"! = ! , ! ! ,!!!(19), !"! = ! , ! !!.Доказываются следующие теоремы.Теорема 13.

Приближенное решение ! ∈ ! задачи (13) существует иединственно, причем справедливы оценки!!!!!!!! , ! !!!< ! ,!! !!!!!!< ,!! , ! !!!< ! ,(20)где и ! – постоянные, не зависящие от .Теорема 14. Приближенное решение ! сходится к решению задачи (13) впространстве ! .15Использование в неполном методе Галеркина функций ! (), построенныхс помощью метода конечных элементов, приводит к оценке−!!!! ! ! () ! !≤ + ℎ!!!!!!ℜ!!! !,(21)где → 0 при → ∞.В §1.4 приводятся результаты численного моделирования волновода свходящими ребрами на основе предложенной математической постановкизадачи.В главе III рассматривается векторная постановка задачи о возбужденииволновода с входящими ребрами бегущей нормальной волной. Доказываетсясуществование и единственноть ее решения.

Приближенное решение ищетсянеполным методом Галеркина, в котором базис строится с помощьюсобственных функций спектральных задач Дирихле и Неймана для сечения свырезом. Доказывается сходимость приближенного решения к точному.Приводятся результаты численного моделирования.В §3.1 рассматривается векторная постановка задачи о возбужденииволновода бегущей волной. С учетом парциальных условий излучения, условиянепрерывности касательных компонет электромагнитного поля на границемежду регулярной и нерегулярной частями волновода и условий Мейкснера наребре получается следующая математическая постановка задачи, решениекоторой описывает модовую структуру волновода:(, ) = −! (, ), ∈ , −∞ < < +∞,(, ) = ! (, ),   × ! = 0, !!! = !!! , !!! = !!! , !!! = !!! , !!! = !!! ,э э!! !!!! !! ! !!!! ! ,= э э !! ! + ! !!!−! ! !!!! ! , !! !!! ! !!! !!! ,= ! !!!! ! !!! !!! ,16(22)где ! – волновое число, диэлектрическая проницаемость – постоянная > 0, > 0величина,(вобластинеоднородности),магнитнаяпроницаемость – постоянная величина, > 0, > 0 (в областинеоднородности), – вектор внешней нормали к поверхности волновода , э –амплитуда бегущей слева направо волны электрического типа с порядковымномером ! , ! и ! – коэффициенты отражения и прохождения черезнерегулярный участок волновода нормальных волн соответственно, ! и ! –базис для представления поперечных компонент векторов и соответственно.Векторный базис строится с помощью собственных функций сечения для задачиДирихле ! и задачи Неймана ! следующим образом:! , = 2 + 1, = 0,1 … ,! ×! , = 2, = 1,2, … ,! =×!(23)= 0,  !"и− ! ×! , = 2 + 1,! , = 2,! = ∙ !!"= 0.Вводитсяпространство! , ! ∈ ! , (24)! = = , : ∈ ! с нормой!"!= 0, ∙ != !! (!)!"= 0, ! ∈+ !! (!)+!! (!) .Доказывается следующая теорема.Теорема 15.

Обобщенное решение , задачи (22) из пространства существует и единственно.Как уже отмечалось, для построения векторного базиса используютсясобственные функции спектральных задач Дирихле и Неймана для сечения свырезом, которые находятся численно.В§3.2рассматриваетсярасчетспектральнойзадачиНеймана(спектральная задача Дирихле была рассмотрена в главе II). Как и в случаеграничных условий Дирихле, для расчета задачи Неймана ограничимся17асимптотикой решения, в которой остаточный член ℜ , принадлежитпространству ! : , = ℜ! , + !:!!!"!!!! !!!! ! !"!!!!cos !!! + ! . (25)Из представления (25) следует, что решение спектральной задачи Нейманапринадлежит пространству ! :: =!:!!!"!!!! !!!!! =  ℜ! ∈ ! ,! − произвольные  постоянные.В!!! !"!! cos !!! + ℜ! ,качестве!!!= конечномерного(26)!! ! (!) .пространствапробныхфункцийрассматривается пространство! : ! =!" =!:!!!"!!!! !!!! ! !"!!!!cos !!! + ℜ!! ,(27)! |!" = 0, ℜ!! ∈ !! ,! − произвольные  постоянные,где пространство !! – пространство конечномерных функций, хорошоаппроксимирующих гладкую функцию ℜ   ! .

С использованием регулярногоразбиения сетки, получаются следующие оценки для решения ! сеточнойзадачи − !!! − !≤ ℎ! ℜ!! !!!!!!, −!!!!! !!≤ ℎ! .≤ ℎ! ,    (28)  (29)В §3.3 рассматривается приближенное решение задачи (22) неполнымметодом Галеркина. Решение ищется в виде! =! =!!!!! ! ! ,  !!!!! ! ()! () ,∈ ! , ∈ 0; ,(30)где ! и ! имеют вид (23) и (24) соответственно, в которых собственныефункции регулярного сечения ! и ! заменены на собственные функциинерегулярного сечения ! и ! .18Введем! , ! ∈ ! ,!! (!) + = = , : пространство!!!"!  !"!! (!)∈ ! ,+!!!"!  !"!! (!)∈ ! !"= 0, ∙ !с нормой!!"= 0, ! ∈= !! (!)+.Доказываются следующие теоремы.Теорема 16. Построенное неполным методом Галеркина приближенноерешение ! , ! ∈ существует и единственно.Теорема 17. Построенное неполным методом Галеркина приближенноерешение ! , ! ∈ сходится к точному решению по норме пространства .С использованием в неполном методе Галеркина найденных с помощьюметода конечных элементов функций ! () и ! (), получены оценки дляэлектромагнитных полей:! − !,!!!! − !,!!!!! !!! !≤ ! + ℎ!≤ ! + ℎ!  !!  !!!ℜ!  !!  !!!ℜ!!! !!! !,(31).(32)где ! , ! → 0 при → ∞.В §3.4 приводятся результаты численного моделирования.В главе IV рассматривается цилиндрический резонатор, заполнениекоторого представляет собой последовательность диэлектрических соосныхцилиндров различных радиусов.

Приводится математическая постановка задачи,для которой доказывается существование обобщенного решения. Приближенноерешение ищется с помощью метода конечных элементов, доказывается егосходимость к точному. Приводятся результаты численного моделирования.В §4.1 рассматривается цилиндрический резонатор длины , имеющийаксиально-симметричное диэлектрическое заполнение кусочно-постоянногорадиуса = ().

Объемную конструкцию резонатора можно получить путемвращения области (рис. 1) вокруг оси , являющейся аксиальным сечениемрезонатора.19Рис. 1. Аксиальное сечение резонатора, содержащего диэлектриккусочно-постоянного радиуса = (), принимающего два значения, с 5секциями.Учитывая аксиальную симметрию системы и вводя потенциал Боргниса , , = , !"# , = 0, ±1, ±2, …,трехмернаявекторнаязадача,описывающая модовую структуру данной системы, сводится к скалярнойдвумернойспектральнойзадаче:найтитакиенетривиальныеисоответствующие им значения ! , для которых справедливо: −!!! + ! = 0,!,!!!||=! !!!!"\!!!!! !|| , ! !"!= ! != 0,!||= !!!!!! , !"!!!!,!!" !"∩!!=!!!!" !||!!!!" !!,(33),= 0.где ≡ , (ρ,z) – декартова система координат, индексами 1 и 2обозначены величины, относящиеся к аксиально-симметричному диэлектрикукусочно-постоянного радиуса и окружающему его диэлектрику или вакууму(! = 1) соответственно, || – граница первого диэлектрика, параллельная оси 0,! – перпендикулярная оси 0 (рис.

1), – граница области , – внешняянормаль к первому диэлектрику.Вводятся пространство функций ∈ ! ∩ ! \ , удовлетворяющихграничному условию первого рода из (33), его подмножество ! ⊂ , элементыкоторого удовлетворяют условиям20!!||= !!|| ,! !!!= ! !!! ,и подмножество ! ⊂ , элементы которого удовлетворяют условиям! !!||= ! !!!!= !!|| ,!! .Обобщенная постановка задачи (33) имеет следующий вид: найти такиенетривиальные ∈ ! и соответствующие им значения ! , для которых прилюбых ∈ ! справедливо равенство  !, + !   !"! != !   ,!(34)в котором первый интеграл по области понимается как сумма интегралов пооблаcтям и \. Доказываются следующие теоремы.Теорема 18. Обобщенное решение задачи (34) существует.Теорема 19. Приближенное решение задачи (34), построенное методомконечных элементов, сходится к точному.В §4.2 приводятся результаты численного моделирования задачи.Взаключенииперечисленыосновныерезультаты,полученныевдиссертационной работе.Показано, что задача о распространении бегущих нормальных волн вволноводе, имеющем входящие ребра в конечной его части, имеет единственноерешение для случая скалярной и векторной постановок задачи.Предложеналгоритмрасчетаволноводасвходящимиребрами,представляющий собой комбинацию проекционных методов и учитывающийособенности поведения решения задачи в окрестности входящего угла путемиспользованияпостроеннойасимптотикипогладкостирешениясоответствующей краевой задачи.

На основе доказанных теорем делается выводоцелесообразностирассматриваемыхприменениясистем.предложенногоАналитическиеалгоритмарезультаты,красчетуполученныевдиссертационной работе, подкреплены результатами численного моделированияволноведущей системы с входящмими ребрами.21Реализованалгоритмдиэлектрическимисследованиязаполнениемцилиндрическогоаксиально-симметричнойрезонатораформыскусочно-постоянного радиуса. На основе доказанной теоремы существования решенияпоставленнойзадачи,приближенногоарешениятакжектеоремыточному,оделаетсясходимостивыводопостроенногодостоверностирезультатов, полученных с помощью численного эксперимента.В качестве иллюстративных примеров исследованы модовая структура поляволноведущей системы для различных параметров выреза и распределение полядиэлектрическогорезонаторадляразличноговидазаполнения.Продемонстрирован ряд интересных эффектов.

В частности для волноведущейсистемы показан избирательный характер возбуждения бегущих мод припрохождении нормальной волной нерегулярного участка волновода. Для случаярезонансной системы получен эффект отжимания поля к диэлектрику с высокимзначением диэлектрической проницаемости, а также избирательный характервозбуждения диэлектрических секций в случаей частиной металлизациидиэлектрика.В приложении рассматриваются выводы некоторых математическихвыражений и формул, используемых в основных главах, которые в силу ихгромоздкости были вынесены отдельно.ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ1.

ЕрохинА.И.Расчетрезонансныхчастотаксиально-симметричныхдиэлектрических структур кусочно-постоянного радиуса // Международнаяконференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальнымнаукам “Ломоносов-2008”. Секция “Физика”. Сборник тезисов докладов.