Применение проекционных методов к исследованию волноведущих и резонансных систем с особенностями (1104489), страница 2
Текст из файла (страница 2)
По теме диссертационной работы опубликованы 5 статей врецензируемых журналах по перечню ВАК и 8 публикаций в материалахконференций.Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырехглав, заключения и приложения. Список цитированной литературы содержит 117наименований. Текст диссертации содержит 123 страницы текста, включая 13рисунков.Содержание работыВо введении приводится краткая характеристика диссертационной работы,обоснована актуальность темы, поставлены основные задачи исследования, атакже кратко изложено содержание глав диссертации.В главе I выписываются асимптотики скалярных спектральных задач дляоператора Лапласа с граничными условиями Дирихле и Неймана в окрестностивходящих углов для ограниченной двумерной области.
Для каждого случаяграничных условий спектральная задача рассматривается отдельно и разбивается8на две части. В первой части выписывается асимптотика поведения решениясоответствующей задачи для уравнения Пуассона в окрестности входящего угла.Во второй части рассматривается непосредственно спектральная задача, котораясводится к задаче для уравнения Пуассона переносом слагаемого в правуючасть. Задаче с граничными условиями Дирихле посвящены параграфы §1.1 и§1.2, а задаче с граничными условиями Неймана – §1.3 и §1.4.В §1.1 рассматривается задача для уравнения Пуассона в ограниченнойобласти, имеющей входящий угол, с граничными условиями Дирихле. Чтобыполучить асимптотику решения данной задачи, она разбивается на два этапа –сначала рассматривается случай, когда область является неограниченной ипредставляет собой бесконечный сектор, после чего, используя срезающуюфункцию, полученные результаты переносятся на случай ограниченной области.Обозначим бесконечный угол с раствором ω0 через = : > 0, ∈0, ! .
В полярной системе координат задача для уравнения Пуассона сграничными условиями Дирихле имеет следующий вид! !! !"!"+!"! !!!! ! !! != , , , ∈ , , 0 = 0, ∈ 0; +∞ , , ! = 0, ∈ 0; +∞ , 0, < ∞.(1)Для решения данной задачи используется методика, впервые предложеннаяв работах В.А. Кондратьева. Делается замена переменных { = − ln , = },которая переводит угол в бесконечную полосу Π = : ∈ −∞; +∞ , ∈0, ! . При этом краевая задача (1) принимает следующий вид!!!!! !+!!!!! != !!! = , , , ∈ ,(2) , 0 = 0, ∈ 0; +∞ , , ! = 0, ∈ 0; +∞ .Для описания решений задач (1) и (2) вводятся пространство !! снормой!!! != !(!!!!!) ! !!! !(!,!)!!!!! ! !! ! !! !9!!!ипространство!! с нормой!!! ! !!"!!!!! ! =! !!! !(!,!)!! ! !! !!!! .
Пусть праваячасть , задачи (1) принадлежит пространству !! . Тогда из равенства!!! != !!! !следует, что правая часть , задачи (2) принадлежитпространству !! . Далее приводятся доказательства следующих теорем.Теорема 1. Пусть ∈ !! , ≠ !!! , = ±1, ±2, … Тогда существуети притом единственно решение ∈ !!!! Πзадачи (2), для которогосправедлива оценка!!!!! !≤ ! !!! !.(3)Теорема 2. Пусть ∈ !! , + 1 − ≠ !!! , = ±1, ±2, … Тогдасуществует и притом единственно решение ∈ !!!! Sзадачи (1), длякоторого справедлива оценка!!!!! !≤ !!! !.(4)Далее считается, что правая часть , принадлежит пересечениюпространств !!! ∩ !!! , где ! > ! .
Используя явный вид формулы Грина итеорему о вычетах, доказывается следующая теорема, дающая асимптотическоепредставление решения краевой задачи для уравнения Пуассона в окрестностивходящего угла.Теорема 3. Пусть ∈ !!! ∩ !!! , где ! > ! и выполняются условия:! = + 1 − ! ≠ !!! , ! = + 1 − ! ≠ !!! , = ±1, ±2, …Тогдадлярешения задачи (1) справедливо следующее представление:! !!!! sin ! , , = ℜ , +!:!! !!!"!!!! !!!где ! = −!!! , ! – постоянные коэффициенты, функция ℜ , ∈ !!!! и!для нее справедлива следующая оценкаℜ!!!!!! !≤ !!!! !.(5)10Далее рассматривается случай конечной области S. Пусть существует такоеd, что в круге Bd область S совпадает с сектором. Используя результатыпредыдущих теорем, с помощью срезающей функции ∈ ! 0; , 1, ≤ =!!,0, > доказывается следующая теорема, дающая асимптотикурешения уравнения Пуассона в окрестности входящего угла в случае конечнойобласти.Теорема 4.
Пусть ∈ !! , < + 1. Тогда решение ∈ ! () задачи (1)представимо в виде , = ℜ , ++()где ℜ!:!!!"!!!! !!!!!!! ! !!!!! !≤ !!! !!"!!!!sin !!! ,(6), C и ! – постоянные коэффициенты.В §1.2 рассматривается спектральная задача для оператора Лапласа сграничными условиями Дирихле∆ + = 0, ∈ |!" = 0.(7)Доказывается, что решение задачи (7) вдали от угловой точки являетсясколь угодно гладким. Перенося слагаемое в правую часть и используярезультаты теоремы 2 и теоремы 4, доказывается следующая теорема.Теорема 5. Решение спектральной задачи (7) представимо в виде , = !:!!!"!!!! !! ! !"!!!!sin !!! + ℜ , ,(8)где ℜ , ∈ !! (), и справедлива оценкаℜ , !!! (!)Продолжая≤ данные!!! !.(9)рассуждения,можновыписатьасимптотикуспектральной задачи Дирихле в окрестности входящего угла до требуемогокласса гладкости остаточного члена ℜ , .В §1.3 аналогичная техника используется для исследования краевой задачиНеймана для уравнения Пуассона.
Как и в случае граничных условий Дирихле,11данная задача разбивается на две – задача в бесконечном угле и задача вконечной области.Для случая бесконечного угла приводятся доказательства следующих теорем.Теорема6. ∈ !! ,Пусть ≠ !!! , = 0, ±1, ±2, …Тогдасуществует и притом единственно решение ∈ !!!! Π задачи Неймана, длякоторого справедлива оценка (3).Теорема 7. Пусть ∈ !! , + 1 − ≠ !!! , = 0, ±1, ±2, … Тогдасуществует и притом единственно решение ∈ !!!! S задачи Неймана, длякоторого справедлива оценка (4).Теорема 8. Пусть ∈ !!! ∩ !!! , где ! > ! и выполняются условия:! = + 1 − ! ≠ !!! , ! = + 1 − ! ≠ !!! , = 0, ±1, ±2, …решениязадачиНеймана , ∈ !!!! !Тогдасправедливодляследующеепредставление , = ℜ , ++!:!! !!!"!!!! !!! ! !!!!cos ! + !,! !!! ln ,(10)где ! = !!! , функция ℜ , ∈ !!!! , для нее справедлива оценка (5), а!коэффициенты ! и !,! являются непрерывными функционалами от f.Для случая ограниченной области доказаны следующие теоремы.Теорема9.Пусть = + 1 − , ∈ (0, !!! ), ∈ !! ().Тогдасуществует решение задачи (1.3.1) ∈ !!!! (), определяемое с точностью доконстанты, причем справедлива оценка (4).Теорема 10.
Пусть = − + + 1 ≠ !!! , > 1, ∈ !! (). Тогда , = ℜ , + !"!!!! !!! !:!!!"!!!! !!!!!!! ! +!,! !!! + !+, (11)!!!где ℜ , ∈ !!!! , ∈ !!!!!(), и справедлива оценка (5).В §1.4 рассматривается спектральная задача Неймана для оператораЛапласа. Как и в случае спектральной задачи Дирихле, показывается, чторешение задачи Неймана вдали от угловой точки сколь угодно гладко.12Доказываетсятеорема,дающаяасимптотикупогладкостирешенияспектральной задачи Неймана в окрестности угловой точки.Теорема 11.
Решение спектральной задачи Неймана представимо в виде , = ℜ , + !:!!!"!!!! !!!! ! !где ℜ , ∈ !!! , ℜ , !!!!!(!)≤ !"!!!!!!!!!!cos !!! + ! ,(12).Как и в случае граничных условий Дирихле асимптотику в окрестностивходящего угла решения спектральной задачи Неймана можно выписать дотребуемого класса гладкости остаточного члена.В главе II рассматривается скалярная трехмерная задача возбужденияэлектромагнитных волн в волноводе при наличии входящих ребер. Приводитсяматематическаяпостановказадачи,иисследуетсясуществованиеиединственность ее решения.
Приближенное решение рассматриваемой задачистроитсяспомощьюнеполногометодаГалеркина,доказываетсяегосуществование и единственность, а также сходимость к точному решению.Приводятся результаты численного моделирования. Алгоритмы решенияпоставленной задачи, развитые в данной главе, будут перенесены на векторнуюзадачу, исследуемую в главе III.В §2.1 приводится математическая постановка задачи, доказываетсясуществование и единственность ее решения. Рассматривается бесконечныйцилиндрический волновод круглого сечения с граничной поверхностью Σ, накоторой задается однородное условие Дирихле.
В некоторой части волноводадлинной , которая называется нерегулярной, сделан вырез, так что в егопоперечном сечении имеется входящий острый угол. Обозначим через !! и !!соответственно амплитуду и постоянную распространения вдоль оси волноводабегущей слева направо волны, соответствующей ! -му собственному значению!! оператора Лапласа для сечения регулярной части волновода. Учитываяпарциальные условия излучения, условия Мейкснера на ребре и условие13сопряжения на границе регулярной и нерегулярной частей волновода, приходимк следующей краевой задаче для описания модовой структуры поля волновода∆ + ! = 0, ∈ ! , ∈ 0; ,|! = 0,!"!" !!!= 2!! !! !! −!"!" !!!=! !! !, !, !!! !!! ! ,(13),где ! – постоянный коэффициент, ! = > 0, , ∈ ! ! ∀. Взадаче(13)используются! , !обозначения:–ортонормированныесобственные функции и собственные значения поперечного сечения регулярнойчасти волновода (без выреза), ! – сечение волновода с координатой , !! = ! −! .
Обозначим через объем нерегулярной части волновода. Доказываетсяследующая теорема.Теорема 12. Решение задачи (13) ∈ ! существует и единственно.Приближенное решение задачи (13) ищется с помощью проекционногометода в форме неполного метода Галеркина, в котором в качестве базисаиспользуются собственные функции оператора Лапласа для нерегулярногосечения. Так как в общем случае вырез не доходит до центра круга, тоспектральная задача не имеет аналитического решения, и для ее решениянеобходимо использовать численные методы.В §2.2 рассматривается численное решение спектральной задачи дляоператора Лапласа в области с вырезом. В главе I была получена асимптотикарешения данной задачи, поэтому в качестве численного метода удобноиспользоватьпроекционно-сеточныйметод,аименнометодконечныхэлементов, в котором в набор пробных функций включены выделенныеаддитивно сингулярности.
Из представления (8) следует, что решениеспектральной задачи принадлежит следующему пространству ! :: =! =!:!!!"!!!! !! ! !"!!!!sin !!! + ℜ(!) ,|!" = 0, ℜ ! ∈ ! ,! − произвольные постоянные,!!!= 14!! ! (!) .(14)Вкачествеконечномерногопространствапробныхфункцийрассматривается пространство! : ! =!" =!:!!!"!!!! !! ! !"!!!!!sin !!! + ℜ! ,(15)! |!" = 0, ℜ!! ∈ !! ,! − произвольные постоянные,где пространство !! – пространство конечномерных функций, хорошоаппроксимирующих гладкую функцию ℜ ! .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
