Применение проекционных методов к исследованию волноведущих и резонансных систем с особенностями

На правах рукописиЕрохин Александр ИгоревичПРИМЕНЕНИЕ ПРОЕКЦИОННЫХ МЕТОДОВ К ИССЛЕДОВАНИЮВОЛНОВЕДУЩИХ И РЕЗОНАНСНЫХ СИСТЕМ С ОСОБЕННОСТЯМИАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукСпециальность 01.01.03 — математическая физикаМосква – 2012Работа выполнена на кафедре математики физического факультета МГУ им.М.В. Ломоносова.Научный руководитель:профессор МГУ им. М.В. Ломоносовадоктор физико-математических наукпрофессорБоголюбов Александр НиколаевичОфициальные оппоненты:профессор МГУ им. М.В. Ломоносовадоктор физико-математических наукпрофессорИльинский Анатолий СерафимовичГлавный научный сотрудникИнститута радиотехники и электроникиимени В.А. Котельникова РАНдоктор физико-математических наукпрофессорКравченко Виктор ФилипповичВедущая организация:Федеральное государственное бюджетноеобразовательное учреждение высшегопрофессионального образования«Российский университет дружбы народов»Защита диссертации состоится «22» ноября 2012 г.

в 17 часов 30 минут назаседании Диссертационного совета Д 501.002.10 при Московскомгосударственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу:119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, МГУ, д. 1, стр. 2, физическийфакультет, Северная физическая аудитория.С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотекеМосковского государственного университета имени М.В. Ломоносова.Автореферат разослан «»2012 г.Ученый секретарьДиссертационного совета Д 501.002.10доктор физико-математических наук,профессорПоляков П.А.2ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫАктуальность темыСовременные технологии предлагают большие возможности по созданиюразличных электромагнитных систем с наперед заданными геометрическими иэлектродинамическими параметрами.

Устройства, которые буквально несколькодесятилетий назад были уникальными, становятся предметами массовогоиспользования. Поэтому одним из важнейших вопросов по-прежнему остаетсявопрос экономической эффективности и целесообразности создания устройств сзаданными характеристиками.

Во многих случаях достаточно совсем немногоизменить хотя бы один параметр системы, чтобы получить как существенноеулучшение, так и ухудшение выходных данных системы. Приближенныеаналитические методы уже далеко не всегда могут удовлетворить потребностипрактики,поэтомувозникаетнеобходимостьсозданияэффективныхуниверсальных и высокоточных методов математического моделированияконкретных электродинамических структур.Особенно важным математическое моделирование становится в случае,когда системы имеют особенности геометрического и электродинамическогохарактера. Геометрические особенности могут являться следствием созданияструктур сложной геометрической формы или просто имеющих неоднородностьповерхности. Примером такой электродинамической конструкции служитволновод с входящими ребрами.

Подобные системы широко используются вмикроволновых устройствах.Входящие углы в волноводе могут быть по многим причинам, как потехническим, например, вследствие состыковки нескольких волноводов, так идля получения специального физического эффекта. К примеру, гребенчатыйпрямоугольный волновод, имеющий в своем поперечном сечении входящиеуглы, может использоваться в качестве фильтра для пассивного микроволновогоустройства или настроечного элемента в нем. Гребенчатые волноводы обладают3важными для практического применения свойствами, одним из которых являетсяэффект аномально малого затухания некоторых типов нормальных волн приопределенных соотношениях между геометрическими параметрами и длинойволны.С помощью входящих углов в волноводе можно также моделироватьналичие дефектов в поверхности системы (царапины, изломы и др.) или щупы,возбуждающие волновод.Очень часто математические модели, описывающие системы с физическимиособенностями, имеют особенности математического характера.

Так в случаеволновода с входящим ребром известно, что решение задачи, описывающейданную систему, имеет сингулярность, которая может значительно осложнитьчисленный эксперимент. Решить эту проблему можно с помощью определенияявного вида этой особенности инструментами математической физики икорректировки численного алгоритма с учетом полученных математическихрезультатов.К системам с особенностями электродинамического характера можноотнести конструкции, имеющие заполнение материалами с различнымидиэлектрическими и магнитными свойствами.

Примером системы данного типаслужит диэлектричекий резонатор, важными характеристиками которогоявляются спектр его резонансных частот и добротность. С помощью выборадиэлектрической проницаемости заполнения резонатора, его формы и размера, атакже комбинации нескольких диэлектриков, можно существенно менять спектрчастот, распределение полей, а также значительно увеличить добротность.Резонансные системы широко используются при создании высокоточнойизмерительной аппаратуры, узкополосных фильтров, для стабилизации СВЧгенераторов.Большой интерес представляют резонаторы аксиально-симметричных формкусочно-постоянного радиуса.

Помимо перечисленных свойств резонаторов,предполагается,чтотакиеэлементымогутнайтиприменениеприконструировании проводящих систем с малыми потерями. В частности, такие4резонаторы экспериментально исследовались на кафедре колебаний физическогофакультета МГУ .В настоящей работе исследуются цилиндрическая волноведущая система,имеющая в конечном ее участке входящие ребра постоянного раствора, ирезонансная диэлектрическая структура с диэлектриком кусочно-постоянногорадиуса.Спомощьютакойрезонанснойсистемывслучаемалыхдиэлектрических потерь и при размерах поверхности резонатора много большихгеометрических размеров диэлектрика можно моделировать открытые системы.Цели диссертационной работыЦель диссертационной работы состояла в следующем:1.Построение асимптотики решений спектральных задач Дирихле иНеймана для оператора Лапласа для двумерной области с входящими углами.2.Построениематематическойдвумерноймоделиволноведущейсистемы, содержащей входящие ребра в ее конечной части, и ее исследованиепроекционными методами различной модификации.3.Построение векторной модели электродинамического волновода,содержащего входящие ребра в конечной его части, и ее исследованиепроекционными методами.4.Исследование резонатора, заполнение которого представляет собойпоследовательность диэлектрических соосных цилиндров различных радиусов.Научная новизна1.Предложен и реализован метод расчета волноводов, содержащихвходящие ребра, представляющий собой комбинацию проекционных методов –неполного метода Галеркина и проекционно-сеточного метода – и учитывающийособенности поведения решения задачи в окрестности входящего угла путемиспользованияпостроеннойасимптотикисоответствующей краевой задачи.5погладкостирешения2.Доказаны теоремы существования и единственности решенияпоставленной задачи.3.Доказаносуществованиеиединственностьпостроенногоприближенного решения этой задачи, показана его сходимость к точномурешению.4.Реализованалгоритмрасчетадиэлектрическогорезонатора,заполнение которого представляет собой последовательность диэлектрическихсоосных цилиндров различных радиусов.Практическая ценность диссертации определяется тем, что результатыработымогутконкретныхбытьиспользованыволноведущихдлясистемсисследованиявходящимиширокогоребрами,аклассатакжецилиндрических резонаторов с диэлектрическим заполнением аксиальносимметричной формы кусочно-постоянного радиуса.

Волноведущие системы свходящими ребрами находят применение в широком круге устройств техникиСВЧ (фильтры для пассивных микроволновых устройств, настроечные элементыв таких устройствах и т.д.). Кроме того, с помощью входящих углов в волноводеможно моделировать наличие дефектов в поверхности системы, например,царапины, или щупы, возбуждающие волновод. Резонансные системы находятширокое применение при создании узкополосных фильтров, прецизионнойизмерительной аппаратуры, для стабилизации СВЧ-генераторов, а также длясоздания чувствительных элементов для измерения различных физических ихимических параметров окружающей среды.Положения, выносимые на защитуОсновные научные результаты состоят в следующем:1.Показано, что задача возбуждения о распространении бегущихнормальных волн в волноводе, имеющем входящие ребра в конечной его части,имеет единственное решение.62.Предложен алгоритм расчета волновода с входящими ребрами,представляющий собой комбинацию проекционных методов и учитывающийособенности поведения решения задачи в окрестности входящего угла путемиспользованияпостроеннойасимптотикипогладкостирешениясоответствующей краевой задачи.3.На основе доказанных теорем делается вывод о целесообразностиприменения предложенного алгоритма к расчету рассматриваемых систем.4.Аналитические результаты, полученные в диссертационной работе,подкреплены результатами численного моделирования волноведущей системы свходящмими ребрами.5.Реализован алгоритм исследования цилиндрического резонатора,заполнение которого представляет собой последовательность диэлектрическихсоосных цилиндров различных радиусов.

В качестве иллюстративного примераполучено распределение полей для различного вида заполнения.Апробация работы.Результаты диссертации докладывались автором на следующих семинарахи всероссийских и международных конференциях:1.Семинар кафедры математики физического факультета МГУ им.М.В. Ломоносова.2.Международная конференция студентов, аспирантов и молодыхученых по фундаментальным наукам “Ломоносов-2008”, секция “Физика”,подсекция “Математики и информатики”, МГУ, физический факультет, 2008.3.Международная конференция студентов, аспирантов и молодыхученых по фундаментальным наукам “Ломоносов-2011”, секция “Физика”,подсекция “Математика и информатика”, МГУ, физический факультет, 2011.4.Вторая международная научная конференция “Моделированиенелинейных процессов и систем”, Москва, 06-10 июня 2011.5.Научная конференция “Тихоновские чтения”, МГУ, факультетВМиК, июнь 2011.76.Научная конференция “Ломоносовские чтения – 2011”, секцияфизики, подсекция “Теоретическая и математическая физика”, МГУ, физическийфакультет, 2011.7.Международная конференция студентов, аспирантов и молодыхученых по фундаментальным наукам “Ломоносов-2012”, секция “Физика”,подсекция “Математика и информатика”, МГУ, физический факультет, 2012.8.Всероссийскаяконференция(с“Информационно-телекоммуникационныемоделированиевысокотехнологичныхмеждународнымтехнологиисистем”,исекцияучастием)математическое“Математическоемоделирование”, РУДН, 23-27 апреля 2012 г.9.Progress in Electromagnetics Research Symposium in Moscow, Russia,on August 19-23, 2012.Публикации.