Минимальные потоки и поверхности в римановых многообразиях

ж ) ~- Ф $ а а 4М Ф Ф Ф Яйся ФФ Ю МЗ Ф Д МФ З Жа м~е УВЫ Ц» О 94 Эа е б Зрр,Я ~® '"„~~'~~/ й ~„~МУ/Ч О МЭ ©ЖВЫ айри ' а ц ~ щщ ®~В~ 6 69МЗЭФ6ЙВЭ 'Эа Йф6$ЪР6: И ~Щ~ ~ ~Дф ~щ цущцу ПЮ ~ах К -иаажаа Я ив А.фф Х ~Я~ и, ц~ ~~у = й ~. В ~ — 1.~ ОЙФ%ФЙ Мф в ЗФО В %ВО 9909ЮЙ а а Н~Г,.Ф„Р® Н~Р.1„~Ю~ и а, и ЗР=а Ж 1 9Ф ОйФЩЙ$9 694 . " ФЙ 6 669И Ю 63166 9 А. а О' $Ю 6 М 1 Ф 6 О Щж ® ~МЩВфФ У~Ф~УВ © в Фа а а рщ 66 а- $Щ$$ ае фКВ 1 3 КЧ ф3ВЗ Т фЭНВ 'е .

6ФЙЩ~ а 06 = '~~,~ , у авбвй щаиуаМ~ ае ур )=- е и ~~ ~~= ~~ 4 ЦЙ а Ч1.' ь 393йф ЯВИ 1 Ф ВЗЭВ ИВ: ' у ' .. ф Ю$ВВИЮЭв. ВВ:.".' ' . '.::: . ~~ ~ /~. ~Ю Дфоп~ ( /'-/,~ ~ ~~Щ~,) ) 6~ГЩ йф Ю М ~, ~-~ В Д ~3$ .фе Э Ю: 666 ОС в Ю 6О ~' )~'-. ~Ы Я(5)4 Ойдо Ь~- с~~ В66О ~М ~/= ~"~~~„„~еЕЙ44НЙ Г '46 М ~ /7 ~Х -',,:,~) 6_#_О 6 93фРДФПЙ а' 66 ~ р С Й~ ~ /~/ (Щ)~ ЙЮ1» ' 9 '~С-- '~-р «НыИФу ~<~' /~ 'у ~~ с>~, ~® $': 'Щф ~~ф~ с~ ~' ~ /2Я 'Г~.

-~ ~/-,р,~ф~~ ф~ ' Я,. -,,~~ ф 36 6 6019 К '' РО 'Мб РИ е1аФ" 9Ю ф~ Ой Л~'ИО т~~~~".~ ~l = 1~ ~р~~ . ОИДО Ь Й6~.~ 1 Зэке .' ОО «'<-~Н. ~ '~~~); Ы М ,.~ ..„. У/,-// МИ' Оу ЧФО ~?~~:Х ~ = ~",~ ~~;.~' ~l . А.' ~ И ' "ИЗ 6 р' ЙФ '4ИЧВ: уВЗ е сЛ фЯ (ю вии иихф Р~ ~,~3~~"~ ) .- ~,Ф~ 1 $ ' 3 '~~ ' В-~','г',"./ ( В ~ФИ «С~'= ~~Р В 1 -~.~ й ~ОР~~й-~ Ж: В /"~~ ~ - ~'~'. ~Я~.,~~,и (99М'®" ) е4$ ' ВОЙВВу ~"~Р= С' ~Щ 1,.ОФ,~ :;." Фф ЯВВ Ф '~~~ ~,.~Р~~~ " Яфф ~~©) (еееа отз ', /-Я~ ~ „'фЯ )ооипа' ю е ~ а л' ~~'.

(.'?/Р~ ( жв м М~~ ~Ж7~ ) :."::::::::."-:~ юаеаува к веаа .Р ж й 66 а Т $ : 6 - ФР 6 ОМ 3 (ве19)фС 96 6 Фм: 6 ф , Ф~'."~ фФ АФ ~ рииевежв Л ~у~~ в -Г ~аг,~ имев виее ~ ~ '~ ~~ 6 д у .у ~ ~" ~!) ~~ ~'~ф а$" ' - " а М-':— ' иб4~» еЙ4 , щ х ~~е,к~ ° 1 Фа ~У ~, -.,) ~ ~' ~'„».~~ ~-~Г.Х~~ ~~', ~3 е Ф' ~ю1~'с".'~ + ~ Й) Й6 Ой.: 6ДВ..".':."' 1еЗ ОВЙ .~ ' 63~9 В ~~ /:=- / ~,',~,~ 'О 6::~:,"1ЙЧМФ: 6~3ФФО79 А. ' ': Ю" ' !!'~ "Ъ ЙД - МАЛ ~ .". -".- ЗОРФМОДф 'Г 1 * .,':1 ~ ~ $'фД(~~Д(~~~ ь,". :" 1'.':1 к.г) ~ ~ ,;;:,Ъ, ~,.".-ь~ ~~ Ф ~Я: ф ф.;:Ф ~ф~ ). ФФ '6 ИЮЙВЭЯОТ23 (бе2) И «бе5)~ ПОЛ~ б) НЙПЙИЙЙМу О 3 'Я%' 'Щ',1."; и МО" О бзГ~~!~О~Ч~Ъ бЖД» В '! М В (Ь~2) В Р ЧОУ " ~ ' ~ФФ~МОУрйМ ...,й а мЯ6О~'.; — ~$ к ,~ ф Ф '~~ М ф р~ Я ."ЮФ ~~" '::Й И,' ЯИЦ С(~ ~ / ~ /;ф Л96И~.': /~~ (~~ $ /~ '- 7"-,'~ф еС3639елаб;~~~О„О'~Г~~~ 6.

0$Фй ~ / р:: 'фй ~ «Ф::.:Ф~ Н 6%В:.": ~й ф~~~<'."~.= ~О ~~~-."'-,~~ХЯВЙИИ ~ у 0~" уйти" ":"6э ОМЪ ЙГ::':~~ИВ':::.~ П~Ы~И::. ~Э ПД~ЩВ44ЙЖСФ6 ц::;:: ":.й ~ еОУОЙ ~. 6Л~~.".":!/!".~$ Д" (ф~Д = с~р~~~~) = <~ у . об *'зсВ .; ~: и:~:.~~::~ "~ая 4ор на .'~/~::з~~~...а1 у: О О~::."~:."ИЮЮЙВ 6 Й ':ИИ 6~366-::::-3~::::-."::.$3' 6 ~'."с" Г~ Ой~ ' Й щй ~ь' Я ' Ж$%$Ф:.: НИИ~ Щ С~~с' — "-м': Щ4$ "' "ОР9 '~ еИ ф36Д9' ЮИОу ~~~ С(с ~ -- ~>'.'~~~,' = ~~~~."~ ~б сМ: с..'~б ЩЩ ~. ~ ~ЛИ~ ~® :.. / ~$!3~~зйй$ИИО::::,.":,,"Ю1Ю'':"""-"'$ ~~ е:Тб !"':.~":~~,~'92 ЖЗ ~~ЛИ~3!:!:.":.'~'.М С С' ~ ' у ) 3$ а 3 Ф 7~ ~=, ~ ~) йбЧЙИ Ж$ В Ф РЭ Ые~ НОЖ'а ~:66 Май ФОЯ В 666 ~~ ~'Я) Ю а ~~ Я оооредо ВОЮЮ 9 ~~~ Я» ~ ~'Т;,=,Х е Ь ЯЩ И~ Ы~ Г-~~Я"~ ей6 ' е Ф 46. й~', 1 е ('~,",с~~.", ~— «МВ 9 '.М, .

Ву ~~~,' ~~ ) ~~. ~ Г~® еЭ ЭВ"' ' Фй~ а ер Ю~ ~м апю 7 М'":: 4':,:.' З 6(ЦГ Э ": О ' 1~/~ еФ, О йО М ~ ЯЕЗй1 6 .ИМ ЙМВ Я„ей '9' вй ОЗВ:; бйу щц е и ~~ М~ з т ~, е ~~а х', юи и Р' е ~;,, ~=' ®. ~Ф ~ ~ 3 а% (И~ ) а Д ~5) ~аыевв м: . 1 пааве веюуее, е ~'Я = ~'~'у~,а и (~.~) в (И.~) ее~~в 'Ъ ~~И = ~М= ~М ~ '.н ~ к 5 и ~" с',~ уиже иове, ж вел В В: "~ 4ЗеХ Ю йу = ~/ еЪВ Жй Й ' «3 ДВ' - а ИЩА В Э ~ %36 Ф$ В ~И~ ейной Х аХ У ~-, (Д) ф9 ЭЙ $6 и~~/=~~Я;)::; ! ФФ ~ ~,! ЙУ Ы И ~Л~ ~~ ~~,7~ = ~ ~~~ й,"~ = 1 ° 69У Э $9 ~:~! и (ЫФ «л~~ ~, ~ 6 .

ий рева ие Х~,й А» и, ~~ = ~ ° ~ ° !/~~1=~. е,:.! в ауеуаад~а~: .д:— -.:.",.'!:,',-,'."'.":: (н~ ! 66МИВв ~ а В: еЭФ:.:: ив в ! ФЬЮ жаИе Ф 6 /Я' ао~ а ~Ъ~ =~' '-М=л." ~и~,~:.",, в ЛГ/Я' пе '~1, ~ ф ~~Я') е ©~ ' Ж /Я' ЮЭИВЭВ ЯФ . Ф ~',6 >,'~,' рЯ~- Х .аптек М~М ° ~®~®$® ВЮаевеееее Ж ~ УБ $ Ф ~6~ВЮ®Ю~: Ф . ~Н ) ~~щ~ р~ур~ Ц~ЭМВ Я~,~) = Х'б-~3'5 = Я <-- (~-/~~ ~! ф~ ~~ ~') ф 4, й- ° ° ° ° в е ° ° е а,з.

Фее ~' аиеюиэ ° ж юепв ~~~Ю~~ВЮИЭ ~ ..: ':.."3ВВ В ОЖ фЮЮЮВВЮ$ЭФ ЮЮВВ Ц М а ~' . ауррр~дрдррю. ° Д~, . М ~4~ 1=ГЙЬФ- з) ~л, ~,~~ 1. (ОМВЮВв: - а '~ ю'::, .:. ~а веааранаевв ве .: ° аииееэюев ~' ° е ) Ф- ~ЮВЮВЮ:ае ае ЭЗ: у. ив в : ° ааЮЮЭЮВ аа:: ' .: вафай ° в в аюаамвв ° - 'ваюв:.:: ае: ЯГ- фу ° ! ~ Я~ юЮВЮЮВИВВ ВЮЮВ:: . ЮФВВ ': .: ~ В Ф е - ' Д Ф ФФ ФВ -б '-' - ФФ 3 Я з а ~убор ф» е у иуееезаею усу Д уп Д О~б $ у~с~~ = уи б~у ',) ще ~~ У6 ю р.е Д: ю Йе ф е..: ФСп)- Каб '. ~~ВФВ ЮЭ Ю Д а ~ вМВВЮее. ив ее:: в О ° Н.

ЙЭЮЭИИИ 6 = 7'Д6, Ф аЮ Н В В ее в: певве .: т - °: ..:уФевв В= с~б: в Х," ф ф ~ 3~4; Щу фФ~ 8= Неб е ам Гн,н3 Н, % Й~ем~юе ~Ф(МтмЦ~ ~а~п~д-ьЩ ~,~ ~-,4~~~ РФ -6= Ф4) (~ 14) в евши азове Щ= РлА ф- ЦЪ~яЩм-лф~, Ы = %Ж ® н=аг~е ~- ~ли . В-~4" ®ю ':::::::,-::::,:-:::::,::-::."::-'." рйфйфйфйВЮ ФЮЮВв ВРЮЮЮЮ Ю ВВВ Е;" - ( Ф,~ ~ ~;.

— Я,) ~ Ы 4 ~ 7Л; гП+/ ~~ ~ ут ~ т М6 '! Ф~ й Х~ ~фъ) е~ ® ~=Ф~'А~=~~~-,), С=(С'~ мы д~/ ~ А Д'~ ~~,( у ~ХЗ«Х) Й Б~АВС) =- оСН~,~, ав (К3.~) й ~ д~ г В об зои з Б.Х д~щ Им й(4,8,с~= Ке~й48с ~,др д д ~ ~М® еХ» ~ 1ВЗй М 3 ф9~Щ4~ р рр © ~~й~~ ~ ~~~й® 4~~,~, а ~д р ~ щ, $ЮВИйй ~~ ~~ ~р щф МФФ 5 м Р *4 -- 4~-~, Ы ® '® ' ~ и р и ежове Й уел етз Й 3$ $фВ ЩЮЩН$. МЙ 1 А,А~ э --з А~А-~ ~ 4~ и о~,~, . и~„„,Ы„а иова Я а Л~ и Н ЯВИИ6 ФВ Я~ р °- К ~"и~ = 2; Л-й.~, Д~с„'- 4 Э ~ ~ =' ~ ф-~3 Д-.)- ~ Ж~~~~~®,/ 1"й'"=(~а~)" = ~'~ "~, ~'4~! А,.Аа.' ЛЮ 4.

'" Ы' — ~ ~®®И~Ф® 1 ~ ! еа елюв ю,В~Я,М',, Х, „.~' ) ''~,М-~~4к = ~-- ~К вЂ” ~. 1й.еМ~ИЮЭ Ю $91 ( ~~~ к ) ° ь чапа ии, Уй Ф й: .--ФВ ~' = С7~л'~/СТи)~цй'-т',~, п ~ и, м ~ р ~, ее~ ~-6~'~, ~-Я~В 4 ~Щг'-~'~ Мара~в алы О®, С~ ~~ ~ Г/~~- ш ) Нри~ ~ур ~/ ~ д В Р:. 'Э' - ЙОДИИ6УО - ': Ф ' „ДдЙ . юдщдрур :::~й~йюйФРМ 7; 1Г' - (Ь Оф ц ф,-.

р .~~=, с> ~~ ' ~ЯМОЙ Р ЙЭМИФЙЗЯ Ч$6%ЪЮ 31 Е . - /= . цррду,м.ц.,~ Т щ ~ Вееюв лк-,Мс 1 '= ~т ~ ~ ~ юа 3 в $'. ф„,,д~ Я ~'6~, Ц~ Ф- ю~ЮВ5~ -к ф..'4ЮФВФ» В,Тф~,„- ~~.,(~~аащ~т$~а,'~ л' Ь .. ЮЮЮ69» 'р ИВ Щ~ ~' ~~1 е6 ®$ВВВ 46$$ВВу ЮЮЮЮ °...,. ЗМ ~дЦ~~ ~ ~ 1К~ ~ = 1 ~в,,- . Ф,7~~К~ф= У ~ЦВа$ВЮ ~, ааеее аи - аваева:-;,: ~" евавеа веюсь ив аю:.::—::- а -::..: Н~ Я = ЩфЦж),т~"7~2,) ~= ~ГР ~ ~ уейиЮ 3 ~аюе юл.еавае П. Р~~Я = РФб;Г)=с " 1"-- - 3~ ' 3. ~ф в щ~е» с"~= 5б~л), в Н= ~Ф-4еяо® Ва ф® ~Ва~а~~йЮ ( ~» ~ ~ ~ - д ~.

у ~ у~ ф НИВИИЮ ЮЯЧВВ ю7 ,."Ь: ! 3и Н=иЯ. 5'а~оп~. 5С~,ж3, :,;;1: ~ ( в ) .5 ' В у~~щщ Яр~юъ~ и 5Щл,~,в Л 50й4~. м, ч йЬ ~Т 16 1 ЙО36' ЮФ е И ~~ ~ — Ъ ~~,/ ~й~~ Ь~~ (2~,),:,':::: 1 ж е Р~Ц.а Мк Г ~ а ирее ЯЗ. ,аа А~,У '= й-®=-Х,' ~ ф ф~~~й® Х, Ьф~ -7 4666 Ф И-~ ) ф~ с ) ф ~)=~ .7'У. =-Х ~ иае (ХФф7) ф~' ( ~=~2,, к и ~ РХ.~ 9„,Д,А.',..., А ~ А мвдж> ~~ ~р~ (.а 1Х О~4.

у Я Хкд'. '~ = ~'„Г= -7Ж,', гЖ,т~= д ~~к',,~: ~~рйл) 1 - ~4~ ал, а В М (= ~р~рр~) 9Д~Фб Щ;~у," ~ ~ 9 Ф) /' ~ХА;~ = ~:~ (~ . ~ еЛЭЗ МФТИ г~, и Х„ д3.'ОФ Й~ФЦ Д, аоЗ- ФАЙФ ЮЙМ $Ф ФФ й евеаывев ювву ° авв К, Ю 6~ КЙУ В . ф ~~1~ е ~1„(й„(д) . = ~-к~ ~ муеа 6 ЗФ 736В ° чбиф,~ ) —.-с~ е Хе Н ра Р' уде в~в )!: ©РФОУ ИеЗ Я6 ЯЗ б 3 О И Иф2ф .и 5ф )ф 'ф~ 1 5у =16~~- ~': 66ВЮО Я -.

6Ъ'Р" ь П сйю ~'=К,ЙМф= у б' и ~4 аиебрв Лл групи Д В = 7," Р .Тот~ Ст= НЖ В, Ч ~ Е б е ЕОДРЩПИ8 ф 3$ ав умов (Х2.2) ° пр "~и Н л дворике е я- оя лаееа а а~е а уеа Ф е $4Е ежа й ай двааааивавеиае и ф ао д, ее МА /-/=/-/ ареоб в а у ее4И~ =Я е 6/ б 4" а $ у а е е в в~ //Л~ ~ //=~ф ~~ — /ейо Ол ИаХу ~~~ " а а:: а: Ооы й ' оео ~~. м' в еео /р ф,) — — ~ ~~/ ~ еИр ' ай ' у ейе кэйо е йе йоа '~: еоу з: ее ~ф3,йо ео — Я -Ф : ХХ~2 ~.е / ~Й пе а й о е иври //Я//. Мн Х =~ П'~:- ба% оо Йр ~) ' а (Т ~~ фор 6 йо '''Ф.''"л~~й~йе а а ву Мой: е ей об й ~~ =с4~,"ф, А.=.

с6 Ф чв в ~~> ~ ~,, 6'~ ' ейеа йаиойори орвжор ЭЙЛИ ~..7 ~ Я %6ф93 Й.')~~,', Й' ~®' у а иеи Л'Ст Жг о л еъ 4$ФЬ. 'Ф!ф Ф% Уй Ы'~+/ ЙЭ 6Н 6 й 6ИИ$ Г ШОН Ь-66 6 ДОЗ 67И 4О 406' е фЯаИИ .Х ~Ф1 ЫО Н 'Фойе 1з6 В. 8 ~(Ф~ раанагаеаца в ау 5с®(Ж л ~, ~, В 4 Л .'3 И9 Я~ 9 Д ' ФО. , 69 Ж~ОЙВ ф$9 в ~ — Г '"а4Х %ИО й '660 Ц~ ' /Ы Щ6ДОЙй а е аркы юв об зу е;оаъ ~-~ ®®ф=-,х., г„~ М,(~а®,4=- ~~ р;~ю®~~= гв т=~~~~~~ .~ь~;,;, ~ С 4 6 Л О Й Ж К е в:-6Й:::: ~~- . /-~,~/~~~)~' 1 1 6' ' ® ири 'и ~-с~ ~'.= 7оС ~/ «Йу ме ' 3 ~ 85 =~-~),.~ Л ~ ~T у, - ) уЯ~~' ~у ~~~(~ ц ~а 1~( — „-3Р ф 6" 66Ффф ~/ ~ ...

~ ~, ',Я";ф -:Я -Ъ = Г~Л~.', Л 4 ~'- 5 — -- МЙ„~а4,.4Д к а Во=о иэ ~ (И Ц е ~.М= 9 ш ~=~.",, ~,:: е <,,а,~,~~-, ~ Ф 1936 ~ о ~~С-Й. 69 ~ 9 ДЕ: 5О~~у ьр~Ь ю в Р, Я~,щ~е ~, - ары '. ед . ии С~ Я Д «Й6 М 3 И' " бйб: И ° ЦТ 4636%ИФЙ6И Й й9 3К ФИи МОЙ Ж у К 6 ЭИ ' 'ОЖОГ",~ ' .>ф,~ КОИ$ОИ6ПУ 3$ Й К,» ~Я / еВЯ~~ГЙЖ' ' 96 .юйр ЧУО Л О К ~!', ф Й ' ~ ~ ~ ~ 6 Ибу %7б ."~2~ -~ = ~И ~Э вЂ” ' Ц, ей$046ФВВ9 1ФФ:1 Д ' "'$В ' аа ~ а ЬФУ Р ,® ~ е 1. (4) ю Аида з Я 66 Об ВЭ 5, а '. аИ ВО 1л„б~ ~ВО ~ф:, .фф~ $ /~ с у = ф .~, ф 9~%667 З6 Й И . ':: Ф а т 1' : 6 й6~ (Уд' ~МА 6® -~ 6О 96 Д "-: ОУ.З~<Ъ 6 тГ4 лЯ(т,~-,~ ) С® '~ю. йй~~й ~404'ЮМЙФ$" '-'$6 ~ ЫА., ~-Мф //-..

й~~,Ц„~~ 4,- п6,,)ПО;, =:~ ~„,б„~ ~„;. "Р Ю 6 6~" ЯОЙ94 ~~, (г~-~ и с~. ~®) Л 06 ~~ Д --Ъ -.Т' '+' 1-. / ИОЧФй " "' В $О7 ' - "-еу ~й -"'6® ЧФО ~ 64-:~2 ,~т~ ~1%,В) ~=у йо о мп, иве ~ЕАЯ7~46С~ == / . о а араб и® ы зааой а (Т4.Ц, (1Ь,6),(И,э) (В.Ф) дотдга ~й 4 И С пю 'т в е ии -:~~ (1Ф '3) ~у~т абак в Щ. К ' ' .О 3 йИ ° Ю~ ~-' = Ед6~.'- ( ~= ~, ~,-. ° Л. Ф Р вЂ” -'- ~ в ' 36И О В (атем) И (14~'5) ЛО:Ь. Я Я%9 ~5- ~ Ы4 ~ Л~, ~ ф '~ ) И ~~~-= С) ~ ~;;".; -'у < ~'„~';~,дй 97 3~ ЧУЮ ~6 Ф (.Р 1'. ЙУ н ОМйьОИСЫК (жФ®~:;) й ~~4®5) вй ДюОБ11ИУй4 7ОРИО Й~ВВО~Ж ОЯ~ ЧЪО ~ИВ СУ~'О 3 ООО 1%6' " (14~4) 49ОЙМ16 аОИ АПЯ 2ЫИИХ И %6 а ..' Ъ$$ - 6,» с-: Л,"~~~„1 У Р К; = 6 ~О,Г ° =~~, г,".=Е;~ И ' 6 66 ИНИО РФЖ61ац РВИМ ЕЖбе РЛВ 6' = ~1 ейй' ' Щу 63ИЙВМЯ' Вбййб~~ОВ ВВ Рй йфВОб~йМО' 91 й А~А еУ 6 у с- 5'Цт) .