Минимальные конусы, инвариантные относительно присоединенного действия компактных групп Ли

НОНЖСЗА ИРИНА СЯЗТИЖНА. УЖ 517. МННЕАЛЬН~Е КОНУСЫ, ИНВА РИАУЛВЕ ОГИДСИТРЛЬНС ~ГАС Ог"., М- НИНСГО 6$ИСТВИЯ КОМБФУТНЦХ ГНПП ЛИ, 61.01.04.-геометрия и топология,, Дисс9$ФВукя 86 соискйниВ учьиой стап9ни хнняицатй Фиэякс-ыатвматических наук. .Яоктор ФКЗико-матбмятичРскнх ня„'Гк А .Т.ФИ~Я-Т О, риант щах тносит9хьно присОВдинОннОГС щюдстазлонин этОЙ Групн фК на аист алгебре Ли Й, естестнанно Отождествленной с Й йЦФ ИИНСНИЛОСЬе ИУ ЗВДаЧУ, ПОСТаНЛВННУЮ А.Т.ФОМЕПКС Н „~5~ удаетсн обшить для нсе~ классически~ компактнн~ Гсупн Ли. Бри этом оказалось, что решение указанной нарижиснной задали тесниймим об~азом связано с достаточно Глубокими снойстнамн систем ВЩЖ93 ОООТВВТСТВ~ЧОЩИХ ГРУПП ЛИе .

СуцюстВуРу три пОнятия минимальности конуса. еонуси мОГут йаъ лааццно-минимальными, устойчивыми и глобально-миниммьг"- мие Точнма Опредаланин будут приноденн В ~ 1 Гл.1. Пусть О~ - простан классическан алГебра Ли. Пусть А - локально-минимальнан Орбита Обп_#_ГО полоненин фбс09динбннОГО дейстзия группы бФ~эЙ~ и С,А .- конус нол орбитойе образоианной Радиусшит собдинне~~ими начало кос~а"нат с точИами Щ3битие ОказыВа9тсЯи минимальность НОнуса относительно - жООГО из трбх указанны~ понятий опрбдбляется системой к~~ной .влтеИри О . СФориулирувм ооиоииой ревулвтвт ииооертеции: Ъиф9мк: 1) Э Оду6бр8 5 суя6стВу6т и 9динстненна локбль-~ Ф ,ВФ.',,44мни$4мьяю щ)битВ ОбнВх'о положВкии ~~ ( и конус над нЮЙ ф Я ФМВ . ф~, ~ЩИИИВНВ,в ОДН ЗКО ЗТО 7ПЩИВТСЯ В ОВРЬВЗННВ ВНЧИСЛИТВЛЬНЯВ ТЯДЯОСТИ» НОЩВЧИИИЗСЯ НСВМр ИМВЮИЯМ ДВЛО С ЮСНУСЗМИ ИОРВЗ МВРНОСТИ э~И ЩДНЮЖ.

Я МОЗНО ЛИ НАЖИТИ ТОЧНН6 БРИТИЧВОЖИВ ЭПЗЧВНтИЯ„ ЯВ ЯСНО НОКВ. М О ОТДВЛ~йй~В ТЛОбВЛ~НО-МИНИМВЛЗННВ ИОНУСН, З СЛУт~ЗЯе~т НСТДЗ ИОЯЗЗМВРЯООТЬ КОНУСОВ ДВФ ( КВЛ Н ОЩ'ЧЗВ ПРИКВРОВ А.О.АЗЗПОЗ ) ИЛИ ИМ66 (ПФПРИМВР, ЕЗЖ В ОСНОВНОЙ ТВОРВМВ ДОННОЙ ДИССВРТП~ЕЯ)т ИСПОЛЬЗУЯ МЗТОД БАЯНО, ЛОУСОНВ, ХОТЯ ОН И НРИВВЛ И УСВОЙ З СЛУ- .

ЧВВ КОНУСОВ КОРБЗМЩПООТИ ОДИН Если збмВнитз услОзи8 тйОбалзнОЙ миним~;~нОсти ИОн~ са, услО- ИИВК уСТОЙЧИЗОСТИ (ОбЪВМ НВ уМВНЬБЗВТСЯ ЗРИ МЯЛЫХ ДВфОРМЗЦРЯХ С ЭЗИОВБЛВННОЙ ВВРЗИНОП ЕОНУСВ) е ТО ВОЗНИЫВТ НВКОТОРОВ УП~ИИВ :; НИВ. АА.ИВЗБОЗ ДОЯЗЗЗЛ СЛОДУИЗЗВ 7ТНВ„-ИДВНИВ: теореме ~241 . Преть ~ — $ункдш оеьомч оретт ва проо:— В "'- РЗНСТЗВ ОРбит Ф- Н~-, ОДНОРОДНЗЛ ПО РаДИУСУ СО СтГПтВНЬЮ ОДПО- '4' Г~ р тт РОДНОСТИ С4 в ф — ОХРЗЦИЧВНИВ ~- Нй СфВРУ 'Ь ч-~ ~, ПУСТЬ ,.' тт м о Ш вЂ” точка макоиыумв ~ ка оферт. раооиотртм ко;„' Нус -'6 БЩ ОРбИТОЙ Д е СООТЗВТСТЗуййЗЙ ТОЧНОВ О .ЕСЛИ ;,; ТО НОНУО УСТОйчИН.

й-~ чт - Угловое раоотоввве, вмтврвеиое на 1 ф от ~ОЗЩИ О МКНИМЗЛЬННХ ЖОНУСНХ, НВЛЬЗЯ НВ СКВЗВТЬ О РВЗ7ЛЪ,-" ТЩЗХ Г ЯОУДО В ~16„д УЧВНПИИ Ф МОРГИНЙ АМ бНЛ ДОКЙЗЗН ДОСТЗОЧНМЙ НРНТВРИЙ 2ЛОбЗЛЬНОЙ МИНИЬПиЬНОСТИ КОНуСОа. ЕРОМС Об;ИВГО РИТВРЙЯ АИЗ ВОНУООНр У.ЛОУЛСР ИЗЛИЯЛ 3В НВЙ СВОИ РВЗУЛЬТЬТИ В ВИОТОРННХ. ЧЙСТНЯГ РНХ .

ТЯФ" ЗЙДЭЧЗХ ° 1 ) 6639ДВВНО ДОЖИЗЯТВЛЬСТНО;.ВК 1И- ф 4Ф ВМЮВ6мои 'Фжйовой 2ВФуйеен ~ Ф Моруи1иВ ОжбсительяО Мп~~ММи~~- яоойи щ~имм дифж Живостей® 2) постр66я щжм р . $ 9 мияимали иго 'Якори ' 3) 9, 1цщсскфя Вщфчж Ж~щ ~щори меориеейщюВВпной пове~жйоотьР~ ) дание, Фщим конуса" Фщ произведением двух ИЛМ бОЛ68 буфер, ' ОсВВЩеп ~мц~,дфгм"с вспроосэ» рты очень иятщюбнн~ но*их Взлскение требует и $63~~ЖЬ%'В Иково мести» $,9, кипр ипржмер изложение обяюго жритерия нуждается в некотории предарительних описаниях, а изложение других результатоэ Г.Лоулора невозиожно без рассказа об истории каждого зищосе. Лоэтомя иктереоую263мся Лучше прочесть диссерты~ию Г.Лоулсра Г161, неписанную простым и ясным языком.

Преиде всего необходимо напомнить определении основных понятий, используемих нике в 1 глам диссертжди. мамии~.. в Ы ° --. ° ..и а.. если оно является группой, причем отсбраженхл Ж и Ф ~.У~ ~,4,Е "ф ~,„,~~ -у ~ ГДЕ гаИКВ~Ве фЩВОЙ9~92 И ОбДЬТЯОВ 7ТВЩЯДВНИВе ЯОлОООВ 1!Д ТЫКВ Щ~ИВОД6М АЙВЗ ДОКЙВЗХВЛЬОЛИ. .о~~ил. ° ° - ж ~,Т= Я,~РЯ бУДВТ ЯЗЛЯМЬСЯ ГЯ'ТПХОЙ ЛИ. ЗМ ЯН У~ИВ~йДВЯИЯ ПОВИЛЯЮ~ О~йОВ-гВ~И~О ООПОО~ВОЛ.Г~~ ВЛГВОРЫ И ХРУППЫ ЛИ. РВОО~ВО~Р~~ ВО~ВО~ИВБНОВ ~ВЙО~ЗИВ ~~~~~~ДИ ЛИ на своей алгабре 6~, как группа лккейннк преобразоеапий, обоз- НВЧИВМИХ Я Й 8 ~я а,К~о ~я 6~ Ц) 5 в Я таад ДРОЛЯ ЕЕ $ОРМЯ КИЯЛИЯ~Я О~РЯЦР~ЕЛЪНО ОПРЕДЕЯЕНЙ.

Веввотввннаа ноналгебра (~~,, нонрнроотой ы рмлв (л навнваетон йййейтнйдо$ форщой, волн отобркнаввв ЭКОНОМНО РЯОКЩВИЯЯ ЯВЛЯЮТОЯ КЗСМО~4ВЗЯОМ Я,й'- Я, За~ о Я йййййййвбйв Я„наэнвввтон комоантоой веноотвоннрй лмой тйййбйн Я л волн С,- коюшактная вваеотввннан ан1ебра. ~юю .'~ р ° а.

антвбру б~~",~) оовлвнавт о каноннчеокнм влоконгнм комнактнор а.,й .' РааОМОЦМ~ ~~И~~ ЯР~ВСЮДЯР~ЕЯ~Ю Р~Д~~~~Е~~~ ГРУтЩ~ 4?.,'" ~) Ь рррр"' М рь '~ Й ~ 364ККОЯЩрЩ4 Ф~ т, Отлей ОЛЬНО ПВ~БСОЧЙТ 98 7О ОСТ Канкан арбата т а.Я б =„У Сх бранта, .вотммма нв е Р ~тУДЦР~И~ Я~ЦРЩУ~ОЯ РД,ДЦЦОМ ОР~ЕдюРУД~ ТЯК)'= ~ЦУЗ, Ф~л~ т 6ф, й) Анку) ортогопвков " ' Д"„49чхОК=Ь "ГОИ9фт ОММТЭВИЙ ИМАМА ЩЯЩ ЛИ 8ЛГ9б5~Я ЛЗ.

ЯЛЛ ГЯПБН Хй реаоиотрвк пркоооквкеквоо квйотвке групп й ..Я 2Ив Нй СВб8 Муе = 88 ' 8,8'~~~~ 1т ~ о$ ~ (- й)б~оЬ~ орбвтк праоооквквквого аредотавлвввв. Рабов р О'Х ЙМ 3 Р:х,'-' «Л г)й Н ВИНИМ ЧТО Б СдуййрйЕ ййа„, г)в~е~)ц~ «,у~ д ЗИЛА;7ПЦ' — ~- ...,па АМ=,"' ~~)- Л'" -~А~МНИ " "-' ~ = ~~~~ ~~, где ~-, - я).-,,у~алмглм покаптобра ковпактной атгебрн О~ Фй КвйвоокорФва торп ) гдо т ранг (р етаа макиывдьной коьиутатиндой попгруппойй.

2) Зсб мйкйи."иАьни6 тОри сОп~ЯБОнн. В) йввлвв арбата Офо) обвватольво переоочат мокронинп— вй р~ (вй о й). ЦЦЦОПДЛ6НИВ А — ВЗЗЯБ68ТСЯ НО.)тЛЗЛИЗВ-.ЮЗОМ 7~)~)": а группе ~~ Й~ ~У р~оокотрв~~ Фактор грйппу у'у/) ° Ова коннова. канонов грйпкой войта, ЧЖОУ мюиВнтФВ ~Яппи 36йлЯ;ЯЙСЯ)'„) числу п8рюсОчбнЯЙ О"бион ОЙ197О ПОЙИ9~И О ИВИСКИИЬНИМ ТОДОМ В ГДй;П8 ~ В РЛГЕбрн— О ВВ$6%Щ936ИОЙ И6ДВДЖбрРЙ) а 3ФФ Д3е; эаюмепта ~8~~6®ийьното тора смрнконн, ~о мк е уруППЯ ЩфЯ е ~9Р9 )Р~фж КРУТ' В ,Т ~ ИЩщрРр ВИДАНО И Р® ИЛУебУЦ Ли ЛИВИИ ОбРВЗЙМ МОЖНО ТОЯ ДВЗбФТЬ .яа части»' извимиР не.

П9 е 9 Г В ДЩха пОД ДейстниВМ пРООбРа' П9Р9СФКЕЮИИесяе 69ДОХ0ДЯШИО ДРУГ В ЗОЗВИИЙ ИЗ Щу~аааи Щу~хын 39ИЛЯ И ООСТаВЛЯКтййе и 67МЯ9 ВЕСЬ тор у.В ЗЯЭ В ЭЛХ'еб~)9 Лн). . (ФО 4э 3в6РИО и для поделхебрм, аут ЭТИ Области ВаЗОВЕМ КЗМВЯВЯ 36~ Как и Х'Д'ППее ТЗК И В ЭЛГебр9) ° ХЗМеря 6 3 ВЯ ХВРВКТ9РИЭ,"~йтси %9Мт ЧТО ВС9 РЕХА'ЛЩФМЕ Орбити и 1Я,'пп9 их и Г~ПП9 ИХ П9Р9С9КЗИйе ЩК4ЧОМ ТОЛЬКО ПО ОД6М47 РВЗУ.

ТО есть кнмера Вейпя есть прострэястВО рет7ляр ных Орбит присоединенного представления В алгебре Ли. Расй~трим 9л~ебру Ли,В ней Орбиту А. ПВВОВем конусом : И иаи Орбитой А конус, сбразананный лучами, идущими нз начала коор-' Ж~®т В Т~чки Орбитм. Определим функпию Обьема таким Обраеом: т~~МЕ~- объем той части СА, истории ешиочеиа е ееасе редттса Р.. Огносительно Обьема суиестнует три определения мнннмальнссти кон~са» й С . Рассмотрим Вариации конуса: 1) с милой амплитудой и с мзлям носителбм 3) О ми_#_ОЙ емплитудой и с любим носителем,~не смейая Зафшинк конуса), И С ЛЮбОЙ 8МПЛИТ$ДОЙ И С ЛйбЫМ НОСИТ9ЛВМ.

Ясли Обьем ИО~~Оа мииимаиен ПО Отиопюнию к таким вариациям, ~т Ф НРО8киия конуса на пРостранство орби. ~, нв„ чеоиой на модаигеоре даргова й в смнсле метрика где С~с - евклидова метрика, еаиаваемел йормой ьилиенга; 2) кОБУО ~.~А являэтсЯ УстойчлВии но Отнойвнин е узам ь=Й~А нариж~илм, не Омеяащим вершину конуса н Ого оснонациа то~На и тол~ко тО~Нае ко~~а на йООДеэи~оской Р~ Я~= ~1 о МЮ ООЩЯЖ9ИНИХ 'ХОЧВЕ е И) навис СА лвллетсн глссально минамальнюе тогда и ФМЪБО ТОГ~Юе КОРДЭ, У6(ЩВВИЧИСКЯЯ ~ И ь~ ЯБЛ:ЕТСЯ КРОТ- чВЙ66Й ср9д4; Б~изих, СО9дикпющих точку ~ О с Границой нялОРБ ЭЕфЛйе е ) М- овеорсдное нространство.

~~ ~р .~ М~ - м~пмяооб~кйие, Ч - инйиа_#_ьно в ~ " стноситолвпо мвтЛд1 ~/~'",А ~ /'., рнии м", тсгда и тольао тогда, когда ~ ынввльис и ~~И Отиссвтаиьво.,вндрйироиенной иа ~ь~~/Й ветрила Сг г = о'ь" г М ' '~.'.~фЩЦИ$66Ь6МВ ОфИТ~ пуф~,фя ~6ф',ф3хтв ф~~ ), Иептыпв4 что хопвпо в Ц ~~Ц р ~'~ 1 и~, поетоыр Сс = $ йы вот'" Ф при Ы ц~ф~) .:ф~ы: $ з 4 при > р" " 2~к~.!) Щ бУЖ6М ФИ ЩИЖТМИ Н ОПР~Д~а6Н 6НПООЙЙ СЧНТЙТЪв ЧТО ~:~ = 2. Н6 ОЛТЙМЙЕВНв й 366 ЩОБИйе БОп'О~ЙНЗ ИЫ ЮЙ$ БЯКОЙ ЗНбЩ) ~-. Н6 ПОЛЗУЧИМ НЖВЭе,МИ72 бКЪЬ УЛ~ЧЦЮНИ. 3 ТОЧБЙХ Г9(И9 И%К, ~ОБОЗИЯ Н9 ФОРМУ З9ЛИб~ОВКИ М 9,: ввчеоиой У~К ) выпоииевы ввтоывтичеоии, и иеи. оотеется про- З6~ЯТЬ 66ДЗО6 УОЫЗИ6 Нй фОРИ3 ЖВЛИб~ОЗКИ." ~ТОЗЕ МОЧИ69е КЭМ Н~ЖНО БИЯСЬ ПЯИ КВНУ У~СЛОЗп.'.СС Нй ~ЗА 9~М ~~: - 6:: $ТЗ Щ6НБЭ ЭЬПОБНЮТСЯ,'-.

ДД9ОбД92~8М 6ТО КО~К36ВИЗО» 0ЧВБЯЮ, ЧТО ЭТО И6~338НСТВО ДОС~87ОЧБО ~ЯССУЯТДИ— ЭМЬ Ий С46~9 ~ ~- ~, ПОСКИЬКУ Об9 фНКЦИ ЛЗДЛЮтСЛ ОДДО~КЯМИМВ И6ЮМИ ~ ° ПРО39$ЙУ НОРЭВ6НСТ38 1Б бУГОЫ КРОЭОДНТЬ ив гепвевичеоивх ~~О ( т.в. игах бопьтпх оиртвноотой), р~-1 ЭИХФЦ$ЩЗИ Ж6 %ОЧКИ ~.Ф еЕСЛИ ~- - НВЙУЯЭБЬББЙ ПИРЗМОТР ве ~~6~, во .~ тУ.По поотроевив в точие ~., т.е, при : 'ЬеО; -.' вввчеихв,вчвпщии 1ЯМг~А х ~г оов~вивпт, в произ- ФЩР9Щ ОбЩВДИММ:Ж: ЯУЮЬ ПО6ЙОМУ МЫ МОЖВИ О~ОЬБЬЗЮЬ Н6 СЗЪИ ,фЗЦ~~$Вр В:Ю ЙЙЩФФ' ВРОЖЗЙ(ЩБЯ6 ПО ПЦ)8М67РУ т '~~6ОЬ ОТИГЬ ЗРФМ9Ф.б~ФМ Пф9ЙК Фт ф~Я~аДЙ ж йХ ИГари4МаИе Евдо, НаМ 1< Дрццр~рру ~/ — ~ (ЩПЮЩОВВЕИ9 ЩЗОВСХОЛИТ ПО Б~Ж ~Ю~'~~~'"~ О~ 1 .

1: ~: РЖОМОйфИМ НВ Сф6$9 ~ ) бКЕИПСЙН~Ю СИМИТОЛЧОСКВ д «~ Ь-( ФФФ $(ф ~~ в ЕП9 ~~) ~~~ ~ ~~, ЗЗКВННЗЮ $аж"дой ,~ ~а~ ~~Д Ьй.,$ =- ы ~„" 9~~ фЩМЙ КВ~И6ТФЯ ОЩВИИ~ЮНЙОИ НЭ СфЮД7 ЯЯЙГСГЕЧНСЙ ~С~МИ Ц ф 4) е,ВОФМИВЙ Зй Воай КеМвра Ввйи, а яз,нсвйся геасиа- ЕМ ВРФ6~к обьМ63.,"'КФ~Т,в лвкаргових коу~и~е~в~). Лвй~тЭЗИИИВ:3Ж .йежуйио проверю~ ~ (о Я~= ~ у~ ~ ~г :ЩВ:,";.'ЯВфВ::-.::;:"::„.":.",::;::;:.".".М(ВЕФЧВИФ ПРОИЭВОДПЙЯ ЯКОЕ ПОСТ35 ЧРСУО В6 ( ФФфМ$~:--:.."ЙФМ~:~Й~РФЙФЙЭЯВЯ'о М32о~оМ ока 36 ИЗ' 36 ТК"Ок ЧТО О~кдйЯ Б Щ~33СЙ : Двойка кврек оковкой вовквкпв ве-в ЧОСТкк . йк,й.к ба,у~ОН ТОЙЬЙО ПО П;ОДОЖИТОБЬБЫМ Ж0. ЖНЯМ.