Выбор стратегий терапии в математических моделях взаимодействия лекарства с клетками и вирусами

Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èìåíè Ì.Â.Ëîìîíîñîâàôàêóëüòåò Âû÷èñëèòåëüíîé Ìàòåìàòèêè è ÊèáåðíåòèêèÍà ïðàâàõ ðóêîïèñèÊîâàëåíêî Ñâåòëàíà ÞðüåâíàÂÛÁÎÐ ÑÒÐÀÒÅÃÈÉ ÒÅÐÀÏÈÈ Â ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÕÌÎÄÅËßÕ ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÈß ËÅÊÀÐÑÒÂÀ Ñ ÊËÅÒÊÀÌÈÈ ÂÈÐÓÑÀÌÈ05.13.18 Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå, ÷èñëåííûå ìåòîäû è êîìïëåêñûïðîãðàììÀâòîðåôåðàòäèññåðòàöèè íà ñîèñêàíèå ó÷¼íîé ñòåïåíèêàíäèäàòà ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÌîñêâà, 2014Ðàáîòà âûïîëíåíà íà êàôåäðå ñèñòåìíîãî àíàëèçà ôàêóëüòåòà Âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è êèáåðíåòèêè Ìîñêîâñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà èìåíè Ì.Â. Ëîìîíîñîâà.Íàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü:Ìåñòî ðàáîòû:Äîëæíîñòü:Ìåñòî ðàáîòû:Äîëæíîñòü:Îôèöèàëüíûé îïïîíåíò:Ìåñòî ðàáîòû:Äîëæíîñòü:Îôèöèàëüíûé îïïîíåíò:Ìåñòî ðàáîòû:Äîëæíîñòü:Âåäóùàÿ îðãàíèçàöèÿ:äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÁðàòóñü Àëåêñàíäð Ñåðãååâè÷Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò ïóòåé ñîîáùåíèÿêàôåäðà ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêèïðîôåññîð, çàâåäóþùèé êàôåäðîéÌîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èìåíè Ì.Â.

Ëîìîíîñîâàêàôåäðà ñèñòåìíîãî àíàëèçàïðîôåññîðäîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÏîëåæàåâ Àíäðåé Àëåêñàíäðîâè÷Ôèçè÷åñêèé èíñòèòóò èìåíè Ï.Í.Ëåáåäåâà ÐÀÍñåêòîð òåîðåòè÷åñêèõ ïðîáëåì áèîôèçèêèâåäóùèé íàó÷íûé ñîòðóäíèêêàíäèäàò ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÒîêìàíöåâ Òèìîôåé Áîðèñîâè÷Èíñòèòóò ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè èì.

Í.Í.ÊðàñîâñêîãîÓðàëüñêîãî îòäåëåíèÿ ÐÀÍîòäåë äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåìíàó÷íûé ñîòðóäíèê, àññèñòåíòÂû÷èñëèòåëüíûé öåíòð èìåíè À. À. Äîðîäíèöûíà ÐÀÍÇàùèòà äèññåðòàöèè ñîñòîèòñÿ ¾ ¿2014 ãîäà â 15 ÷àñîâ 30 ìèíóò íà çàñåäàíèèäèññåðòàöèîííîãî ñîâåòà Ä 501.001.43 ïðè Ìîñêîâñêîì ãîñóäàðñòâåííîì óíèâåðñèòåòå èìåíèÌ.Â.Ëîìîíîñîâà ïî àäðåñó: 119991, Ìîñêâà, ÃÑÏ-1, Ëåíèíñêèå ãîðû, 2-é ó÷åáíûé êîðïóñ,ôàêóëüòåò ÂÌÊ, àóäèòîðèÿ 685.

Æåëàþùèå ïðèñóòñòâîâàòü íà çàñåäàíèè äèññåðòàöèîííîãîñîâåòà äîëæíû ñîîáùèòü îá ýòîì çà äâà äíÿ ïî òåë.+7(495)939-50-71 (äëÿ îôîðìëåíèÿ çàÿâêèíà ïðîïóñê).Ñ äèññåðòàöèåé ìîæíî îçíàêîìèòüñÿ â íàó÷íîé áèáëèîòåêå Ìîñêîâñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãîóíèâåðñèòåòà èìåíè Ì.Â.Ëîìîíîñîâà ïî àäðåñó: 119992, Ìîñêâà, Ëîìîíîñîâñêèé ïðîñïåêò, 27Àâòîðåôåðàò ðàçîñëàíÓ÷åíûé ñåêðåòàðü äèññåðòàöèîííîãî ñîâåòà Ä 501.001.43,äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîðÅ.Â. ÇàõàðîâÎáùàÿ õàðàêòåðèñòèêà ðàáîòûÀêòóàëüíîñòü òåìû.Íåñìîòðÿ íà áîëüøèå äîñòèæåíèÿ ñîâðåìåííîé ìåäèöèíû, ïðîáëåìà âûáîðà ñòðàòåãèé ëå÷åíèÿ ðàêîâûõ çàáîëåâàíèé îñòà¼òñÿ îäíîé èç âàæíåéøèõ ïðîáëåì ìåäèöèíû.

Åñëè ìàòåìàòè÷åñêèì ìîäåëÿì ðîñòà ðàêîâûõ êëåòîê è ïðîöåññà ðàçìíîæåíèÿ âèðóñîâ ïîñâÿùåíî ãðîìàäíîå÷èñëî ðàáîò, òî âîïðîñàì òåðàïèè çëîêà÷åñòâåííûõ êëåòîê è âèðóñîâ ïîñâÿùåíî ñðàâíèòåëüíî íåáîëüøîå ÷èñëî èññëåäîâàíèé. Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ ñëîæíîñòüþ çàäà÷è âûáîðà îïòèìàëüíîéñòðàòåãèè òåðàïèè, êîòîðàÿ ôîðìóëèðóåòñÿ â âèäå ìíîãîìåðíîé íåëèíåéíîé çàäà÷è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ñ ôàçîâûìè îãðàíè÷åíèÿìè. Âñ¼ ýòî äåëàåò èçó÷åíèå ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé òåðàïèè âèðóñîâ è êëåòîê àêòóàëüíîé çàäà÷åé ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ.Öåëü ðàáîòû. äèññåðòàöèè èçó÷àþòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè, îïèñûâàþùèå âçàèìîäåéñòâèå ëåêàðñòâåííûõ ñðåäñòâ ñ êëåòêàìè è âèðóñàìè ñ öåëüþ ïîèñêà îïòèìàëüíûõ ñòðàòåãèé òåðàïèè(ëå÷åíèÿ). Ïîä ñòðàòåãèåé òåðàïèè ïîíèìàþòñÿ ðåæèì è äîçà ïðèíèìàåìîãî ëåêàðñòâà.

Ëåêàðñòâåííîå ñðåäñòâî, óíè÷òîæàÿ áîëüíûå êëåòêè, ïîäâåðãàåò òàêæå óíè÷òîæåíèþ çäîðîâûåêëåòêè. Âîçíèêàåò çàäà÷à î âûáîðå îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèè òåðàïèè, ïðè êîòîðîé êîëè÷åñòâîáîëüíûõ è çäîðîâûõ êëåòîê íàõîäèëîñü áû íà óðîâíå, ïðèåìëåìîì äëÿ æèçíåäåÿòåëüíîñòèïàöèåíòà â òå÷åíèå ìàêñèìàëüíîãî âðåìåíè. Êðîìå òîãî, â ñèëó òîêñè÷íîñòè, íà ñóììàðíîåêîëè÷åñòâî èñïîëüçóåìîãî ëåêàðñòâåííîãî ñðåäñòâà íàêëàäûâàåòñÿ îãðàíè÷åíèå.  èòîãå, ïîñòàâëåííàÿ çàäà÷à ïðåäñòàâëÿåò çàäà÷ó îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ñ ôàçîâûìè îãðàíè÷åíèÿìè.Ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ. ðàáîòå ïðèìåíÿþòñÿ ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ àâòîíîìíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì, îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ è çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè íàðÿäó ñ ìåòîäàìè ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà è ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ.Íàó÷íàÿ íîâèçíà ðàáîòû. äèññåðòàöèè ïîëó÷åíû ñëåäóþùèå ðåçóëüòàòû:1.

Ïîëó÷åíà äâóõñòîðîííÿÿ îöåíêà êðèòåðèÿ îïòèìàëüíîñòè (÷èñëî áîëüíûõ êëåòîê â ôèêñèðîâàííûé ìîìåíò âðåìåíè) â ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè òåðàïèè ãëèîìû.2. Ïðåäëîæåí ÷èñëåííûé àëãîðèòì ðåøåíèÿ çàäà÷è âûæèâàåìîñòè â ìîäåëè òåðàïèè ãëèîìû (îòûñêàíèå ñòðàòåãèé òåðàïèè, îáåñïå÷èâàþùåé ìàêñèìàëüíîå âðåìÿ ñóùåñòâîâàíèÿïàöèåíòà ïðè çàäàííûõ îãðàíè÷åíèÿõ íà ÷èñëî áîëüíûõ, çäîðîâûõ êëåòîê è ñóììàðíîãîêîëè÷åñòâà çàòðà÷åííîãî ëåêàðñòâåííîãî ñðåäñòâà).3. Ïîñòðîåí ñèíòåç îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ â ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè òåðàïèè âèðóñà,èìåþùåãî ðåçèñòåíòíûé ê ëåêàðñòâó ìóòàíòíûé ïîäâèä.3Òåîðåòè÷åñêàÿ è ïðàêòè÷åñêàÿ öåííîñòü.Ðàáîòà íîñèò òåîðåòè÷åñêèé õàðàêòåð, îäíàêî å¼ ðåçóëüòàòû ïîñëå ñîîòâåòñòâóþùåé ýêñïåðèìåíòàëüíîé ïðîâåðêè è óòî÷íåíèÿ ïàðàìåòðîâ ìîäåëè ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû íà ïðàêòèêå.Àïðîáàöèÿ ðàáîòû.Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè äîêëàäûâàëèñü àâòîðîì íà ñëåäóþùèõ ñåìèíàðàõ èêîíôåðåíöèÿõ:1.

Êîíôåðåíöèÿ ¾Ëîìîíîñîâ-2010¿. Äîêëàä: ¾Ñèíòåç îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ â ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè òåðàïèè âèðóñíûõ èíôåêöèé¿. 2010 ã.2. III Êîíôåðåíöèÿ ¾Ðàáî÷àÿ ãðóïïà ïî ìàòåìàòè÷åñêèì ìîäåëÿì è ÷èñëåííûì ìåòîäàì âáèîìàòåìàòèêå¿. Äîêëàä: ¾Îöåíêà êà÷åñòâà òåðàïèè â ðàñïðåäåëåííîé íåëèíåéíîé ìîäåëè ðîñòà çëîêà÷åñòâåííûõ êëåòîê¿. 2011 ã.3. Êîíôåðåíöèÿ ¾Ìàòåìàòèêà. Êîìïüþòåð. Îáðàçîâàíèå¿.

Äîêëàä: ¾Çàäà÷à îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ñ ôàçîâûìè îãðàíè÷åíèÿìè â ðàñïðåäåëåííîé íåëèíåéíîé ìîäåëè ðîñòàçëîêà÷åñòâåííûõ êëåòîê¿. 2012 ã.4. IV Êîíôåðåíöèÿ ¾Ðàáî÷àÿ ãðóïïà ïî ìàòåìàòè÷åñêèì ìîäåëÿì è ÷èñëåííûì ìåòîäàì âáèîìàòåìàòèêå¿. Äîêëàä: ¾Îïòèìàëüíûå ñòðàòåãèè òåðàïèè â ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëÿõäèíàìèêè áîëüíûõ êëåòîê¿.

2012 ã.5. V Êîíôåðåíöèÿ ¾Ðàáî÷àÿ ãðóïïà ïî ìàòåìàòè÷åñêèì ìîäåëÿì è ÷èñëåííûì ìåòîäàìâ áèîìàòåìàòèêå¿. Äîêëàä: ¾Çàäà÷à âûæèâàåìîñòè â ðàñïðåäåëåííîé ìàòåìàòè÷åñêîéìîäåëè òåðàïèè ãëèîìû¿. 2013 ã.6. Íàó÷íûé ñåìèíàð ¾Ïðèêëàäíûå çàäà÷è ñèñòåìíîãî àíàëèçà¿. Äîêëàä: ¾Âûáîð ñòðàòåãèéòåðàïèè â ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëÿõ âçàèìîäåéñòâèÿ ëåêàðñòâà ñ êëåòêàìè è âèðóñàìè¿.2013 ã.Ïóáëèêàöèè.Ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè ïðåäñòàâëåíû â 4-õ ðàáîòàõ, ñïèñîê êîòîðûõ ïðèâåä¼í â êîíöåàâòîðåôåðàòà [1-4], èç íèõ òðè [1,2,4] ðàáîòû îïóáëèêîâàíû â æóðíàëàõ èç ïåðå÷íÿ ÂÀÊ.

Âîâñåõ ðàáîòàõ àâòîðîì ïîñòàíîâêè çàäà÷ ÿâëÿåòñÿ íàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü Áðàòóñü À. Ñ. Êîâàëåíêî Ñ. Þ. ÿâëÿåòñÿ àâòîðîì àëãîðèòìîâ è êîìïëåêñîâ ïðîãðàìì [1-4], à òàêæå ðåçóëüòàòîâ,ïîëó÷åííûõ ñ ïîìîùüþ ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ è ðåøåíèÿ. Èäåÿ ïðîâåäåííîãî ÊîâàëåíêîÑ.Þ. àíàëèòè÷åñêîãî èññëåäîâàíèÿ â ðàáîòàõ [3,4] ïðèíàäëåæèò Áðàòóñþ À.Ñ. Ïîäãîòîâêàìàòåðèàëîâ ê ïóáëèêàöèè [1] áûëà ïðîâåäåíà Áðàòóñåì À.

Ñ. è Êîâàëåíêî Ñ. Þ., ê ïóáëèêàöèè [3] áûëà ïðîâåäåíà Ôèììåëü Å. è Êîâàëåíêî Ñ. Þ., ìàòåðèàëû [2,4] áûëè ñàìîñòîÿòåëüíîïîäãîòîâëåíû Êîâàëåíêî Ñ. Þ.Àâòîð äèññåðòàöèè áëàãîäàðèò íàó÷íîãî ðóêîâîäèòåëÿ Áðàòóñÿ Àëåêñàíäðà Ñåðãååâè÷àçà ïîñòàíîâêó çàäà÷, çà öåííûå óêàçàíèÿ è êîíñóëüòàöèè â ïðîöåññå ðàáîòû íàä íèìè, çàêðèòè÷åñêèå çàìå÷àíèÿ ê òåêñòó äèññåðòàöèè è àâòîðåôåðàòà.4Ñòðóêòóðà è îáú¼ì ðàáîòû.Äèññåðòàöèÿ ñîäåðæèò ââåäåíèå, òðè ãëàâû è ñïèñîê ëèòåðàòóðû.

Ãëàâû ðàçäåëåíû íàïàðàãðàôû; ïåðâàÿ ãëàâà ñîñòîèò èç øåñòè ïàðàãðàôîâ, âòîðàÿ èç ñåìè ïàðàãðàôîâ, òðåòüÿ èç ïÿòè ïàðàãðàôîâ. Ñïèñîê ëèòåðàòóðû ñîäåðæèò 55 íàèìåíîâàíèé. Îáú¼ì äèññåðòàöèè 130 ñòðàíèö.Cîäåðæàíèå äèññåðòàöèèÄèññåðòàöèÿ ïîñâÿùåíà èññëåäîâàíèþ ïîèñêà îïòèìàëüíûõ ñòðàòåãèé â ìàòåìàòè÷åñêèõìîäåëÿõ, îïèñûâàþùèõ âçàèìîäåéñòâèå òåðàïåâòè÷åñêîãî ñðåäñòâà ñ áîëüíûìè è çäîðîâûìèêëåòêàìè è âèðóñàìè. Ðàññìàòðèâàþòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè äâóõ áèîëîãè÷åñêèõ ïðîöåññîâ: ðîñòà ðàêîâîé îïóõîëè âûñîêîé èíâàçèâíîñòè (íàïðèìåð, ãëèîìû) è ðàçâèòèÿ âèðóñà ïîâûøåííîé âàðèàáåëüíîñòè (íàïðèìåð, ÂÈ×).

Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè îïèñûâàþò äèíàìèêóâçàèìîäåéñòâèÿ ëåêàðñòâåííîãî ñðåäñòâà ñ êëåòêàìè è âèðóñàìè â âèäå èçìåíåíèÿ êîëè÷åñòâåííûõ õàðàêòåðèñòèê.Õîòÿ â ýòèõ çàáîëåâàíèÿõ ìàëî îáùåãî, íî, ñ òî÷êè çðåíèÿ ïîñòðîåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõìîäåëåé, îíè ìîãóò áûòü îïèñàíû ñ ïîìîùüþ àíàëîãè÷íûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ êîíñòðóêöèé.Òåðàïèÿ, îêàçûâàÿ áëàãîïðèÿòíîå âëèÿíèå íà îäíè ïåðåìåííûå ñèñòåìû, òàêæå îêàçûâàåòíåãàòèâíîå âëèÿíèå íà äðóãèå.

Äëÿ ãëèîì ýòî ïðîÿâëÿåòñÿ â óíè÷òîæåíèè çäîðîâûõ êëåòîêïîä âîçäåéñòâèå õèìèîòåðàïèè, äëÿ ÂÈ× èíôåêöèé â ñîçäàíèè óñëîâèé äëÿ äîìèíèðîâàíèÿòîé âàðèàöèè âèðóñà, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ áîëåå óñòîé÷èâîé ê ëåêàðñòâó. Òàêèì îáðàçîì, âûáîðñòðàòåãèè òåðàïèè ÿâëÿåòñÿ êîìïðîìèññîì ìåæäó ýòèìè ïðîöåññàìè. Ñ ïðàêòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ îêàçûâàåòñÿ âàæíûì èìåòü ñòðàòåãèþ ëå÷åíèÿ, çàâèñÿùóþ îò òåêóùåãî ñîñòîÿíèÿñèñòåìû. Äëÿ íåêîòîðûõ ñëó÷àåâ ïîäîáíûé ìîíèòîðèíã ÿâëÿåòñÿ âîçìîæíûì.Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî èç âñåõ âîçìîæíûõ ìåòîäîì ëå÷åíèÿ âûáðàíà ¾ìåäëåííàÿ¿ òåðàïèÿ:õèìèîòåðàïèÿ ÷åðåç êðîâü èëè ïðè¼ì ëåêàðñòâ ÷åðåç æåëóäî÷íî-êèøå÷íûé òðàêò.  îòëè÷èåîò ðàäèîòåðàïèè, ïðè êîòîðîé ïðîèñõîäèò, êàê ïðèíÿòî ñ÷èòàòü, ìãíîâåííîå óìåíüøåíèÿ êîëè÷åñòâî ïîðàæàåìûõ îáúåêòîâ, ¾ìåäëåííàÿ¿ òåðàïèÿ âîçäåéñòâóåò íà âñ¼ì ïðîìåæóòêå ëå÷åíèÿ, äàæå êîãäà íåïîñðåäñòâåííîãî ïðè¼ìà äîçû íå ïðîèçâîäèòñÿ.  ñâÿçè ñ ýòèì â îáåèõìîäåëÿõ ïðèñóòñòâóåò îòäåëüíîå óðàâíåíèå äëÿ ó÷¼òà êîíöåíòðàöèÿ ëåêàðñòâà.Êðèòåðèè îïòèìàëüíîñòè â äâóõ ýòèõ ðàññìàòðèâàåìûõ çàäà÷ ðàçíûå.

 ñëó÷àå âèðóñîâñòàâèòñÿ çàäà÷à ìèíèìèçàöèè êîëè÷åñòâà çàðàæåííûõ âèðóñîì êëåòîê ê çàäàííîìó ìîìåíòóâðåìåíè.  ñëó÷àå ãëèîì ñòàâèòñÿ çàäà÷à âûæèâàåìîñòè, òî åñòü ïîèñê ñòðàòåãèè óïðàâëåíèÿ,êîòîðàÿ îáåñïå÷èâàåò íàõîæäåíèå ôàçîâîé òðàåêòîðèè â çàäàííîé îáëàñòè.  ïåðâîì ñëó÷àåîêàçûâàåòñÿ âîçìîæíûì ðåøèòü çàäà÷ó îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ìåòîäîì ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà-ßêîáè-Áåëëìàíà. Âî âòîðîì ñëó÷àå çàäà÷à ðåøàåòñÿ ÷èñëåííî.Âîïðèâîäèòñÿ îáçîð ðàáîò, ïîñâÿùåííûõ ïîèñêó îïòèìàëüíûõ ñòðàòåãèé òåðàïèè è ìàòåìàòè÷åñêîìó ìîäåëèðîâàíèþ ðàêîâûõ è âèðóñíûõ çàáîëåâàíèé.

Ïðîâîäèòñÿ îáçîðýêñïåðèìåíòàëüíûõ è òåîðåòè÷åñêèõ ðàáîò, â êîòîðûõ ñîäåðæèòñÿ èíôîðìàöèÿ î ðåàëüíûõçíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ áèîëîãè÷åñêîãî ïðîöåññà.ââåäåíèè5Âðàññìàòðèâàåòñÿ ðàñïðåäåë¼ííàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ëå÷åíèÿ ðàêîâîé îïóõîëè, â êîòîðîé ó÷èòûâàåòñÿ êîíöåíòðàöèÿ ðàêîâûõ êëåòîê (c(x, t)) è êîíöåíòðàöèÿ ëåêàðñòâà(h(x, t)) â òî÷êå x ∈ D â ìîìåíò âðåìåíè t.Îáëàñòü D îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü â Rm , m = 2, 3 ñ ãëàäêîé ãðàíèöåé Γ.Ôîðìóëèðóåòñÿ íà÷àëüíî-êðàåâàÿ çàäà÷à:ãëàâå 1{∂c(x,t)∂t∂h(x,t)∂t= f1 (c(x, t)) + Aα c(x, t) − k1 c(x, t)g(h),= −γh(x, t) + Aαh h(x, t) + u(x, t).(1)Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ:c(x, 0) = c0 (x) > 0, h(x, 0) = 0;è êðàåâûå óñëîâèÿ äâóõ òèïîâ:∂c(x, t) ∂h(x, t) =0,= 0;∂ν Γ∂ν Γ(2)èëèc(x, t)|Γ×(0,T ]∂h(x, t) = 0,= 0.∂ν Γ×(0,T ](3)Çäåñü ν âíåøíÿÿ íîðìàëü ê îáëàñòè D.Ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû îïèñûâàåò äèíàìèêó ÷èñëà çëîêà÷åñòâåííûõ êëåòîê.

Ïåðâûé÷ëåí îïèñûâàåò ðîñò ÷èñëà êëåòîê ïî çàêîíó Ãîìïåðöà, âòîðîéïðîöåññ íåëèíåéíîé äèôôóçèè çëîêà÷åñòâåííûõ êëåòîê, â êîòîðîì êîýôôèöèåíò ¾ïðîâîäèìîñòè¿ ïðîïîðöèîíàëåí èõêîëè÷åñòâó â ñòåïåíè 2α, òðåòèéâîçäåéñòâèå ëåêàðñòâåííîãî ñðåäñòâà.Ôóíêöèÿ ïðîëèôåðàöèè (ðàçìíîæåíèÿ) êëåòîê çàäà¼òñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:fi (x) = ρi x(1 − βi ln x).Âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû îïèñûâàåò äèíàìèêó êîëè÷åñòâà ëåêàðñòâåííîãî ñðåäñòâà è åãîóáûëü â ðåçóëüòàòå âçàèìîäåéñòâèÿ ñ çëîêà÷åñòâåííûìè êëåòêàìè.