Автореферат (Анализ тепловых шумов в многослойных диэлектрических зеркалах интерферометров и оптических микрорезонаторах), страница 2

Ïîëó÷åííûå ôîðìóëû âåðíû êàê äëÿ ôëóêòóàöèé òîëùèíûδdj(áðîóíîâñêèå è òåðìîóïðóãèå øóìû), òàê è äëÿ ôëóêòóàöèé êîýôôèöèåíòà îòðàæåíèÿδnj(ôîòîóïðóãèå è òåðìîðåôðàêòèâíûå øóìû). Èç ýòèõ ôîðìóë âûâîäÿòñÿ ôîðìóëû äëÿ øóìà êîýôôèöèåíòà îòðàæåíèÿ è, ïðè ïîìîùè ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà, ôîðìóëà äëÿ øóìà ïðèîòðàæåíèè îò íåîäíîðîäíîãî ñëîÿ.Íà îñíîâå ýòîãî ðàññìîòðåíèÿ ìîæíî ââåñòè òàê íàçûâàåìûå øóìîâûå êîýôôèöèåíòû äåòåðìèíèðîâàííûå êîýôôèöèåíòû ïåðåä ôëóêòóèðóþùèìè ïàðàìåòðàìè (èçìåíåíèÿìèòîëùèíû äëÿ áðîóíîâñêîé âåòâè èëè òåìïåðàòóðû äëÿ òåïëîâîé) â ñóììå è ïðîèçâîäèòñÿïîñòðîåíèå èõ ðàñïðåäåëåíèÿ ïî ñëîÿì. Ïîêàçàíî, ÷òî øóìîâûå êîýôôèöèåíòû ÷àñòåé áðîóíîâñêîé âåòâè øóìîâ èìåþò ðàçíûå çíàêè.

Ýòî ôîðìàëüíî äîïóñêàåò ñàìîêîìïåíñàöèþ,îäíàêî âñëåäñòâèå èíòåðôåðåíöèè òàêàÿ êîìïåíñàöèÿ èìååò ìåñòî òîëüêî âî âíåøíèõ ñëîÿõ. ÷àñòíîñòè ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî âíåøíèå ñëîè íå äàþò âêëàäà â øóì çà ñ÷¼ò èíòåðôåðåíöèè.Äëÿ ó÷¼òà àìïëèòóäíîé ÷àñòè øóìà ïðîèçâîäèòñÿ ïîñòðîåíèå ìîäåëè ïîëíîãî èíòåðôåðîìåòðà è ðàñ÷¼ò îòíîøåíèÿ ñèãíàë/øóì. Ïîêàçàíî, ÷òî àìïëèòóäíàÿ ÷àñòü øóìà ðîëèïðàêòè÷åñêè íå èãðàåò.

Ïîñòðîåííûå äèàãðàììû ïîêàçûâàþò, ÷òî ïîäñòðîéêîé äëèí ïëå÷èíòåðôåðîìåòðà ìîæíî âûáèðàòü ðåæèìû ïîäàâëåíèÿ øóìà, èëè ïîïàñòü â îáëàñòü, ãäåèíòåðôåðîìåòð ñòàíîâèòñÿ íå ÷óâñòâèòåëåí ê ãðàâèòàöèîííîé âîëíå. êîíöå ðàçäåëà ïðîâåäåíû ðàñ÷¼òû ñïåêòðàëüíûõ ïëîòíîñòåé ðàçëè÷íûõ âêëàäîâ â òåïëîâîé øóì.Âî âòîðîì ðàçäåëå ïðîèçâîäèòñÿ ðàññìîòðåíèå ðàçëè÷íûõ ìåòîäîâ îïòèìèçàöèè ïî-êðûòèÿ äëÿ ñíèæåíèÿ øóìîâ.•Äîïîëíèòåëüíûé êîððåêòèðóþùèé ñëîé. Ìîæíî èçìåíÿòü òîëùèíó âíåøíåãî äîïîëíèòåëüíîãî êîððåêòèðóþùåãî ñëîÿ â íàäåæäå óìåíüøèòü øóì çà ñ÷¼ò èíòåðôåðåíöèîííûõ ýôôåêòîâ. Ýòîò ìåòîä îêàçàëñÿ äåéñòâåííûì ïðè ïîïûòêå óìåíüøåíèÿ âêëàäàòåïëîâîé âåòâè øóìîâ [4].

Êàê ïîêàçûâàåò ðàñ÷¼ò, äëÿ Áðîóíîâñêîãî øóìà ðåçóëüòàòîêàçàëñÿ íåñóùåñòâåííûì: óäàåòñÿ äîñòè÷ü ïîäàâëåíèÿ ìåíåå ÷åì íà•0.69%Äâóñòîðîííåå çåðêàëî.  ëèòåðàòóðå óïîìèíàåòñÿ çåðêàëî ñ ìàëûì ÷èñëîì ñëî¼â íàïåðåäíåé ñòîðîíå ïîäëîæêè è îñòàëüíûìè ñëîÿìè íà çàäíåé ñòîðîíå (äâóñòîðîííåå7çåðêàëî èëè ýòàëîí Õàëèëè). Èäåÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òî òîëüêî òå íåñêîëüêî ñëî¼â íàïåðåäíåé ñòîðîíå ñîçäàþò áðîóíîâñêèé øóì (ñìåùåíèÿ ïîâåðõíîñòè), â òî âðåìÿ êàêçàäíèå ñëîè íå äàþò â íåãî âêëàäà, êàê áû äâèãàÿñü â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè. ýòîì ñëó÷àå íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü èíòåðôåðåíöèþ, òàê êàê ïåðåäíèå ñëîè è ïîäëîæêà ïðîïóñêàþò çíà÷èòåëüíóþ ìîùíîñòü ñâåòà, à çíà÷èò â íèõ áóäåò ñèëüíàÿ èíòåðôåðåíöèîííàÿ ïîïðàâêà.

Ïîêàçàíî, ÷òî ïîäáîðîì òîëùèíû ïîäëîæêè ìîæíî äîâåñòèïîäàâëåíèå äî 78% (øóì òîëùèíû ïîäàâëÿåòñÿ íà 80%). Îñíîâíàÿ ïðîáëåìà ýòàëîíà åãî ÷óâñòâèòåëüíîñòü ê òî÷íîñòè èçãîòîâëåíèÿ ïîäëîæêè è å¼ òåïëîâîìó ðàñøèðåíèþ.  ÷àñòíîñòè, íåòî÷íîñòü îïòè÷åñêîé òîëùèíû ïîðÿäêàôëóêòóàöèè òåìïåðàòóðû 6 ìÊ, óâåëè÷èâàåò øóìû íà•0.07λ/4,ñîîòâåòñòâóþùàÿ5%Äâîéíîå çåðêàëî. Òà æå èäåÿ ìîæåò áûòü ðåàëèçîâàíà â äðóãîé ãåîìåòðèè (äâîéíîåçåðêàëî èëè ðåçîíàòîð Õàëèëè) ñ äâóìÿ íåçàâèñèìî ïîäâåøåííûìè çåðêàëàìè âìåñòîîäíîãî.

Ïðè ýòîì ïåðâîå çåðêàëî äîëæíî èìåòü ìàëîå ÷èñëî ñëî¼â è, ñëåäîâàòåëüíî,ìàëûé øóì ñìåùåíèÿ, à âòîðîå äàâàòü òðåáóåìîå îòðàæåíèå. Ïðè òàêîé ãåîìåòðèèîöåíêè äàþò çíà÷åíèå ïîäàâëåíèÿ 81% (øóì òîëùèíû ïîäàâëÿåòñÿ íà 92%). ×óâñòâèòåëüíîñòü ê âåëè÷èíå çàçîðà ìåæäó çåðêàëàìè âäâîå âûøå, îäíàêî ýòà ñèñòåìà íàñòðàèâàåìàÿ, è çàçîð ìîæåò êîíòðîëèðîâàòüñÿ â ðåàëüíîì âðåìåíè.Íåäîñòàòîê îáîèõ ïðåäûäóùèõ ñõåì â ïîâûøåííîé ìîùíîñòè èçëó÷åíèÿ, öèðêóëèðóþùåé âíóòðè ïîäëîæêè, ÷òî ìîæåò ïðèâåñòè ê íåæåëàòåëüíîìó íàãðåâó è, â ÷àñòíîñòè,ê òåïëîâîé ëèíçå èñêðèâëåíèþ âîëíîâîãî ôðîíòà èç-çà íåîäíîðîäíîñòè ïîêàçàòåëÿïðåëîìëåíèÿ, âûçâàííîãî íàãðåâîì.

Òàêæå âàæíî îòìåòèòü, ÷òî ïðè îïðåäåë¼ííûõ ïàðàìåòðàõ ñèñòåìû (òîëùèíû ïîäëîæêè è çàçîðà, êîëè÷åñòâî ïåðåäíèõ ñëî¼â) èíòåðôåðåíöèîííàÿ ÷àñòü ìîæåò íå òîëüêî íå ïðèâîäèòü ê óëó÷øåíèÿì, íî äàæå óõóäøàòüêàðòèíó. Íàïðèìåð, åñëè òîëùèíà ïîäëîæêè ýòàëîíà ðàâíà ÷¼òíîìó ÷èñëó ÷åòâåðòåéäëèí âîëí, èëè òîëùèíû ïîäëîæêè è çàçîðà äâîéíîãî çåðêàëà ðàâíû íå÷¼òíîìó èõ÷èñëó, òî øóì ïîêðûòèÿ èíòåðôåðåíöèîííî óñèëèâàåòñÿ è ýôôåêò ïîäàâëåíèÿ èñ÷åçàåò (χ= −7%).Ìàêñèìàëüíûé ýôôåêò ñèëüíî çàâèñèò îò îòíîøåíèÿ ñïåêòðàëüíûõïëîòíîñòåé øóìà òîëùèíû è èçãèáà, êîòîðîå ïîêà íåèçâåñòíî.

Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òîýôôåêò óìåíüøàåòñÿ ïðàêòè÷åñêè ëèíåéíî îò 40 äî 2 % âìåñòå ñ óìåíüøåíèåì ýòîãîîòíîøåíèÿ.•Èçìåíåíèå òîëùèí ñëî¼â. Ïðåäëàãàëîñü óìåíüøèòü òîëùèíó ñëî¼â èçT a2 O5 , êàê áîëååøóìÿùåãî ìàòåðèàëà (åãî îïòè÷åñêèå è àêóñòè÷åñêèå ïîòåðè ñóùåñòâåííî áîëüøå ÷åìâ êâàðöå), ïðè ñîõðàíåíèè ñóììàðíîé îïòè÷åñêîé òîëùèíû ïàðû8λ/2 (nl dl + nh dh =λ/2).×òîáû ñîõðàíèòü çàäàííîå îòðàæåíèå, îáùåå ÷èñëî ñëî¼â óâåëè÷èâàëîñü. Áûëîàíàëèòè÷åñêè ïîêàçàíî, ÷òî ñóùåñòâóåò îïòèìóì ñîîòíîøåíèÿ òîëùèí è ÷èñëà ñëî¼â,ïðèâîäÿùèé ê ìèíèìàëüíîìó øóìó ïðè çàäàííîì ïðîïóñêàíèè.Èòîãè ãëàâû 1.Ðàñ÷¼òû ïîêàçàëè, ÷òî èíòåðôåðåíöèîííûå ýôôåêòû è ôîòîóïðóãîñòü èãðàþò ðîëüòîëüêî âî âíåøíèõ ñëîÿõ çåðêàëà è òàì, ãäå ìîùíîñòü èçëó÷åíèÿ íå ìàëà. Èíòåðôåðåíöèîííàÿ ïîïðàâêà ê øóìó ñìåùåíèÿ ïîâåðõíîñòè äëÿ ïðîñòûõ çåðêàë ëåæèò â ðàéîíåáåç ó÷¼òà ñäâèãà) è1.96% (6%2.33% (7.45% áåç ó÷¼òà ñäâèãà) ñ ó÷¼òîì ôîòîóïðóãîñòè.

Òàêæå ïîêàçàíîíàëè÷èå è äàí ñïîñîá ðàñ÷¼òà àìïëèòóäíîãî øóìà, ñâÿçàííîãî ñ áðîóíîâñêèìè ôëóêòóàöèÿìè â ïîêðûòèè çåðêàëà. Ýòîò øóì îöåíåí êàê ìàëûé.Íàèáîëåå ìíîãîîáåùàþùèì ìåòîäîì ïîäàâëåíèÿ øóìà äëÿ ïðîñòûõ çåðêàë ÿâëÿåòñÿìåòîä èçìåíåíèÿ òîëùèí ñëî¼â (óìåíüøåíèå øóìà ïîðÿäêà7%).Òàê æå ðàçðàáîòàí àíàëè-òè÷åñêèé ïîäõîä ê ýòîìó ìåòîäó è ïîêàçàíî, ÷òî òîëùèíû ïàð ñëî¼â äîëæíû áûòü ìåíüøåïîëîâèíû âîëíû (ϕl+ ϕh = 2π − 2g 2 sin(ϕh ),ãäåg =nh −nl ýëåìåíòàðíûé êîýôôèöèåíònh +nlîòðàæåíèÿ ãðàíèöû ñëîÿ), âîïðåêè ñ÷èòàâøåìóñÿ ðàíåå.Áîëüøèå çíà÷åíèÿ ïîäàâëåíèÿ áûëè ïîëó÷åíû â ïðåäâàðèòåëüíûõ ðàñ÷¼òàõ äëÿ ñîñòàâíûõ çåðêàë ïîðÿäêà 78% (8090% ïî òîëùèíå).

Ðàññìîòðåíû íåêîòîðûå íåäîñòàòêè ýòèõêîíñòðóêöèé, â ÷àñòíîñòè ïîêàçàíà âîçìîæíîñòü èíòåðôåðåíöèîííîãî óñèëåíèÿ øóìà (äî-7 %) âìåñòî îæèäàåìîãî ïîäàâëåíèÿ. Îäíàêî, âîçìîæíîñòü ïðàêòè÷åñêîé ðåàëèçàöèè ýòèõçåðêàë îñòà¼òñÿ îòêðûòîé.2.2.Ãëàâà 2 Èçáûòî÷íûå øóìû â ïëàâëåíîì êâàðöåÃëàâà 2 îïèñûâàåò äîïîëíèòåëüíûå ýôôåêòû, ÿâëÿþùèåñÿ íîâûìè èñòî÷íèêàìè òåï-ëîâûõ øóìîâ. Íåêîòîðûå ìîæíî îòíåñòè ê áðîóíîâñêèì, äîáàâèâ èñòî÷íèêè äèññèïàöèè âóãîë ïîòåðüφ(f ).Îäíàêî, íåêîòîðûå ïîëó÷àþòñÿ èç íåçàâèñèìûõ àðãóìåíòîâ, è íå ìîãóòáûòü ïðîñòî ïðè÷èñëåíû ê îäíîé èç âåòîê.

Ïðîâîäèòñÿ èçó÷åíèå ïðîöåññîâ ñïîíòàííîé êðèñòàëëèçàöèè (ðàññòåêëîâàíèÿ) è òåêó÷åñòè êâàðöåâîãî ñòåêëà, èç êîòîðîãî äåëàåòñÿ áîëüøîåêîëè÷åñòâî îïòè÷åñêèõ ýëåìåíòîâ, ñ òî÷êè çðåíèÿ âíåñåíèÿ èçáûòî÷íûõ øóìîâ. Ïðîèçâåäåíû îöåíêè èíòåíñèâíîñòè ïðîöåññà ñïîíòàííîé êðèñòàëëèçàöèè è ïàðàìåòðîâ ñòàíäàðòíîéëèíåéíîé ìîäåëè óïðóãîñòè è îöåíåíû ñïåêòðàëüíûå ïëîòíîñòè ïîëó÷åííûõ øóìîâ. ïåðâîì ðàçäåëå îïèñûâàåòñÿ øóì êðèñòàëëèçàöèè (ðàññòåêëîâàíèÿ). Ïëàâëåíûéêâàðö, èç êîòîðîãî ñîñòîèò ïîäëîæêà çåðêàë, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îêñèä êðåìíèÿ, íàõîäÿùèéñÿ â ñîñòîÿíèè ñòåêëà.  ýòîì ñîñòîÿíèè òâ¼ðäîå âåùåñòâî íå èìååò êðèñòàëëè÷åñêîé9ñòðóêòóðû, óñëîâíûå ýëåìåíòû êðèñòàëëèçàöèè ìîãóò íàáëþäàòüñÿ ëèøü â î÷åíü ìàëûõêëàñòåðàõ (â òàê íàçûâàåìîì ¾ñðåäíåì ïîðÿäêå¿).

Òàêîå ñîñòîÿíèå ïîëó÷àåòñÿ êîãäà ïðèïåðåõîäå èç æèäêîãî ñîñòîÿíèÿ â òâ¼ðäîå êðèñòàëëè÷åñêàÿ ðåø¼òêà ïî êàêèì-ëèáî ïðè÷èíàì íå ìîæåò îáðàçîâàòüñÿ. Îáû÷íî ýòèìè ïðè÷èíàìè ÿâëÿþòñÿ âûñîêàÿ âÿçêîñòü è áûñòðîåîõëàæäåíèå.  îáùåïðèíÿòîé íàó÷íîé è ïðàêòè÷åñêîé ëåêñèêå ñò¼êëà îòëè÷àþò îò òâ¼ðäûõïîëèìåðîâ, êîòîðûå òàêæå ïðåáûâàþò â àìîðôíîì ñîñòîÿíèè ââèäó îãðîìíîé äëèíû ñâîèõìîëåêóë.Âàæíî, ÷òî ñòåêëîîáðàçíîå ñîñòîÿíèå âûøå ïî ýíåðãèè ÷åì êðèñòàëëè÷åñêîå è ñèñòåìà áóäåò ñòðåìèòüñÿ êðèñòàëëèçîâàòüñÿ. Òàêîé ïðîöåññ êðèñòàëëèçàöèè ñòåêëà ïðè òåìïåðàòóðå, ìåíüøåé òåìïåðàòóðû ñòåêëîâàíèÿTgíàçûâàþò ðàññòåêëîâàíèåì (devitrication âàíãëîÿçû÷íîé ëèòåðàòóðå).

Ýòîò ïðîöåññ íàáëþäàåòñÿ ïðè äëèòåëüíîì íàãðåâå, ïðè âûñîêîèíòåíñèâíîì ëàçåðíîì îáëó÷åíèè [12] èëè ïðè ñèëüíîì óäàðå [13] Åù¼ áîëåå ñóùåñòâåííî òî,÷òî ñòåêëî è êðèñòàëë (à òàê æå äðóãèå ïîëèìîðôíûå ñîñòîÿíèÿ) õàðàêòåðèçóþòñÿ ðàçëè÷íûìè çíà÷åíèÿìè ôèçè÷åñêèõ è îïòè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ. Òàêèì îáðàçîì, âîçìîæåí ñïîíòàííûé ïåðåõîä èç ñòåêëîîáðàçíîãî â êðèñòàëëè÷åñêîå ñîñòîÿíèå. Ïðè ýòîì, çà ñ÷¼ò ðàçíîñòè âïëîòíîñòè äâóõ ôàç, áóäåò íàáëþäàòüñÿ ñæàòèå îáðàçöà ñî âðåìåíåì. Ïîäîáíûé ýôôåêò áûëèññëåäîâàí â ðÿäå ðàáîò è äëÿ ðàçëè÷íûõ ñòåêîë [14, 15, 16].

Ïîñêîëüêó ïðîöåññ ïåðåõîäàñïîíòàííûé è ëîêàëèçîâàííûé, îí äîëæåí ïîðîæäàòü øóì ïîäîáíûé äðîáîâîìó.Ðàññìîòðèì âåùåñòâî, ìàëûé ïîäîáú¼ì êîòîðîãî (íå÷òî òèïà ïóçûðüêà) ïåðåøëî â äðóãîå ñîñòîÿíèå. Òîãäà ìàòåðèàëüíûå ïàðàìåòðû òàêîãî ïóçûðüêà èçìåíÿòñÿ âìåñòå ñ ïàðàìåòðàìè åãî ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Îäíèì èç òàêèõ ïàðàìåòðîâ áóäåò ðàâíîâåñíûé îáú¼ì îáú¼ì íåíàïðÿæ¼ííîãî âåùåñòâà, êîòîðûé ðàâåí â òî÷íîñòèmbubble /ρnew . Íî êàê ÷àñòü èñõîä-íîãî âåùåñòâà, ýòîò ïóçûð¼ê èìååò îáú¼ì, ðàâíûé ðàâíîâåñíîìó îáú¼ìó èñõîäíîãî ñîñòîÿíèÿmbubble /ρold .Òî÷íîå ðåøåíèå ïîäîáíîé óïðóãîé çàäà÷è çàòðóäíèòåëüíî, ïîýòîìó ñäåëàåì ïðèáëèæ¼ííóþ îöåíêó.

Çàäà÷à î íà÷àëüíîì ñìåùåíèè ìîæåò áûòü çàìåíåíà çàäà÷åé î òåðìîóïðóãîñòè.Ââîäèòñÿ ãàóññîâî ðàñïðåäåëåíèå èçìåíåíèÿ òåìïåðàòóðû âíóòðè ýêâèâàëåíòíîãî ïóçûðüêà â òî÷êå~rj . ïðèáëèæåíèè ïîëóáåñêîíå÷íîãî ïðîñòðàíñòâà òàêàÿ çàäà÷à áûëà ðåøåíàâ êâàäðàòóðàõ. Øóìîâîé ïðîöåññ ïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿ åäèíè÷íûå ñîáûòèÿ äåôîðìàöèè,êîòîðûå ïåðåñ÷èòûâàþòñÿ â ñîáûòèÿ äåôîðìàöèè ïîâåðõíîñòèδzj (xj , yj , zj )H(t − τj ).Äëÿñòàöèîíàðíîãî ïðîöåññà ïîëó÷èì ñðåäíåå ñìåùåíèå ïîâåðõíîñòè è ñïåêòðàëüíóþ ïëîòíîñòü,âûðàæåííûå ÷åðåç ïëîòíîñòü ÷àñòîòû ñîáûòèé êîëè÷åñòâî ñîáûòèé â ñåêóíäó â åäèíèöåîáú¼ìà. Äëÿ îöåíêè ïëîòíîñòè ÷àñòîòû ñîáûòèé èñïîëüçóåì äàííûå èç ðàáîòû [14], ãäå ñæàòèå ýòàëîíà Ôàáðè-Ïåðî èç îêñèäà êðåìíèÿ áûëî èçìåðåíî ýêñïåðèìåíòàëüíî.

Äâà çåðêàëà10ñ äèàìåòðàìè 6.6 ìì áûëè ñîåäèíåíû òðóáêîé èç ïëàâëåíîãî êâàðöà.  òàêîé êîíôèãóðàöèè èñïîëüçîâàííûé íàìè ïîäõîä ñòàíîâèòñÿ íå òî÷íûì, òàê êàê â í¼ì áûëî èñïîëüçîâàíîïðèáëèæåíèå ïîëóáåñêîíå÷íîãî ïðîñòðàíñòâà. Çäåñü æå ìû èìååì ïðèíöèïèàëüíî ñëó÷àéòîíêîãî öèëèíäðà. ×òîáû ïðîâåñòè ñîîòâåòñòâèå ìåæäó èìåþùåéñÿ è íåîáõîäèìîé ìîäåëÿìè, áûëî èñïîëüçîâàíî ìîäåëèðîâàíèå ìåòîäîì êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ.Ìîäåëèðîâàíèå ïîêàçàëî, ÷òî ïóçûð¼ê ¾÷óâñòâóåò¿ òîëüêî áëèæàéøóþ ïîâåðõíîñòü öèëèíäðà (òó, êîòîðîé êàñàåòñÿ ðàññìîòðåííàÿ ñôåðà). Íà ãëóáèíàõ, ìåíüøèõ ðàäèóñà öèëèíäðà â ðàéîíå åãî îñè îïðåäåëÿþùåé âèä îòêëèêà áóäåò ïåðåäíÿÿ ïîâåðõíîñòü öèëèíäðà,äåëàÿ çàäà÷ó áëèçêîé ê ïîëóïðîñòðàíñòâó è äåìîíñòðèðóÿ ñîîòâåòñòâóþùóþ çàâèñèìîñòüîò ïîïåðå÷íîé êîîðäèíàòû ïðè ãàóññîâîì óñðåäíåíèè è ïîñòîÿíñòâî ïðè ïîâåðõíîñòíîì.

Íàáîëüøåé ãëóáèíå îïðåäåëÿþùåé ñòàíîâèòñÿ áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü öèëèíäðà. Ðàññòîÿíèå äîíå¼ ïðàêòè÷åñêè ïîñòîÿííî âáëèçè îñè, ÷òî ïðèâîäèò ê ðåçóëüòàòó, íå çàâèñèìîìó îò ãëóáèíûïðè ëþáîì ñïîñîáå óñðåäíåíèÿ.Ïîñêîëüêó âåëè÷èíàδzj (0, 0, R) îòêëèê íà ãëóáèíå ðàâíîé ðàäèóñó â ñëó÷àå ïîëóïðî-ñòðàíñòâà ñ ãàóññîâûì ïÿòíîì ïîëó÷åíà àíàëèòè÷åñêè, ðàñ÷¼ò ïëîòíîñòè ÷àñòîòû ñîáûòèéïðîâåä¼í àíàëèòè÷åñêè. Ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî ðàäèóñ ïóçûðüêà áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ èç ýíåðãåòè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé: ýíåðãèÿ ñâÿçè, âûäåëÿþùàÿñÿ â ïðîöåññå êðèñòàëëèçàöèè äîëæíà áûòü ðàâíà óïðóãîé ýíåðãèè, çàïàñ¼ííîé â äåôîðìàöèè. Îäíàêî, îïðåäåëèòü äîñòîâåðíîýíåðãèþ ñâÿçè íå óäàëîñü: â ðàçíûõ èñòî÷íèêàõ ýòà âåëè÷èíà îòëè÷àåòñÿ â ðàçû è, âåðîÿòíî, çàâèñèò îò ïàðàìåòðîâ ïðîöåññà ôîðìèðîâàíèÿ ñòåêëà.